Frohe Weihnachten und einen guten Start ins Jahr 2010.

Prof. Dr. M. Kaßmann Fakult¨at f¨ur Mathematik

Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld

Trainingsaufgaben zur Analysis I vom 23. Dezember 2009

Auf diesem Zettel finden Sie zehn Aufgaben, die in Form und Schwierigkeitsgrad m¨ogli- chen Klausuraufgaben entsprechen. Bearbeiten Sie diese Aufgaben, nachdem Sie Stoff, Ubungs- und Pr¨asenzaufgaben wiederholt haben, damit Sie ein m¨oglichst genaues Bild¨ davon bekommen, wie gut Sie den bisherigen Stoff verarbeitet haben. Die L¨osungsvor- schl¨age zu diesem Zettel werden im Januar ver¨offentlicht.

Aufgabe W.1

Beweisen Sie die folgende Aussage: F¨urn≥10, n∈N, gilt 2ⁿ> n³.

Aufgabe W.2

F¨urn ∈ N, n ≥2, sei a_n = sin ^π_n

. Bestimmen Sie sup

n∈N

a_n und inf

n∈Na_n und begr¨unden Sie Ihre Entscheidung.

Aufgabe W.3

Geben Sie eine m¨oglichst einfache Beschreibung der Menge M ={x∈(0,2]|sin(exp(2 ln(x)))>0}.

Aufgabe W.4

Berechnen Sie die Grenzwerte und beweisen Sie die Konvergenz f¨ur:

a) lim

n→∞

(3 +n)² (3−n)² b) lim

n→∞

3n+ 4n² n²+ 7 c) lim

x→∞

sin(x) 1 +x² Aufgabe W.5

Beweisen Sie die Konvergenz bzw. Divergenz der folgenden Reihen:

a) X∞ k=1

1 +k³ k⁵+ 2 b)

X∞ k=1

k−8

|k−7|³+ 1 c)

X∞ k=1

2^−k+7 1

4 k

sin(k)

1

Aufgabe W.6

Seien (a_k)_k∈N eine Folge reeller Zahlen undp > ¹₂. Beweisen Sie:

FallsP_∞

k=1a²_k konvergiert, so auchP_∞

k=1ak

k^p. Aufgabe W.7

Beweisen Sie, dass die Funktionf :R→R, definiert durch f(x) =

(xsin ¹_x

, x6= 0,

0, x= 0,

stetig ist. Skizzieren Sie den Graphen vonf im Intervall [−^π₂,^π₂].

Aufgabe W.8

Seif :R→Rdefiniert durch f(x) =

(x^3/2cos

√1 x

, x6= 0,

0, x= 0,

Berechnen Sie f^′(0).

Aufgabe W.9

Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

a) f : (0, π)→R,f(x) =x⁻²−ln(sin²(x)) +^cos(x)_sin(x) b) f : (0,∞)→R,f(x) =x^x+e^sin2(x)

Aufgabe W.10

Sei (a_n)_n∈N eine reelle Zahlenfolge.

a) Beweisen Sie: Falls lim

n→∞a_n= 0, so gilt auch lim

n→∞

1 n

Pn k=1

a_k= 0.

b) Beweisen Sie: Falls lim

n→∞a_n=a, a∈R, so gilt auch lim

n→∞

1 n

n

P

k=1

a_n=a.

c) Gibt es eine divergente Folge (a_n) derart, dass _n¹P_n

k=1a_k dennoch konvergiert?

Begr¨unden Sie Ihre Antwort.

Frohe Weihnachten und einen guten Start ins Jahr 2010.

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