Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 20. Juni 2011

Universit¨at T¨ubingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Andreas Prohl T¨ubingen, den 20. Juni 2011

8. ¨Ubungsblatt zur Numerik partieller und stochastischer Differentialgleichungen II

Aufgabe 18:

In der Vorlesung haben wir einen Satz ¨uber die Konvergenz der ProjektionPh vorgestellt (vgl.

Satz 67), wonach gilt

kP_hue−Ph(u)ke _L2(0,τ;U)≤C_`τ^m+1keuk_L2(0,τ;U).

Diese Absch¨atzung sichert das Bramble-Hilbert Lemma (vgl. Satz 63), sobald eine Stabilit¨atsei- genschaft f¨urId−P:W^`+1,2(0, τ;Uh)→P(0, τ;Uh) sichergestellt ist. Zeigen Sie daß folgende hierf¨ur ausreichende Absch¨atzung gilt:

Ph(ue_h)_L2(0,τ;U) ≤C³

keu_hk_C([0,τ];U)+kue_hk_L2([0,τ];U)

´ ∀eu_h ∈C([0, τ;U_h]). (1) Nachfolgend betrachten wirPh ≡P^c_h. Gehen Sie zum Nachweis von (1) in folgende Schritte vor.

(i) Zeigen Sie

kP^c_h(eu_h)k_P

`(0,τ;Uh) ≤2kuke _C([0,τ];U

h)+kuke _L2

`(0,τ;Uh)

wobei der PolynomraumP`(0, τ;Uh) mit folgender Norm versehen ist kwe<sub>h</sub>k<sub>P`(0,τ;Uh)</sub>:=√

τ

³

kwe_h(0)k_U+kwe_h(τ)k_U´

+kΠ<sup>`−2</sup><sub>h</sub> (we<sub>h</sub>)k<sub>L</sub>2(0,τ,U) ∀we<sub>h</sub> ∈P`

¡(0, τ];U_h¢ .

Hierbei ist Π<sup>`−2</sup><sub>h</sub> : L<sup>2</sup>(0, τ;U<sub>h</sub>) → P`−2(0, τ;U_h) die in Lemma 66 genannte orthogonale Projektion.

(ii) Damit reicht der Nachweis aus von

kwe_hk_L2(0,τ;U_h)≤Ckwe_hk<sub>P`(0,τ;Uh)</sub> ∀we<sub>h</sub>∈P`

¡(0, τ];U_h¢ .

Hierzu verifiziere man sukzessiv

(ii)₁ Zeigen Sie Normeigenschaften von kpk_P`(0,τ;Uh):=

³

kp(0)k_U+kp(1)k_U´

+kΠ<sup>`−2</sup><sub>h</sub> (p)k<sub>L</sub>2(0,1) ∀p∈P`(0,1). (ii)2 Zeigen Sie

kwb_hk_L2(0,1;Uh)≤Ckwb_hk_P

`(0,1;U<sub>h</sub>) ∀wb<sub>h</sub>∈P`(0,1;U_h), indem Sie die Darstellung

wb_h(t) :=

`

X

i=0

pb_i(t)wb_i, mit{wb_i} ⊂U_h eine Orthonormalsystem ist.

(ii)3 Zeigen Sie nun mit einem Skalierungsargument (d.h. Koordinatenwechsel von [0,1]

auf [0, τ]) die Absch¨atzung

kwb_hk_L2(0,τ;Uh)≤Ckwb_hk_P

`(0,1;Uh) ∀wb<sub>h</sub>∈P`(0, τ;U_h),

Aufgabe 19: Mithilfe des impliziten Eulerverfahrens haben wir gezeigt, daß ut+A(u) = f inO_t,

u = 0 auf ∂O, u(0) = u₀ auf O,

f¨ur pseudomonotone, semi-koerzive OperatorenA:B →B⁰, die eine Wachstumsbedingung ge- n¨ugen, eine schwache L¨osung besitzt. Diese Beweisstrategie ist auch als Rothemethode bekannt.

F¨uhren Sie einen alternativen Existenznachweis, der auf einer (konformen) finite Elements- Diskretisierung des Problems basiert. Diese Beweisstrategie ist auch als (Faedo-)Galerkinmethode bekannt.

Aufgabe 20: Seip≥2. Zeigen Sie, daß eine L¨osung u:O_T →Rvon ut−∆p(u) = f inO_t,

u = 0 auf ∂O, u(0) = u₀ auf O, existiert, wobei ∆_p:W₀^1,p→W^−1,p0 durch

∆p(u) := div

³

|∇u|^p−2∇u´ definiert ist.

Besprechung der Aufgaben in der ¨Ubungsstunde am 27. 06. 2011.