Fachbereich Mathematik Prof. J. Lehn
Hasan G¨undo˘gan, Nicole Nowak
Sommersemester 2008 15./16./19. Mai
7. ¨ Ubungsblatt zur
” Mathematik II f¨ ur BI, MaWi, WI(BI), AngGeo“
Gruppen¨ ubung
Aufgabe G20 (Multiple Choice)
(a) Suchen Sie in Ihrem Skript die Definition f¨ur eine orthogonale Matrix. Welche der folgenden Eigenschaften erf¨ullen orthogonale Matrizen?
SieA∈Rn×n orthogonal, dann giltA−1=AT
Die Spalten der Matrix bilden keine Basis des entsprechenden VektorraumsRn. Die zur Matrix zugeh¨orige lineare Abbildung erh¨alt die L¨ange von Vektoren.
Jeder Spaltenvektor in der Matrix hat L¨ange 1.
SieA∈Rn×n orthogonal, dann ist auch A+AT wieder orthogonal.
(b) In Ihrem Skript finden Sie verschiedene Kriterien f¨ur die Diagonalisierbarkeit von Matrizen.
Welche der folgenden Matrizen sind sicher diagonalisierbar?
1 1 0 1
1 2 3 0 4 5 0 0 6
1 7 9 2 7 3 5 4 9 5 6 2 2 4 2 13
0 0 0 0
2 1 0 0 2 0 0 0 3
Aufgabe G21 (Orthonormalbasis, Koordinaten eines Vektors) Zeigen Sie, dass die Vektoren
v1 =
√1 2
0
√1 2
, v2=
0 1 0
, und v3 =
√1 2
0
−√1
2
,
eine orthonormierte Basis des R3 bilden. Geben Sie die Koordinaten des Vektors
v=
1 2 3
in Bezug auf die gegebenen Basisvektoren an.
Aufgabe G22 (Quadriken, Hauptachsentransformation, Kurventypen) Sei
A=
3 −1 0
−1 3 0
0 0 −2
, b=
−2√ 2 2√
2 2
und c= 3 2. Von welchem Fl¨achentyp ist die L¨osungsmenge der quadratischen Gleichung
xTAx+bTx+c= 0?
Aufgabe G23 (Hauptachsentransformation) Betrachte die durch
3x21+ 2x1x2+ 3x22+ 12x1+ 4x2+ 1 = 0
beschriebene Menge im R2. Schreibe diese Gleichung als xTAx+bTx =c und f¨uhre die Haupt- achsentransformation durch. Um was f¨ur ein geometrisches Gebilde handelt es sich?
Haus¨ ubung
Aufgabe H19 (Kurventypen von Quadriken) (6 Punkte) Sei
A=
2 0 −√1
2
0 2 √1
2
−√1
2
√1
2 2
, b=
−2 + 6√ 2 2 + 6√
2
−2√ 2
und c= 20.
Von welchem Fl¨achentyp ist die L¨osungsmenge der quadratischen Gleichung xTAx+bTx+c= 0?
Aufgabe H20 (Wiederholung Basistransformation) (4 Punkte) Motivation f¨ur Basistransformation: Wir haben gelernt, dass man lineare Abbildungen als Matri- zen angeben kann. Ist uns eine Abbildung als Matrix gegeben, so meist in Bezug auf die Standard- basis. Das hat den Sinn, dass wir Vektoren deren Koordinaten in Standardbasis gegeben sind, mit dieser Matrix durch Multiplikation abbilden k¨onnen. Doch was wissen wir beispielsweise ¨uber die Abbildung, die durch die Matrix Aunten beschrieben ist?
Es ist schwer, aus einer Matrix mit vielen Eintr¨agen herauszulesen, was diese Abbildung geome- trisch wirklich tut. Daher sucher wir nach einer Basis, in welcher die Form der Matrix g¨unstig ist, um abzulesen, was die Abbildung geometrisch bewirkt. Am erstrebenswertesten ist eine Diagonal- matrix. Auf der Diagonalen werden dann die Eigenwerte der Matrix stehen. An diesen Diagonal- eintr¨agen k¨onnen wir ablesen, welche Streckungen, Stauchungen oder Spiegelungen die Abbildung in Bezug auf die verwendeten Basisvektoren bewirkt. Die Basisvektoren sind genau die Eigenvek- toren, da, nach Definition, ein Eigenvektor genau auf ein Vielfaches seiner selbst abgebildet wird.
Es sei
A:=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
.
Geben Sie eine orthogonale Matrix P an, f¨ur diePTAP diagonal ist und berechnen SiePTAP. Aufgabe H21 (Quadriken, Hauptachsentransformation, Kurventypen) (5 Punkte)
Sei
A=
2 −1
−1 2
, b= 2√
2
−2√ 2
und c= 1 3. Von welchem Kurventyp ist die L¨osungsmenge der quadratischen Gleichung
xTAx+bTx+c= 0?
Skizziere die L¨osungsmenge im urspr¨unglichen Koordinatensystem.
