Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 1: Vektorrechnung 1. Gegeben sind die Vektoren ~a =
à 4 1
! ,~b =
à 0
−3
!
und ~c = Ã −2
4
!
. Bestimmen Sie rechnerisch und grafisch den Vektor ~r =
12~c − ~a + 2 ~b.
2. Gegeben ist der Vektor ~r =
6
−2 3
. Berechnen Sie die L¨ange von ~r, den zugeh¨origen Einsvektor und den Winkel zwischen ~r und den Koordinatenachsen.
3. Bilden Sie das Skalarprodukt des Vektors ~r =
1
−2 4
mit den Vektoren
(a) ~a =
2
−1
−2
(b) ~b =
4 4 1
(c) ~c =
−2 4
−8
Welche Lage haben die Vektoren im Fall b), c) zueinander?
4. Gegeben sind die Vektoren ~a =
4 5 3
,~b =
6 3
−1
. Welchen Winkel schließen der Summenvektor
~c = ~a +~b und der Differenzenvektor d ~ = ~a − ~b miteinander ein?
5. Ein Vektor ~a schließt mit der x-Achse den Winkel α = 45
o, mit der z-Achse den Winkel γ = 120
ound mit der y-Achse einen spitzen Winkel ein. Seine L¨ange ist √
2. Berechnen Sie ~a.
6. Ein K¨orper wird durch die Kraft F ~ =
100
50
−12
N auf dem Weg ~s =
2 5 10
m bewegt. Welche Arbeit muss geleistet werden?
7. Ein Massepunkt wird durch die Kraft F ~ =
5
−2
−3
N geradlinig von P1 = (1; 20; 5)m nach P
2 = (6; 3; 0)m verschoben. Welche Arbeit leistet die Kraft? Welchen Winkel bildet sie mit dem Verschie- bungsvektor ~s = P
1~ P
2?
8. Durch die beiden Ortsvektoren ~a =
4
−2 1
und ~b =
6 0
−3
ist ein Dreieck 0AB aufgespannt.
Bestimmen Sie den Fußpunkt C der H¨ohe h von A auf die Seite 0B . Welchen Betrag hat die H¨ohe h?
9. Berechnen Sie ~a × ~b f¨ur ~a =
1 2
−3
und ~b =
12
0 1
10. Welcher Einheitsvektor ist orthogonal zu den Vektoren ~a =
2
−5 3
und ~b =
1 0
−2
?
Lineare Algebra L¨ osungen Vektorrechnung 1. ~r =
à −5
−5
!
2. | ~r |= 7, e ~
r=
67
−
2737
, Winkel mit x-Achse: α = 31, 00o, Winkel mit y-Achse: β = 106, 60
o, Winkel mit z-Achse: γ = 64, 62
o
3. (a) ~r · ~a = −4
(b) ~r ·~b = 0, ~r ist senkrecht zu ~b.
(c) ~r · ~c = −42, ~r ist parallel zu ~c.
4. ϕ = 86, 4
o5. ~a =
√
1
22
