Simulation des biomechanischen Verhaltens dentaler Implantate, KMUB OT 18

biomechanischen Verhaltens

dentaler Implantate

Diplomarbeit

im Studiengang Orthopädie- und Rehatechnik

der Fachhochschule Gießen-Friedberg vorgelegt im April 2005 von Martin Karstens, geboren in Göttingen am 22.08.1970 Gutachter:

• Prof. Dr. rer. nat. Jörg Subke (Referent), Fachhochschule Gießen-Friedberg,

Fachbereich Krankenhaus- und Medizintechnik, Umwelt- und Biotechnologie

• Prof. Dr.-Ing. Klaus Schier (Koreferent), Fachhochschule Gießen-Friedberg,

im Labor für

experimentelle Kieferorthopädie am Zentrum für

Zahn-, Mund- und Kieferheilkunde des Universitätsklinikums Bonn

durchgeführt. Externer Betreuer war

Prof. Dr. rer. nat. Christoph Bourauel.

Der Studiengang Orthopädie- und Rehatechnik

wird im Fachbereich

Krankenhaus- und Medizintechnik, Umwelt- und Biotechnologie

der Fachhochschule Gießen-Friedberg

angeboten.

Die Diplomprüfung erfolgt in der Studienrichtung Technik und nach der Prüfungsordnung

1

Einleitung

... 1

2

Grundlagen

... 3

2.1 Knochengewebe... 3

2.1.1 Spongiöser und kortikaler Anteil... 3

2.1.2 Fibrointegration und Osseointegration...4

2.1.3 Veränderung der Knochendichte... 5

2.1.4 Sofortbelastete Implantate... 6

2.2 Kontinuumsmechanik... 7

2.2.1 Aufgabenstellung der Kontinuumsmechanik... 7

2.2.2 Verschiebung... 8

2.2.3 Verzerrung... 10

2.2.4 Spannung und Elastizität... 14

2.2.5 Spannung und Kräftegleichgewicht... 15

2.2.6 Randbedingungen... 16 2.3 Finite-Elemente-Methoden... 18 2.3.1 Verschiebungsmethode... 20 2.3.2 Elementtypen... 21 2.3.3 Kontaktanalyse... 23 2.3.4 Fehlerquellen... 26

3

Gegenstand der Analyse

...27

3.1 ANKYLOS®-Implantate... 27

3.1.1 Geometrie... 28

3.1.2 Material und Oberfläche... 29

3.1.3 Einzeltypen... 30

3.2 Implantatbett... 34

3.2.1 Kieferknochen... 35

3.2.2 Chirurgischer Eingriff und Sofortbelastung... 38

3.3 Randbedingungen... 41

4

Vorlagen aus der Literatur

... 45

4.1 Zweidimensionale Finite-Elemente-Modelle... 46

4.1.1 Axialsymmetrischer Zustand (Modell VO_axisym)... 46

4.1.2 Ebener Verzerrungszustand (Modell VO_plain_strain)... 47

4.2 Dreidimensionale Finite-Elemente-Modelle... 48

4.2.1 Prothese mit drei Implantaten (Modell VO_prothese)...49

5

Eigene Finite-Elemente-Modelle

... 51

5.1 Mechanische Idealisierung... 52

5.1.1 Geometrie... 52

5.1.2 Material... 54

5.2 Tetraeder-Modell... 55

5.2.1 Beschreibung der Körperoberflächen durch getrimmte Flächen... 55

5.2.2 Erzeugung der Hexaeder-Netze... 56

5.2.3 Erzeugung der Tetraeder-Netze... 58

5.2.4 Verbindungen unter den einzelnen Netzen... 61

5.2.5 Diskrete Randbedingungen... 62

5.2.6 Ergebnisse... 64

5.2.7 Experimentelle Kontrolle... 76

5.3 Hexaeder-Modell... 77

5.3.1 Erzeugung des Hexaeder-Netzes...77

5.3.2 Erste Ergebnisse... 79

6

Zusammenfassung und Ausblick

... 81

7

Verwendete Literatur

... 83

Anhang

Durchschnittlich fehlen jedem Deutschen in der Altersgruppe zwischen 35 und 44 Jahren bereits 6 bis 8 Zähne, und ein Viertel aller Senioren ist völlig zahnlos. Bei der Restauration des Gebisses stellt der implantatgetragene Zahnersatz heute eine gängige Alternative zu herausnehmbaren Prothe-sen und Zahnbrücken dar. Die Verankerung des Zahnersatzes erfolgt dabei über ein oder mehrere Implantate, die der Oralchirurg im Ober- oder Unterkieferknochen platziert (Abbildung 1).

Der das Implantat umgebende Knochen besteht aus lebendem Gewebe. Laufend wird hier Knochen einerseits neu gebildet und andererseits abgebaut. Nach dem Einbringen des Implantats ist eine

ver-mehrte Knochenbildung im Grenzbereich zum Implantat notwendig, damit eine langfristig stabile Verankerung des Implantats im Knochen entsteht. Von großem Interesse ist die Kenntnis von Einflussgrößen, die eine solche Knochenreaktion begünstigen oder hem-men. Der mechanische Verzerrungszustand des Knochens gilt als eine solche Einfluss-größe, die genauen Zusammenhänge sind jedoch noch nicht bekannt. Die vorliegende Arbeit soll einen kleinen Beitrag zu ihrer Klärung leisten.

Diese Arbeit steht im Zusammenhang mit einer übergeordneten Studie, welche die Reaktion des Knochengewebes auf mechanische Verzerrungen untersucht. Im Rahmen dieser Studie werden dentale Implantate in Rentiergeweihe eingesetzt und über einen Kau-Simulator eine Zeit lang kontrolliert belastet. Sobald das Tier sein Geweih abwirft, wird der entstandene Verbund von Implantat und Gewebe untersucht und daraus auf die Gewebereaktion geschlossen. Um die Gewebereaktion mit den Verzerrungen im Gewebe in Beziehung setzen zu können, muss der Verzerrungszustand zunächst ermittelt wer-Abbildung 1: Prinzip des implantatgetrage-nen Zahnersatzes (nach [8])

Prothese Pfosten Implantat Zahnfleisch Knochen (spongiös) Knochen (kortikal)

den. Dazu wird ein Rechenmodell des Systems aus Implantat und Geweih erstellt, mit dem die vom Kau-Simulator experimentell aufgebrachte Last numerisch simuliert und der Verzerrungszustand berechnet werden kann.

Die vorliegende Arbeit liefert einen Beitrag zum Aufbau des oben genannten Rechen-modells. Es handelt sich um eine Finite-Elemente-Analyse, bei der das biomechanische Verhalten eines einzelnen Implantats im Kieferknochen simuliert wird. Da der Verzerrungszustand des an das Implantat angrenzenden Knochens wesentlich von der Wechselwirkung zwischen Implantat und Knochen abhängt, wurde besonderer Wert auf die Beschreibung und Modellierung der beiderseitigen Kontaktflächen gelegt.

Die vorliegende Arbeit untersucht das Verhalten eines Implantats im Knochen und formuliert dazu ein kontinuumsmechanisches Problem, das unter Anwendung einer Finite-Elemente-Methode gelöst wird. Um das Verständnis der Arbeit zu erleichtern, werden nachfolgend einige grundlegende Aspekte der Themenbereiche `Knochen-gewebe´, `Kontinuumsmechanik´ und `Finite-Elemente-Methoden´ behandelt.

2.1 Knochengewebe

Es ist relativ aufwändig, die Materialeigenschaften des Knochengewebes zu beschreiben. Es unterscheidet sich von Mensch zu Mensch, von Knochen zu Knochen und von Kno-chenausschnitt zu KnoKno-chenausschnitt. Als biologisches Gewebe reagiert es zudem auf Reize und ist somit zeitlichen Veränderungen unterworfen. Die folgenden Abschnitte beschreiben diejenigen Eigenschaften des Knochengewebes, die im Zusammenhang mit dentalen Implantaten von besonderem Interesse sind.

2.1.1 Spongiöser und kortikaler Anteil

Makroskopisch lassen sich wie in vielen Kno-chen so auch im UnterkieferknoKno-chen (Mandi-bula) zwei verschiedene Arten von Knochen unterscheiden. Die eine Art tritt in den Rand-gebieten des Knochens auf und wird deshalb als kortikaler Knochen (lat. cortex = Rinde) bezeichnet. Sie hat ein homogenes Erschei-nungsbild. Die andere Knochenart findet sich im Knocheninnern. Sie hat eine

schwamm-artige Struktur und wird deshalb spongiöser Knochen (lat. spongium = Schwamm) genannt. Die Stege dieser schwammartigen Struktur werden als Trabekeln bezeichnet. Sie haben typischerweise eine Dicke in der Größenordnung von 0,1 bis 0,3 mm und einen Abstand in der Größenordnung von 0,3 bis 1,5 mm [23]. Der Bereich zwischen den Trabekeln ist mit Knochenmark gefüllt und birgt Blutgefäße und Nerven. Abbildung 2 zeigt die rechte Hälfte einer Mandibula mit dem spongiösen und dem kortikalen Knochenanteil.

Abbildung 2: Kortikaler und spongiöser Knochen in der Mandibula. Dargestellt ist die rechte Hälfte einer menschlichen Mandibula (nach [28]).

2.1.2 Fibrointegration und Osseointegration

Fast alle metallischen Implantate werden vom Körper mit einer Kapsel aus faserigem Weichteilgewebe umgeben, so dass das Knochengewebe keinen direkten Kontakt zum Implantat hat. Diese Art der Verankerung des Implantats im Knochen wird Fibrointe-gration genannt. Lediglich bei Titan und seinen Legierungen findet man – bei Betrachtung histologischer Schnitte unter dem Lichtmikroskop – Knochengewebe in direktem Kontakt zu einer metallischen Oberfläche. Dieser direkte Kontakt führt bei Titan-Implantaten zu einer vergleichsweise stabilen Verankerung im Knochen, die als Osseointegration bezeichnet wird.

Die Tatsache, dass Titan-Implantate vom Körper osseointegriert werden können, bedeutet jedoch nicht, dass dies auch immer und an jeder Stelle des Implantats passiert. So kann das in Abbil-dung 3 gezeigte Implantat als osseointegriert bezeichnet werden, dennoch finden sich im Be-reich des Gewindegrats Gebiete mit Weichteil-gewebe.

Ein großer fibrointegrativer Anteil bei Titan-Implantaten wird mit Relativbewegungen zwi-schen Implantat und Knochen in Verbindung ge-bracht. In Experimenten von Søballe et al. [33] bildete sich bei Relativbewegungen von 500 µm (tangential zur Implantatoberfläche) vorrangig Weichteilgewebe und Faserknorpel an der Kontaktfläche. Relativbewegungen von 150 µm störten die Osseointegration dagegen nicht.

Abbildung 3: Histologischer Schnitt durch ein stabil eingewachsenes Implantat und den an-grenzenden Knochen. Die Gewindegänge des Titan(Ti)-Implantats sind mit kortikalem Kno-chengewebe (bone B) gefüllt. Am Gewinde-grat finden sich Gebiete mit Weichteilgewebe (soft tissue ST, aus [32]).

2.1.3 Veränderung der Knochendichte

Im Knochengewebe finden ständig Umbauvorgänge statt. Überwiegt in einem Gebiet des Knocheninneren der Knochenabbau, so kommt es dort zu einer Abnahme der Knochen-dichte. Überwiegt der Knochenanbau, so kommt es zur Zunahme der KnochenKnochen-dichte. Überwiegt einer der beiden Umbauvorgänge am Knochenrand, so verändert sich die äußere Form des Knochens [20].

Es gilt als sicher, dass die Umbauvorgänge des Knochens durch mechanische Reize stimuliert werden. Dies gibt dem Knochen die Fähigkeit, sich an unterschiedliche mecha-nische Beanspruchungen anzupassen. Der Verlust eines Zahns oder das Einsetzen eines Implantats verändert die Art und das Maß der Beanspruchung in starker Weise und führt daher zu vermehrtem Knochenumbau [14].

Zahlreiche Studien haben sich bereits mit der Frage beschäftigt, wie das Knochengewebe auf unterschiedliche Beanspruchungen reagiert. Van Oosterwyck [34] stellte mehrere dieser Studien vor und fasste die Ergebnisse sinngemäß wie folgt zusammen:

• Bei keiner oder sehr geringer mechanischer Beanspruchung findet überwiegend Knochenabbau statt, so dass sich die Knochendichte verringert,

• bei mittelmäßiger Beanspruchung besteht ein Gleichgewicht zwischen Knochenab-und -anbau, so dass sich die Knochendichte nicht ändert,

• bei mäßig erhöhter Beanspruchung findet überwiegend Knochenanbau statt, so dass sich die Knochendichte erhöht, und

• bei sehr hoher Beanspruchung treten irreversible Knochenschäden auf, die in der Folge zu Knochenabbau führen.

In welchem dieser vier Bereiche ein Knochengebiet beansprucht wird, hängt nicht nur von der Stärke der Beanspruchung, sondern auch von ihrer Häufigkeit ab. So überwiegt bei rein statischer Beanspruchung immer der Knochenabbau.

Es ist üblich, den Verzerrungszustand eines Knochengebiets als Maß für seine mechani-sche Beanspruchung zu betrachten. Entsprechend nennt Van Oosterwyck [34] aus der Literatur [11, 19, 23, 30] Grenzwerte der Verzerrung, die die oben genannten Beanspru-chungsbereiche voneinander trennen:

• Die Grenze zwischen der sehr geringen Beanspruchung und der mittelmäßigen liegt bei 10 bis 200 µε (1 µε = 1 µm/m; der Begriff des Verzerrungszustands wird im Abschnitt 2.2 `Kontinuumsmechanik´ erklärt),

• die Grenze zwischen der mittelmäßigen Beanspruchung und der mäßig erhöhten liegt bei ungefähr 2000 µε, und

• die Grenze zwischen der mäßig erhöhten Beanspruchung und der sehr hohen Bean-spruchung liegt bei ungefähr 4000 µε.

2.1.4 Sofortbelastete Implantate

Wird ein Implantat unmittelbar nach der Operation belastet, so ist davon auszugehen, dass Relativbewegungen zwischen Implantat und Knochen auftreten. Da Relativbewe-gungen die Osseointegration stören können, war es in der Vergangenheit üblich, ein den-tales Implantat im Kiefer zunächst 3 bis 6 Monate ruhen zu lassen, ehe der Zahnersatz daran befestigt wurde. Andererseits erhält der das Implantat umgebende Knochen während dieser Einheilphase kaum mechanische Reize, was zu einer Abnahme der Kno-chendichte führen kann, obwohl für eine stabile knöcherne Verankerung eine Zunahme der Knochendichte erforderlich ist.

Diese Überlegungen haben dazu geführt, dass in neuerer Zeit Studien mit sofortbelasteten dentalen Implantaten durchgeführt werden, zu denen auch die dieser Arbeit übergeordnete Studie gerechnet werden kann. Wenn in der vorliegenden Finite-Elemente-Analyse ein System aus Implantat und Knochen modelliert wird, bei dem noch keine Umbauvorgänge (weder Osseointegration noch Fibrointegration, weder Zu- noch Abnahme der Knochendichte) stattgefunden haben, bei dem das Implantat aber bereits belastet wird, so entspricht dies der klinischen Situation eines sofortbelasteten Implantats direkt nach dem Einsetzen desselben durch den Oralchirurgen.

2.2 Kontinuumsmechanik

In den vorhergehenden Abschnitten wurden mehrfach die Begriffe „Belastung“ und „mecha-nischer Verzerrungszustand“ benutzt, ohne das die dazugehörigen kontinuumsmechani-schen Größen näher erklärt wurden. Dies wird in den folgenden Abschnitten nachgeholt. Dazu werden diejenigen Aspekte der Kontinuumsmechanik, die für diese Arbeit wesent-lich sind, kurz beschrieben. Weitere Details findet man zum Beispiel bei [5, 13, 15, 31].

2.2.1 Aufgabenstellung der Kontinuumsmechanik

Die Kontinuumsmechanik ist ein Teilgebiet der

Physik, das sich mit den Verformungen von Kör-pern beschäftigt. Das Material der betrachteten Körper wird dabei als Kontinuum aufgefasst, das heisst „als eine stetige Anhäufung von materiellen Punkten“ [5]. Die Aufgabe der Kontinuums-mechanik besteht darin, „den Spannungs- und Verzerrungszustand sowie die Verschiebungen in allen Punkten eines Körpers bei vorgeschriebenen Randbedingungen zu bestimmen“ [5]. Randbedin-gungen werden unter anderem durch Angabe der Verschiebung von Randpunkten des betrachteten Körpers formuliert – weitere mögliche Randbedin-gungen werden im Abschnitt 2.2.6 behandelt. Abbildung 4 veranschaulicht ein solches Rand-wertproblem am Beispiel eines verformten Quadrats. Abgebildet sind der ursprüngliche, unverformte Zustand des Quadrats einerseits und der zu berechnende, verformte andererseits. Die Verformung wurde dabei stark überhöht dargestellt,

Abbildung 4: Prinzip eines kontinuumsme-chanischen Randwertproblems am Beispiel eines verformten Quadrats. Die Verformung ist stark überhöht dargestellt

Verschiebung: Verzerrung: Spannung: Kraft: Verschiebung: Verzerrung: Spannung: Kraft: 100mm 10 0m m 10µm 1 0µ m 100mm 10 0m m



? ?





? ? ? ?





? ? ? ?





? ?





0 0





0 0 0 0





0 0 0 0





0 0



damit die Art der Verformung erkennbar wird1_{. Die Randbedingungen sind durch die} Zeichnung gegeben. Zu ermitteln sind die Werte aller kontinuumsmechanischen Größen im Quadratinnern sowie diejenigen Kräfte am Quadratrand, die zu der vorliegenden Verformung geführt haben. Einige Ergebnisse der Problemlösung werden unten dargestellt, wenn die Begriffe Verschiebung und Verzerrung näher beschrieben werden. Die kontinuumsmechanische Aufgabenstellung der Arbeit lässt sich – stark verkürzt – so formulieren: Das Implantat, der kortikale Knochen und der spongiöse Knochen sollen als Kontinua aufgefasst werden, die an ihrem Rand gewisse Bedingungen erfüllen müssen; eine dieser Randbedingungen ist die Belastung des Implantats. Mit Hilfe der Gesetze der Kontinuumsmechanik sollen die Verschiebungen aller Materiepunkte und die lokalen Verzerrungen des Kontinuums berechnet werden.

2.2.2 Verschiebung

Bei der Lösung eines kontinuumsmechanischen Problems wird für jeden Materiepunkt ein Verschiebungsvektor berechnet, der anzeigt, um wie viel und in welcher Richtung sich dieser Punkt bei der Verformung bewegt. Jeder Raumpunkt eines n-dimensionalen Körpers kann mit Hilfe eines Koordinatensystems durch n Ortskoordinaten bestimmt werden. In gleicher Weise kann auch die Verschiebung eines jeden Raumpunktes durch n Verschiebungskomponenten festgelegt werden, die sich auf dasselbe Koordinaten-system beziehen. Es handelt sich um ein Vektorfeld mit n Komponenten in Abhängigkeit von n Ortskoordinaten.

Dem Koordinatensystem können die Richtungen der einzelnen Verschiebungskomponen-ten entnommen werden. Da es frei wählbar ist, wird nach Möglichkeit ein KoordinaVerschiebungskomponen-ten- Koordinaten-system benutzt, in dem die physikalische Interpretation der einzelnen Vektor-komponenten leicht fällt. Bei Übergang zu einem anderen Koordinatensystem ergeben sich auch andere Vektorkomponenten – dieser Übergang wird Koordinatentransformation genannt.

1 Mit den in dieser Arbeit benutzten kontinuumsmechanischen Größen und Gesetzen können nur Verfor-mungszustände berechnet werden, die sich durch sehr kleine Verschiebungen und Verzerrungen aus-zeichnen. Deshalb wurde ein Beispiel gewählt, das diese Bedingungen erfüllt.

Abbildung 5 zeigt die errechneten Verschiebungen aus dem Beispiel von Abschnitt 2.2.1 in Graukodierung. Da es sich bei dem Beispiel um ein zweidimensionales Problem handelt, besitzt der Verschiebungsvektor nur zwei Komponenten. Diese wurden in unterschiedlichen Koordinatensystemen berechnet und separat voneinander graukodiert. Alternativ hätte das Verschiebungsfeld auch als Pfeilegrafik dargestellt werden können. Die Kontur des abgebildeten Quadrats ist die Kontur des verformten Quadrats. Im Unterschied zu Abbildung 4 wurde die Verformung jedoch nicht überhöht dargestellt und kann daher von der unverformten Kontur nicht unterschieden werden. Dieser scheinbare Mangel vermindert jedoch nicht den Informationsgehalt der Darstellung, da das Verschie-bungsfeld durch seine komponentenweise Graukodierung vollständig beschrieben ist. Insbesondere bei komplizierten Verschiebungsfeldern ist diese Darstellungsform sehr aussagekräftig und wurde daher auch zur Darstellung des Verschiebungsfelds im Knochen benutzt.

Abbildung 5: Verschiebungskomponenten des Beispielproblems aus Abschnitt 2.2.1 in verschiedenen Koordinatensystemen.

Verschiebungen (in μm)

xy

-System

x'y'

-System

x y x y x' y' x' y' 0 10 -10 5 15 µm -15 -5

2.2.3 Verzerrung

Aus dem Verschiebungsfeld in einem Körper lassen sich Aussagen über seine Verformung herleiten. Dazu wird um jeden Materiepunkt herum ein infinitesimal kleines Materieelement betrachtet und dessen Verzerrungstensor2 _{berechnet. Der} Verzerrungs-tensor zeigt an, um wieviel und in welcher Weise sich dieses Materieelement verzerrt. Die Art und Weise einer Verzerrung wird dabei wiederum mit Hilfe des gewählten Koordina-tensystems definiert.

Abbildung 6 zeigt die drei Verzerrungsmodi eines zweidimensionalen Materieelements, nämlich Dehnungen entlang der zwei Koordinatenachsen und Gleitung in der Koordina-tenebene. Unter den einzelnen Teilbildern sind die jeweiligen Modi in Matrixform dargestellt. Die Matrizen sind symmetrisch zu ihrer Hauptdiagonalen – entsprechend bezeichnet man den Verzerrungstensor als symmetrischen Tensor. Sie enthalten die

2 Der Tensor ist – ebenso wie der Vektor – ein mathematisches Objekt [4], das hier nicht näher definiert wird. Grob gesagt, kann man ihn als Verallgemeinerung eines Vektors auffassen. In der vorliegenden Arbeit werden lediglich einige im Zusammenhang mit dem Verzerrungstensor wesentliche Tensoreigen-schaften genannt.

Abbildung 6: Ein zweidimensionales, infinitesimal kleines Materieelement hat drei Verzerrungsmodi.





xx 0 0 0





0 0 0



_yy





0 1 2



xy 1 2



xy 0



 2 −xy

x

y

x

y

x

y

Dehnung entlang der

x

-Achse Dehnung entlang der

y

-Achse Gleitung in der

xy

-Ebene

Koeffizienten



_xx,



_yy und



_xy, die das Maß der Verformung in dem entsprechenden Verzerrungsmodus angeben. Diese Koeffizienten stehen in einer Finite-Elemente-Soft-ware als Ergebnisse einer erfolgreichen Rechnung zur Verfügung3_{. Ihre mathematische} Abhängigkeit vom Verschiebungsfeld u =



u_x; u_y



T wird für den Fall, dass alle auftreten-den Verschiebungen klein sind, durch die folgenauftreten-den Näherungsgleichungen beschrieben:



_{xx =}∂ux ∂x ,



yy = ∂u_y ∂ y ,



xy = ∂u_x ∂ y  ∂u_y ∂x =:2



xy (1)

Die Koeffizienten können auch negativ sein, gezeichnet wurden jedoch Verzerrungen mit positivem Vorzeichen. Dehnungen mit negativem Vorzeichen können auch als Stauchung bezeichnet werden.

Aus Gleichung 1 geht hervor, dass die Verzerrung eine dimensionslose Größe ist. Des-halb war es möglich, in Abbildung 6 einen Winkel einzutragen, der sich mit Hilfe des Koef-fizienten



_xy der Gleitung berechnen lässt4_{. Dennoch ist es üblich, Verzerrungen in einer} Einheit auszudrücken, die sich englisch „micro strain“ nennt und „µε“ abgekürzt wird. Sie hat die folgende Bedeutung:

1 µε= 1µm m = 10

−6 ₍₂₎

Abbildung 7 zeigt die errechneten Verzerrungen aus dem Beispiel von Abschnitt 2.2.1. Das Beispiel stellt einen Sonderfall dar, in dem der Verzerrungszustand im gesamten Quadrat gleich ist. Die Werte der betreffenden Verzerrungskomponenten wurden deshalb in die Quadrate eingetragen, statt sie in Grauwerten zu kodieren. Wie bei den Verschie-bungen in Abbildung 5 wurden die Ergebnisse bezüglich zwei verschiedener Koordina-tensysteme dargestellt.

3 Bei der Finite-Elemente-Software Marc/Mentat werden sie als „component 11“, „component 22“ und „component 12“ der Dehnung bezeichnet.

Während der zweidimensionale Verzerrungstensor nur zwei voneinander unabhänige Komponenten besitzt, sind es beim dreidimensionalen Verzerrungstensor sechs: Im Allgemeinen besitzt er

• drei Komponenten der Dehnung – eine je Koordinatenachse – und • drei Komponenten der Gleitung – eine je Koordinatenebene.

Seine Eigenschaften sind mit denen des zweidimensionalen Tensors vergleichbar und werden hier deshalb nicht separat beschrieben.

Zu jedem Verzerrungstensor lässt sich ein Koordinatensystem finden, in welchem keine Gleitungen, sondern nur Dehnungen auftreten. Dieses Koordinatensystem wird Haupt-achsensystem genannt und die Dehnungen bezüglich des HauptHaupt-achsensystems heißen Hauptdehnungen5_{. Die größte der drei Hauptdehnungen}6 _{stellt gleichzeitig ein Maximum} der Dehnungen in allen möglichen Koordinatensystemen dar und die kleinste ein Minimum. Außerdem ist die Differenz zwischen größter und kleinster Hauptdehnung ein Maß für die in anderen Koordinatensystemen zu erwartenden Gleitungen: Das Maximum der Gleitungen in allen möglichen Koordinatensystemen ist gleich der Differenz von 5 engl. principal strains

6 engl. major principal strain

Abbildung 7: Verzerrungskomponenten des Beispielproblems aus Abschnitt 2.2.1 in verschiedenen Koordi-natensystemen x y x' y' x y x y x' y' x' y' Verzerrungen (in με)

x

-Achse

y

-Achse

x'

-Achse

y'

-Achse

Dehnungen Gleitung Dehnungen Gleitung

xy

-Ebene

x'y'

-Ebene

xy

-System

x'y'

-System

0 0 200 -100 100 0



−100 0

0 100





0 100

größter und kleinster Hauptdehnung. Aus diesen und anderen Gründen lässt sich ein Verzerrungszustand im Hauptachsensystem besonders gut verstehen. Das

x'y'

-System in Abbildung 7 ist ein solches Hauptachsensystem.

Die Auswertung eines Verzerrungsfeldes im Hauptachsensystem kann durch eine farblich kodierte Pfeilegrafik erfolgen: In mehreren Materiepunkten werden die Hauptdehnungen als farbige Pfeile mit den Richtungen des jeweiligen Hauptachsensystems dargestellt. Dabei richtet sich die Orientierung eines Pfeils nach dem Vorzeichen der jeweiligen Hauptdehnung: Hauptdehnungen mit positivem Vorzeichen werden durch einen Pfeil dar-gestellt, der von dem betreffenden Materiepunkt wegweist, und Hauptdehnungen mit negativem Vorzeichen durch einen Pfeil, der darauf zeigt. Eine solche Darstellung beschriebe das Verzerrungsfeld ohne Informationsverlust, wenn es sich um eine dreidi-mensionale „Zeichnung“ handeln würde. In der zweididreidi-mensionalen Projektion geht jedoch schon einiges an Information verloren, so dass die Projektionsebene sorgsam gewählt werden sollte.

Sollen verschiedene Verzerrungsfelder miteinander verglichen werden, ohne dabei auf die Details der einzelnen Verzerrungskomponenten einzugehen, so bietet es sich an, jedem Punkt des Verzerrungsfelds eine Vergleichsdehnung



_eqv (engl. equivalent strain) zuzuordnen, deren Wert unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems ist:



eqv=



1₆

[





1−



2



2





2−



32





3−



1



2

]

mit



1,



2,



3: Hauptdehnungen (3) Diese Invariante des Verzerrungstensors kann auch ohne Hauptachsentransformation in einem beliebigen Koordinatensystem aus den einzelnen Tensorkomponenten berechnet werden7_{. Die Darstellung in Gleichung 3 wurde lediglich wegen ihrer Anschaulichkeit} gewählt.

In der vorliegenden Arbeit wurden die berechneten Verzerrungen sowohl mit Hilfe ihrer Hauptdehnungen als auch anhand ihrer Vergleichsdehnung dargestellt.

2.2.4 Spannung und Elastizität

Die Spannung eines Materieelements ist ebenso wie die Verzerrung ein symmetrischer Tensor und hat daher vergleichbare Eigenschaften wie der Verzerrungstensor. Dies soll zur Erklärung des Spannungsbegriffs genügen; denn in der vorliegenden Finite-Elemente-Analyse sind die Spannungen nicht von Interesse, sondern die Verzerrungen. Der Zusammenhang zwischen Verzerrung und Spannung in einem Materieelement ist abhängig vom Material des zu berechnenden Körpers. In dieser Arbeit werden aus-schließlich linear-elastische Materialmodelle benutzt, für die das verallgemeinerte Hookesche Gesetz gilt:



ij =

∑

k ,l

E_ijkl



_{kl mit}

i, j, k, l: Indizes mit den „Werten" x, y, z



_ij : Komponente des Spannungstensors

E_ijkl: Komponente des Elastizitätstensors



_kl : Komponente des Verzerrungstensors

(4)

Bei Materialien, deren elastisches Verhalten unabhängig von den Hauptachsen der Verzerrungen ist, kann der Elastizitätstensor berechnet werden, sobald zwei der drei Materialparameter Elastizitätsmodul, Gleitmodul und Querkontraktionszahl gegeben sind. Diese Materialien heißen isotrop. Beispiele sind Titan und das als Kontinuum idealisierte spongiöse Knochengewebe (siehe Abschnitt 3.2.1).

Materialien, deren elastisches Verhalten abhängig von den Hauptachsen der Verzerrun-gen ist, werden als anisotrop bezeichnet. Bei diesen Materialien hängt der Elastizitäts-tensor im Allgemeinen von 21 voneinander unabhänigen Materialparametern ab. Unter den anisotropen Materialien gibt es jedoch Sonderfälle mit einfacher zu beschreibendem Materialverhalten. Zu diesen Sonderfällen gehören die orthotropen Materialien wie zum Beispiel kortikales Knochengewebe (siehe Abschnitt 3.2.1). Kennzeichnend für die Orthotropie ist die Existenz von drei zueinander senkrechten Vorzugsrichtungen, die dadurch gekennzeichnet sind, dass zu jeder Dehnung, deren Hauptachsensystem mit einer der Vorzugsrichtungen des Materials zusammenfällt, eine Spannung mit demselben Hauptachsensystem gehört.

2.2.5 Spannung und Kräftegleichgewicht

Ein starrer Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn die Summe aller an ihm angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet. Für einen deformierbaren Körper gilt dies ebenso, allerdings muss die genannte Bedingung hier für jedes beliebige Materieelement des betrachteten Körpers gelten. Die Kraft, die an der Berandungsfläche solch eines Materieelementes angreift, kann aus den Spannungen in dem Element nach der folgenden Beziehung berechnet werden:

F_{i =}

∑

j



ij Aj mit

i, j: Indizes mit den „Werten" x, y, z F_i : Komponente der Kraft



_ij: Komponente der Spannung

A_j : Komponente des Flächenvektors

(5)

Die Betrachtung des Kräftegleichgewichts im Inneren eines Körpers führt zur Formulie-rung von partiellen Differentialgleichungen, die im Rahmen einer kontinuumsmechani-schen Fragestellung gelöst werden müssen.

2.2.6 Randbedingungen

Die Randbedingungen eines kontinuumsmechanischen Problems zwingen dem betrach-teten Körper die zu berechnende Verformung auf. Abbildung 8 verdeutlicht dies an einem zweiseitig gelagerten und zentrisch belasteten Balken. Links ist das kontinuumsmechani-sche Problem durch den unverformten Balken mit seinen Randbedingungen dargestellt, rechts die Lösung in Form des verformten Balkens mit den sogenannten Reaktions-kräften. Bei dieser Problemstellung lassen sich zwei Arten von Randbedingungen unterscheiden:

• Die Lager an der Unterseite des Balkens stehen für kinematische Randbedingungen. Durch sie sind die Verschiebungsvektoren der Lagerstellen ganz oder teilweise vorge-geben. Gesucht ist also ein Verschiebungsfeld, bei dem die linke Lagerstelle gar nicht und die rechte nur in horizontaler Richtung verschoben wird. Die auf die Lagerstellen wirkenden Kräfte heißen Reaktionskräfte und sind anfangs nicht bekannt. Sie sind vielmehr Bestandteil der Lösung und wurden daher an den verformten Balken angetragen.

• Auf die Balkenmitte wirkt eine vorgegebene Kraft (oder Last), eine sogenannte eingeprägte Kraft. Gesucht ist also ein Spannungsfeld im Balken, das die nötige Gegenkraft für die eingeprägte Kraft aufbringen kann und das zu einem Verschiebungsfeld gehört, welches die kinematischen Randbedingungen erfüllt.

Abbildung 8: Randbedingungen am Beispiel eines mittig belasteten Balkens. eingeprägte Kraft kinematische Randbedingungen Problem Reaktionskräfte eingeprägte Kraft Lösung

Kinematische Randbedingungen müssen bei jedem kontinuumsmechanischen Problem in solchem Ausmaß aufgestellt werden, dass der betrachtete Körper statisch bestimmt ist. Darüber hinausgehende Zwänge können alternativ durch kinematische Randbedingun-gen oder durch eingeprägte Kräfte ausgeübt werden, je nachdem welche Größe besser bekannt ist.

2.3 Finite-Elemente-Methoden

Unter dem Begriff „Finite-Elemente-Methoden (FEM)“ werden verschiedene numerische Verfahren zusammengefasst, mit deren Hilfe sich Probleme unterschiedlicher Problem-klassen (Kontinuumsmechanik, Strömungsmechanik, Elektronik, Elektromagnetismus, Wärmestrom, ...) lösen lassen. Alle diese Problemklassen haben eines gemeinsam: Sie beschreiben physikalische Sachverhalte durch Differentialgleichungen. Während die Lösung dieser Gleichungen bei einfach geformten Körpern durch Integration über den Raum möglich ist, ist dies bei kompliziert geformten Körpern nicht der Fall. Das Prinzip der FEM besteht darin, kompliziert geformte Körper dadurch berechenbar zu machen, dass sie aus vielen einfach geformten Körpern – den finiten Elementen – zusammen-gesetzt werden. Auf diese Weise entsteht ein Finite-Elemente-Modell (FE-Modell) des kompliziert geformten Körpers. Die Anwendung einer Finite-Elemente-Methode wird als Finite-Elemente-Analyse (FEA) bezeichnet.

Abbildung 9: Einige finite Elemente mit ihren Knoten. Dreieck

(3 Knoten) (6 Knoten)Dreieck

Viereck (4 Knoten)

Viereck (8 Knoten)

Tetraeder

(4 Knoten) (10 Knoten)Tetraeder (8 Knoten)Hexaeder (20 Knoten)Hexaeder Linie

(2 Knoten)

Linie (3 Knoten)

Abbildung 9 zeigt beispielhaft einige finite Elemente: Oben sind Linien-Elemente, in der Mitte Flächen-Elemente und unten Volumen-Elemente dargestellt. Bei den Markierungen entlang der Elementränder handelt es sich um sogenannte Knoten. Mit ihrer Hilfe können benachbarte Elemente miteinander zu einem Finite-Elemente-Netz (FE-Netz) verbunden werden. Jedes finite Element besitzt mindestens an jeder seiner Ecken einen Knoten, einige Elementtypen besitzen zusätzliche sogenannte Zwischenknoten.

Die folgenden Abschnitte beschreiben einige Aspekte aus dem Themenkreis der FEM, die zum Verständnis der vorliegenden FEA wesentlich sind.

• Der Abschnitt `Verschiebungsmethode´ beschreibt die in der vorliegenden FEA benutzte Finite-Elemente-Methode in ihren Grundzügen,

• der Abschnitt `Elementtypen´ stellt verschiedene Arten finiter Elemente vor und beschreibt ihre wichtigsten Eigenschaften,

• der Abschnitt `Kontaktanalyse´ beschreibt eine Besonderheit der vorliegenden FEA, die sich auf die Modellierung der mechanischen Wechselwirkung zwischen Implantat und Knochen bezieht, und

• der Abschnitt `Fehlerquellen´ behandelt die Frage der Zuverlässigkeit von Rechen-ergebnissen der FEA.

2.3.1 Verschiebungsmethode

Die in der vorliegenden Arbeit benutzte Finite-Elemente-Methode heisst Verschiebungs-methode und dient der Lösung kontinuumsmechanischer Probleme. Auf diese Methode beziehen sich alle weiteren Ausführungen. Bei der Methode wird jedem Elementknoten ein Verschiebungsvektor zugeordnet, den es zu berechnen gilt. Weiterhin wird davon ausgegangen, dass jedes Element Kräfte auf seine eigenen Knoten ausübt, die von den Verschiebungen aller seiner Knoten abhängen. Diese Abhängigkeit ist im einfachsten Fall linear und wird in der Methode wie folgt hergeleitet [3]:

• Durch Interpolation wird das Verschiebungsfeld im Inneren eines jeden finiten Elements als Funktion der Verschiebungsvektoren seiner Elementknoten ausgedrückt. Diese Verschiebungsinterpolation erfolgt abhängig vom Elementtyp (siehe Ab-schnitt 2.3.2 `Elementtypen´).

• Bei jedem Element wird aus dem interpolierten Verschiebungsfeld das zugehörige Verzerrungsfeld abgeleitet.

• Jedem Element wird ein Materialgesetz zugeordnet. Über dieses Gesetz lässt sich das Spannungsfeld eines jeden Elements aus seinem Verzerrungsfeld ableiten

• Aus den Spannungen an den Elementgrenzen werden diejenigen Kräfte abgeleitet, die ein Element auf seine Knoten ausübt.

Benutzen mehrere benachbarte Elemente einen Knoten gemeinsam, so sind sie kinema-tisch miteinander verbunden, und die Kräfte der einzelnen Elemente auf den Knoten addieren sich. Falls Randbedingungen für den betrachteten Knoten formuliert wurden, wirken zusätzlich eingeprägte Kräfte bzw. Reaktionskräfte. Zur Herstellung des statischen Gleichgewichts in dem betrachteten Knoten muss die Summe all dieser Kräfte verschwinden.

Die Betrachtung des statischen Gleichgewichts liefert in jedem Knoten und für jede Kraftkomponente je eine Gleichung, in der die Knotenverschiebungen als Unbekannte stehen. Im einfachsten Fall sind alle diese Gleichungen linear, bilden also zusammen ein lineares Gleichungssystem. Dieses Gleichungssystem enthält zunächst weniger Glei-chungen als Unbekannte und besitzt damit unendlich viele Lösungen. Werden jedoch

zusätzlich die Randbedingungen des kontinuumsmechanischen Problems berücksichtigt, so kann es mit Hilfe einer elektronischen Rechenanlage gelöst werden. Dazu müssen die Randbedingungen mit Hilfe von Knotenverschiebungen bzw. Knotenkräften ausgedrückt werden. Gibt es Nichtlinearitäten im FE-Modell, so erfolgt die rechnerische Lösung iterativ. In der Praxis erfolgt der Aufbau des FE-Modells am Personal Computer (PC) über eine Software mit grafischer Benutzeroberfläche, die Preprocessor genannt wird. Anschlie-ßend werden die Definitionen aller Knoten und Elemente des Modells in eine Datei geschrieben und einer weiteren Software, dem Solver, übergeben. Dieser stellt die zu lösenden Gleichungen auf, löst sie und schreibt die errechneten Verschiebungen, Verzerrungen, Spannungen und Kräfte in eine weitere Datei. Die Auswertung der Ergeb-nisse erfolgt anschließend mit einer Software, die Postprocessor genannt wird. In der vorliegenden Arbeit wurde für diese Aufgaben das Finite-Elemente-Softwarepaket Marc/Mentat 2003 benutzt (MSC.Software GmbH, München). Bei Marc handelt es sich um den Solver, bei Mentat um eine Software, die den Funktionsumfang von Pre- und Postprocessor in sich vereinigt.

2.3.2 Elementtypen

Das FE-Softwarepaket Marc/Mentat stellt zur Lösung kontinuumsmechanischer Probleme eine Reihe unterschiedlicher finiter Elemente zur Verfügung, von denen jedes Vor- und Nachteile besitzt. Welcher Elementtyp für die Modellierung eines Körpers am vorteilhaf-testen ist, muss von Fall zu Fall entschieden werden. Die Elemente lassen sich unterscheiden

• nach ihrer Dimensionalität in Linien-, Flächen- und Volumen-Elemente und

• nach der Art ihrer Verschiebungsinterpolation in Elemente mit oder ohne Zwischen-knoten.

Linien- und Flächen-Elemente können nur für bestimmte Problemstellungen eingesetzt werden. Liegt eine solche Problemstellung vor, so sind sie den Volumen-Elementen deutlich überlegen, da ihre Verwendung den Aufwand für Modellerstellung, Rechnung und Auswertung erheblich verringert.

Im Kapitel 4 `Vorlagen aus der Literatur´ werden zwei FE-Modelle vorgestellt, die aus Dreieck- und Viereck-Elementen aufgebaut sind. In beiden Fällen wurde ein Volumen mit Hilfe von Flächen-Elementen modelliert.

• Im einen Fall wurden Flächen-Elemente verwendet, die einen axialsymmetrischen Spannungs- und Verzerrungszustand beschreiben. Das zweidimensionale FE-Netz ist in diesem Fall als Rotationsprofil zu deuten. Jedes Flächen-Element repräsentiert dabei ein axialsymmetrisches Teilvolumen des modellierten Gegenstands.

• Im anderen Fall wurden Flächen-Elemente verwendet, die einen ebenen Verzerrungs-zustand beschreiben. Hier ist das zweidimensionale FE-Netz als Expansionsprofil zu deuten, bei dem jedes Flächen-Element ein prismatisches Teilvolumen des model-lierten Gegenstands repräsentiert. Ein ebener Verzerrungszustand ist dadurch gekennzeichnet, dass die Verzerrungen senkrecht zur Ebene des Expansionsprofils verschwinden.

Bei beiden FE-Modellen wurden finite Elemente mit Zwischenknoten benutzt. Zwischen-knoten geben einem Element zusätzliche Freiheitsgrade der Verformung. Die Interpola-tion des Verschiebungsfelds im Element erfolgt bei diesen Elementen mit einem parabolischen Ansatz.

Die FE-Modelle der vorliegenden FEA benutzen Vier-Knoten-Tetraeder-Elemente und Acht-Knoten-Hexaeder-Elemente. Bei diesen Elementen handelt es sich um Volumen-Elemente ohne Zwischenknoten. Mit ihnen können dreidimensionale Verzerrungs- und Spannungszustände beschrieben werden, wobei die Verschiebungsinterpolation im Element durch einen linearen Verschiebungsansatz erfolgt. Es wurde auch versucht, Zehn-Knoten-Tetraeder anstelle der Vier-Knoten-Tetraeder einzusetzen, der Versuch scheiterte jedoch an der Größe des FE-Modells: Bei der vorhandenen Vernetzungsdichte benötigte die FE-Software Marc mehr Hauptspeicher, als vom Betriebssystem zur Verfügung gestellt werden konnte.

2.3.3 Kontaktanalyse

In der vorliegenden FEA wurde ein System aus Implantat und Knochen modelliert, bei dem die finiten Elemente des Implantats keine gemeinsamen Knoten mit denjenigen des Knochens haben – dies geschah, um Relativbewegungen zwischen den Knoten des Implantats und denen des Knochens grundsätzlich zuzulassen. Andererseits mussten die beiderseitigen Knoten so miteinander gekoppelt werden, dass Implantat und Knochen sich nicht gegenseitig durchdringen können. Dies gelang, indem die FEA als Kontakt-analyse ausgeführt wurde.

Eine Kontaktanalyse ist eine FEA, bei der die Formulierung kinematischer Randbedingun-gen in Teilbereichen des FE-Modells vom geRandbedingun-genseitiRandbedingun-gen Abstand ausgewählter Elemente abhängig gemacht wird. Solche bedingten Randbedingungen sind vom Verschiebungs-feld abhängig und werden daher auch als nichtlineare Randbedingungen bezeichnet. Sie führen zu einem nichtlinearen Gleichungssystem, das iterativ nach dem Newton-Raphsonschen Verfahren gelöst wurde.

Nachfolgend wird beschrieben, wie die Kontaktanalyse durchgeführt wurde. Da das Regelwerk der Kontaktanalyse, wie es in der FE-Software Marc 2003 implementiert ist, relativ umfangreich ist, kann dabei nicht auf alle Details eingegangen werden. Eine ausführlichere Beschreibung findet sich in der Software-Dokumentation [26].

Definition der Kontaktkörper

Bei der Erstellung des FE-Modells wurden zwei sogenannte Kontaktkörper definiert. Dem einen wurden die Elemente des Implantats zugeordnet, dem anderen die Elemente des spongiösen und kortikalen Knochens. Alle Knoten im Grenzbereich des Implantats zum Knochen wurden zu Kontaktknoten des einen Kontaktkörpers erklärt, alle Knoten im Grenzbereich des Knochens zum Implantat zu Kontaktknoten des anderen Kontakt-körpers. Entsprechendes geschah mit allen Element-Randflächen in den Grenz-bereichen. Sie wurden zu Kontaktsegmenten erklärt. Die FE-Software wurde angewiesen, für jeden Kontaktknoten zu überprüfen, ob er sich in der Nähe eines

Kontaktsegments des jeweils anderen Kontaktkörpers befindet. Zu Beginn der Rechnung war dies bei allen Kontaktknoten der Fall.

Kontaktbedingung

Ob sich ein Kontaktknoten in der Nähe eines Kontaktsegments befindet oder nicht, entscheidet sich anhand einer Kontaktzone um das Kontaktsegment herum. In der FEA wurde eine asymmetrische Kontaktzone von insgesamt 1 µm Breite gewählt. Sie reicht 0,9 µm in das Element hinein und steht auf der Element-Außenseite 0,1 µm über.

Kinematische Kopplung

Wann immer die FE-Software zu einem Kontaktknoten ein passendes Kontaktsegment fand, in dessen Kontaktzone er lag, wurde der Knoten auf der sogenannten Kontaktfläche des Kontaktsegments positioniert und ein lokales Koordinatensystem eingeführt, das am Normalenvektor dieser Kontaktfläche ausgerichtet ist. In diesem Koordinatensystem wurde als kinematische Randbedingung gefordert, dass die Verschiebungskomponente entlang der Kontaktflächennormale verschwindet. Die übrigen Verschiebungskomponen-ten bezüglich des genannVerschiebungskomponen-ten KoordinaVerschiebungskomponen-tensystems wurden nicht eingeschränkt, weder kinematisch noch über Reibungskräfte. Als Kontaktfläche wurde im Falle des Tetraeder-Modells (siehe Abschnitt 5.2) das Kontaktsegment selbst gewählt, im Falle des Hexaeder-Modells (siehe Abschnitt 5.3) eine analytische Fläche, die im allgemeinen gewölbt ist, das Kontaktsegment in seinen Knoten schneidet und die reale Oberfläche des modellierten Gegenstands besser approximiert als das Kontaktsegment selbst. Wurden alle bedingten kinematischen Randbedingungen formuliert, erfolgte die Lösung des Gleichungssystems.

Ablösung von Kontaktknoten

Nach Lösung des Gleichungssystems ermittelte die FE-Software alle Reaktionskräfte. Die Reaktionskräfte an den in Kontakt befindlichen Kontaktknoten wurden auf die Fläche des zugehörigen Kontaktsegments bezogen und der Quotient als Spannung interpretiert. Bei Spannungen oberhalb einer Grenze von 0,5 MPa – dieser Wert lehnt sich an die im

Kapitel 4 erwähnten Untersuchungen von Van Oosterwyck [34] an – wurde die betref-fende kinematische Randbedingung wieder aufgehoben, so dass sich der Knoten von der Kontaktfläche lösen konnte. Dies führte zu einem veränderten Gleichungssystem, das erneut gelöst wurde.

Konvergenz

Mit dem skizzierten Verfahren wurden mehrere Iterationen benötigt, bis ein Satz von Knotenverschiebungen gefunden war, der den Regeln der Kontaktanalyse nicht wider-sprach und die Bedingung des statischen Gleichgewichts in allen Knoten näherungs-weise erfüllte – letztere Bedingung wird bei der Verschiebungsmethode nie exakt erfüllt, auch nicht bei linearen Systemen. Als Kriterium dafür, ob die Lösung der letzten Iteration die Gleichgewichtsbedingungen hinreichend genau erfüllt, wurde der FE-Software ein Konvergenzkriterium übergeben, das besagt: Das statische Gleichgewicht gilt dann als erreicht, wenn sich die Verschiebungen der letzten Iteration von denen der vorhergehenden wenig unterscheiden, nämlich um maximal 10% der maximalen Verschiebung der letzten Iteration. Wie noch beschrieben wird, wurde das Implantat in den Rechnungen über kinematische Zwangsbedingungen im Knochen verschoben. Die Verschiebung erfolgte schrittweise in Schritten von 2,5 µm bzw. 3,3 µm. Folglich wurde eine Iteration als konvergent betrachtet, wenn sich ihre Verschiebungen höchstens um 0,25 µm bzw. 0,33 µm von der vorhergehenden Iteration unterschieden. Durch das schrittweise Verschieben wurden mehrere Gleichgewichtszustände berechnet, deren Verschiebungslösungen aufeinander aufbauen.

2.3.4 Fehlerquellen

FE-Modelle beschreiben den Gegenstand einer FEA in vereinfachter Form. Im Laufe der Analyse lassen sich zwei Vereinfachungsstufen unterscheiden: Im Rahmen der mechani-schen Idealisierung wird zunächst ein idealisierter Analysegegenstand nach dem Vorbild des realen konstruiert. Anschließend wird im Rahmen der Finite-Elemente-Lösung ein FE-Modell dieser mechanischen Idealisierung erstellt. Beide Vereinfachungsstufen stellen Fehlerquellen für das Ergebnis dar.

Der Gesamtfehler der Analyse lässt sich schwer abschätzen. Daher werden nach Möglichkeit experimentelle Kontrollmessungen durchgeführt. Große Unterschiede zwi-schen den Ergebnissen von FEA und Experiment verlangen eine Erklärung und nach Möglichkeit eine Veränderung von FE-Modell oder experimentellem Aufbau. Deshalb sollte jede FEA sowohl den realen als auch den idealisierten Analysegegenstand beschreiben und das Vorgehen beim Aufbau des FE-Modells dokumentieren.

In dieser Arbeit beschreibt das Kapitel 3 `Gegenstand der Analyse´ den realen Analyse-gegenstand. Der idealisierte Analysegegenstand und zwei FE-Modelle zu seiner Berechnung sind Gegenstand des Kapitels 5 `Eigene Finite-Elemente-Modelle´.

Was wird in dieser Arbeit analysiert? Diese Frage kann in zwei Teilfragen zerlegt und ent-sprechend in zwei Teilen beantwortet werden.

In der ersten Teilfrage geht es um das zu untersuchende biomechanische System. Ihre Antwort lautet in Kurzform: „Analysiert wird das (knöcherne) Implantatbett eines ANKY-LOS®_--_{Implantats bei Einwirkung äußerer Kräfte auf das Implantat.“ Dieses wird im} Rahmen der Arbeit in verschiedenen Idealisierungsstufen beschrieben. Während die im Laufe der FEA vorgenommenen Idealisierungen im Kapitel 5 `Eigene Finite-Elemente-Modelle´ beschrieben werden, enthält das vorliegende Kapitel eine möglichst wirklich-keitsnahe Beschreibung des Systems.

In der zweiten Teilfrage geht es um die kontinuumsmechanische Größe, die als Funktion des Ortes berechnet werden soll. Ihre Antwort lautet: „Analysiert werden die Verzerrun-gen im Implantatbett, da diese als Schlüsselreiz für Knochenumbauvorgänge gelten.“ Die Teilfrage ist damit ausreichend beantwortet, da auf Knochenumbauvorgänge im Kapitel `Grundlagen´ bereits eingegangen wurde.

Die folgenden Abschnitte beschreiben möglichst wirklichkeitsnah die Bestandteile des zu untersuchenden biomechanischen Systems (Implantat und Implantatbett) sowie die Randbedingungen des zu untersuchenden Verzerrungszustands.

3.1 ANKYLOS

®

_-Implantate

Die Marke ANKYLOS® _{steht für eine Familie von sofortbelastbaren Dentalimplantaten, die} von der FRIADENT GmbH Mannheim angeboten werden. Die vorliegende FEA unter-sucht nur einen einzigen Typ dieser Implantatfamilie, nämlich den Implantattyp ANKY-LOS® _{B11. In Folgearbeiten sollen aber nach dem Vorbild dieser Arbeit auch FE-Modelle} anderer Implantattypen erzeugt werden. Deshalb wird im Folgenden zunächst die ganze Implantatfamilie beschrieben und dann der spezielle Typ B11 vorgestellt. Die Beschrei-bung benutzt die in Abbildung 10 definierten Bezeichnungen.

Abbildung 10: Bezeichnungen für Richtungen am Implantat und für einzelne Implantat-bereiche. Die Abbildung zeigt den Implantattyp ANKYLOS® _B11.

3.1.1 Geometrie

ANKYLOS®_{-Implantate sind durch ein „patentiertes progressives Sondergewinde“ [8] im} Knochen verankert, wobei das Attribut „progressiv“ sich auf die Gewindetiefe bezieht. Diese verringert sich allmählich von apikal nach zervikal und läuft an der Grenze zwischen Implantatkörper und Implantathals auf Null aus. Der Implantathals selbst ist gewindefrei.

Die Implantatspitze ist kugelförmig – mit einem Radius von knapp 60% des Nenn-durchmessers, so dass die Bezeichnung „Spitze“ irreführend ist. Die Bezeichnung wurde hier dennoch gewählt, da die Implantatspitze in räumlicher Analogie zur Wurzelspitze des zu ersetzenden Zahns steht.

Im Bereich der Implantatspitze finden sich zwei Ausfräsungen, wie sie bei selbst-schneidenden Schrauben in der Technik üblich sind. Da die Kanten der Ausfräsungen nicht scharf, sondern leicht gerundet sind, ist unklar, ob sie tatsächlich eine Schneid-wirkung im strengen Sinn haben. Die Ausfräsungen sind jedoch in jedem Fall dazu in der Lage, Blut und Knochenbruchstücke aufzunehmen, die sich während des Einschraub-vorgangs in dem Hohlraum zwischen Implantat und Knochen sammeln. Deshalb werden sie in dieser Arbeit als „Spanräume“ bezeichnet.

Kopf

Hals Körper Spitze

Spanraum apikal

Details zur Geometrie enthält der Abschnitt `Einzeltypen´ ab Seite 30, in dem die einzelnen Typen der ANKYLOS®_{-Familie vorgestellt werden.}

3.1.2 Material und Oberfläche

ANKYLOS®_{-Implantate bestehen aus Reintitan vom Grad 2 [9]. Seine stoffliche} Zusam-mensetzung entspricht damit den Normen ISO 5832-2 und ASTM F 67. Das Material-verhalten unter Last kann als homogen und isotrop bezeichnet werden. Isotropes Reintitan verhält sich bei Hauptnormaldehnungen im Bereich

∣∣

4000



linear-elas-tisch mit Elastizitätsmodul

E

=

110 000 MPa und Querkontraktionszahl

 =

0,3.

Die Oberfläche des Implantats ist an keiner Stelle beschichtet. Bezüglich der Rauheit unterscheiden sich Implantathals und Implantatkörper:

• Der Implantatkörper ist „präzisionsgestrahlt“ [8]. Verglichen mit dem Zustand nach Abschluss der Formgebung ist seine Oberfläche ablativ leicht aufgeraut. Histologische Untersuchungen an nicht oberflächenbehandelten Implantaten und leicht gerauten Implantaten zeigten bei den aufgerauten eine bessere Osseointegration [2].

• Der Hals ist „glatt“ [8], um das Risiko einer Infektion des Implantatbetts (Periimplantitis) gering zu halten. In klinischen Studien trat eine solche Infektion bei glatthalsigen Implantaten seltener auf als bei rauhalsigen.

3.1.3 Einzeltypen

ANKYLOS®_{-Implantate sind in vier Durchmessern und verschiedenen Nennlängen} liefer-bar. Typen mit unterschiedlichem Durchmesser unterscheiden sich auch in einigen Kenn-variablen ihres Gewindes (Profil und Steigung) und werden deshalb unterschiedlichen Bauformen zugeordnet. Den vier verfügbaren Nenndurchmessern 3,5 mm, 4,5 mm, 5,5 mm und 7,0 mm entsprechen die vier Bauformen A, B, C und D. Von jeder Bauform werden mehrere Typen unterschiedlicher Nennlänge angeboten. Diese unterscheiden sich voneinander in der Zahl der Gewindegänge, nicht aber in Bezug auf Gewinde-steigung und -profil. Abbildung 11 zeigt beispielhaft jeweils zwei Implantattypen der Bau-gruppen A und B.

Die Bezeichnung eines bestimmten Implantattyps erfolgt durch Angabe von Bauform und Nennlänge. So hat das Implantat ANKYLOS® _{B11, um das es in dieser Arbeit geht, die} Bauform B (Durchmesser 4,5 mm) und die Nennlänge 11 mm.

Zur Durchführung der FEA werden weitere geometrische Details benötigt. Da der Herstel-ler aus patentrechtlichen Erwägungen heraus nicht bereit war, Konstruktionsdaten zur Verfügung zu stellen, wurde ein Implantat vom Typ B11 mit einem Flachbettscanner abgelichtet und das erzeugte Bild vermessen.

Abbildung 11: Einige Implantat-typen der ANKYLOS®

-Implantat-familie (von links nach rechts: B11, B14, A8, A14).

Die Implantate wurden mit einem Flachbettscanner abgelichtet und sind hier im Maßstab 5:1 abgebildet.

Der Implantathals ist stets zylin-drisch, auch wenn die Bilder (be-leuchtungsbedingt) so aussehen, als ob er eine Abflachung hätte.

Abbildung 12: Rekonstruierte Außenform des Implantats ANKYLOS® _{B11, apikale und}

seit-liche Ansicht im Maßstab 10:1. Die Zahl der Nachkommastellen bei den Bemaßungen spiegelt tendenziell die Genauigkeit der Vermessung wider. Die Messunsicherheit der mit zwei Nachkommastellen angegebenen Maße liegt bei ±0,03 mm.

Abbildung 13: Fotomontage eines Bildes vom Implantat ANKYLOS® _{B11 in die Zeichnung}

seiner Rekonstruktion. Apikale und seitliche Ansicht im Maßstab 10:1. Die zur Schnittführung A-A gehörige Schnittdarstellung findet sich in Abbildung 14. Die Fotomontage dient als Kontrolle für die Geometrierekonstruktion des Implantats.

Abbildung 14: Geschnittene Darstellung des Implantats aus Abbildung 13 mit Ausschnittvergrößerun-gen. Die Messunsicherheit der Längenmaße liegt bei ±0,03 mm.

Bei der Vermessung wurde zunächst das Gewinde außer Acht gelassen und nur die Außenform des Implantats mit den Spanräumen vermessen (Abbildung 12). Anschlie-ßend wurde das Gewinde analysiert. Es stellte sich heraus, dass es sich um ein konisches Gewinde (Verjüngungswinkel 4°) mit der Steigung 1,1 mm handelt, bei dem der Gewindegrund ohne Kante in eine der beiden Gewindeflanken übergeht. Abbildung 13 zeigt zwei Ansichten des fertig rekonstruierten Implantats, und Abbildung 14 zeigt einen Längsschnitt durch die Implantatachse, in dem die Charakteristik des Gewindes erkennbar ist. Da der Gewindegrund konisch, die Außenform des Implantats aber (überwiegend) zylindrisch ist, ergibt sich ein Gewinde mit von apikal nach zervikal abnehmender Gewindetiefe. Wie anfangs erwähnt, wird das Gewinde wegen dieser Eigenschaft vom Hersteller als „progressiv“ bezeichnet.

3.2 Implantatbett

Das Implantatbett (oder: Knochenlager) ist derjenige Teil des Kieferknochens, der unmit-telbar mit dem Implantat in Kontakt steht. Da im Knochengewebe laufend Umbau-vorgänge stattfinden, ändert sich sein Zustand mit der Zeit. Ziel der eingangs genannten übergeordneten Studie ist es, einen Zusammenhang zwischen dem Verzerrungszustand des Knochens und der Gewebereaktion herzustellen, um so spätere Zustände des Implantatbetts durch numerische Simulation der Knochenumbauvorgänge vorhersagen zu können. Gegenstand dieser Arbeit ist jedoch der anfängliche Zustand, wie er sich direkt nach dem Einsetzen des Implantats durch den Oralchirurgen darstellt. Dieser Zustand ist im Folgenden implizit gemeint, wann immer der Begriff des Implantatbetts ohne zeitliche Bestimmung verwendet wird.

Der anfängliche Zustand des Implantatbetts wird in einem chirurgischen Eingriff geschaf-fen. Seine Eigenschaften hängen sowohl von der Beschaffenheit des Kieferknochens als auch vom Vorgehen des Oralchirurgen mit seinen Werkzeugen ab. Im Gegensatz zum Implantat ist das Implantatbett folglich kein Seriengegenstand, sondern ein Unikat, das – streng genommen – auf der Grundlage von patientenspezifischen Daten beschrieben werden müsste. Die im weiteren Fortgang der FEA erstellten FE-Modelle gründen sich

jedoch auf ein stark idealisiertes Implantatbett, in dem patientenspezifische Unterschiede keine Berücksichtigung finden konnten.

Das der FEA zu Grunde gelegte Implantatbett wurde aus der Geometrie der chirurgi-schen Werkzeuge abgeleitet: Der Ablauf des chirurgichirurgi-schen Eingriffs wurde beobachtet und anschließend an einem anatomischen Knochenpräparat aus dem Unterkiefer zeich-nerisch nachvollzogen. Die folgenden Abschnitte beschreiben das so konstruierte Implan-tatbett.

3.2.1 Kieferknochen

Die folgende Beschreibung des Implantatbetts basiert auf einem anatomischen Knochen-präparat, das aus dem linken Seitenzahnbereich eines erwachsenen Unterkiefer-knochens (Mandibula) stammt. Abbildung 15 zeigt eine Fotomontage, bei der das ungeschnittene Implantat in die Schnittansicht des Präparats gelegt wurde. Zusätzlich wurden die Grenzen des kortikalen Knochens zur Umgebung und zum spongiösen Knochen eingezeichnet, wobei ein kortikaler Knochenkamm, wie er im zahnlosen Kiefer üblich ist, zeichnerisch ergänzt wurde. Der Präparat-Schnitt selbst besitzt keinen kortikalen Knochenkamm, da er nicht durch die Mitte einer Zahnlücke, sondern unmit-telbar neben einem Zahnfach verläuft.

In der Abbildung ist erkennbar, dass der Implantathals sowohl mit dem kortikalen als auch mit dem spongiösen Knochenanteil Kontakt hat, während der Implantatkörper nur den spongiösen Knochenanteil berührt. Eine Unterscheidung der beiden Knochenanteile ist wesentlich, da sie unterschiedliche elastische Eigenschaften besitzen. Diese werden im Folgenden kurz beschrieben. Da keine eigene Literaturrecherche zu den Materialeigen-schaften durchgeführt wurde, geht die Darstellung wenig ins Detail. Eine Literatur-übersicht findet sich bei [34].

Abbildung 15: Fotomontage eines Implantats ANKYLOS® _{B11 in das Schnittbild des anatomischen}

Präpa-rats. Das Bild zeigt die räumliche Verteilung von kortikalem und spongiösem Knochen im Verhältnis zu den Abmessungen des Implantats. Der Gefäßkanal birgt neben Blutgefäßen auch einen Nerv und darf unter keinen Umständen angebohrt werden. Sowohl Präparat als auch Implantat wurden mit einem Flachbett-scanner abgelichtet und sind im Maßstab 5:1 dargestellt. Die Grenzen des kortikalen Knochens zur Umgebung einerseits und zum spongiösen Knochen andererseits wurden nachträglich gezeichnet.

Die kortikale Knochensubstanz kann als homogen und orthotrop bezeichnet werden. Die Beschreibung ihres elastischen Verhaltens erfolgt mit Hilfe von drei Elastizitätsmoduln, drei Schubmoduln und drei Querkontraktionszahlen – zusammen also neun Material-parametern, bei isotropem Material wären es nur zwei. Jedes Materieelement besitzt drei zueinander senkrechte Vorzugsrichtungen, in denen die physikalische Bedeutung dieser

Knochen (spongiös) Knochen (kortikal) Gefäßkanal bukkal lingual Knochenkamm radiale Knochenrichtung tangentiale Knochenrichtung axiale Knochenrichtung Materialelement

orthotropen Materialparameter erkennbar ist. In Abbildung 15 ist beispielhaft ein Material-element mit seinen Vorzugsrichtungen gezeichnet. Die Vorzugsrichtungen folgen der Knochengeometrie.

Dechow et al. [6] haben die orthotropen Materialparameter des kortikalen Knochens in unterschiedlichen Bereichen der Mandibula bestimmt. Die Ergebnisse für den Seiten-zahnbereich lassen sich qualitativ wie folgt zusammenfassen:

• Das Verhältnis von Normalspannung zu Dehnung ist in axialer Knochenrichtung am größten und in radialer am kleinsten. In axialer Knochenrichtung ist es etwa doppelt so groß wie in radialer.

• Das Verhältnis von Schubspannung zu Gleitung unterscheidet sich in unterschied-lichen Knochenrichtungen nur wenig.

• Die Kopplung von Dehnungen in verschiedenen Richtungen (Querkontraktion) ist bei dem Richtungspaar axial-radial am stärksten und bei dem Richtungspaar tangential-radial am schwächsten. Die tangential-radiale Querkontraktion bei axialer Dehnung ist ungefähr doppelt so groß wie bei tangentialer Dehnung.

Bei spongiösem Knochen ist die Schwankungsbreite der in der Literatur angegebenen Materialparameter deutlich größer als bei kortikalem. Der spongiöse Knochen wird durch zahlreiche Trabekeln gebildet, denen ähnliche elastische Eigenschaften zugeschrieben werden wie dem kortikalen Knochen. Für Rechnungen ist es meist notwendig, den spon-giösen Knochen als homogenes und isotropes Kontinuum aufzufassen. Diese Betrach-tungsweise führte zur experimentellen Bestimmung eines effektiven Elastizitätsmoduls und einer effektiven Querkontraktionszahl. Der Wert des effektiven Elastizitätsmoduls ist abhängig von der Knochendichte, so dass verschiedene Gebiete desselben Knochens sich in ihrem elastischen Verhalten unterscheiden können.

Eine Übersicht über verschiedene Arbeiten, die sich mit der Bestimmung der Material-parameter von kortikalem und spongiösem Knochen beschäftigt haben, findet sich bei Van Oosterwyck [34]. Die in der vorliegenden FEA verwendeten Materialparameter werden im Kapitel `Eigene Finite-Elemente-Modelle´ beschrieben.

3.2.2 Chirurgischer Eingriff und Sofortbelastung

Am Zentrum für Zahn-, Mund- und Kieferheilkunde des Universitätsklinikums Bonn erfol-gen Implantation und Sofortbelastung von Einzelzahn-Implantaten im Seitenzahnbereich nach der sogenannten Bonner Sofortbelastungsmethode [1]. Wenn nachfolgend der Ablauf des chirurgischen Eingriffs beschrieben wird, so sind einige Details nicht allge-meingültig für das Einsetzen von ANKYLOS®_{-Implantaten, sondern beziehen sich} aus-schließlich auf die Bonner Methode.

Der chirurgische Eingriff erfolgt mit Hilfe von Spezialwerkzeugen, wobei für jeden der vier Implantattypen A, B, C und D ein eigener Werkzeugsatz zur Verfügung steht. Der Opera-tionsablauf lässt sich im Normalfall in die folgenden Schritte gliedern [10]:

• Weichteilschnitt mit dem Skalpell

• Knochenglättung mit dem „Rosenbohrer“

• Pilotbohrung mit Spiralbohrer: Festlegung von Position und Richtung des Implantats. • Tiefenbohrung mit „Tri-Spade-Bohrer“ oder „Schaftbohrer“ vom Typ A: Bohren eines

zylindrischen Lochs mit der gewünschten Tiefe. Beide Bohrer besitzen Tiefenmarkie-rungen für die unterschiedlichen Implantatlängen. Die Bohrung ist tief genug, wenn die Oberkante der Tiefenmarkierung auf Kammhöhe liegt.

• zylindrische Erweiterung mit „Tri-Spade-Bohrer“ oder „Schaftbohrer“: Aufbohren des Lochs auf den Durchmesser des passenden Implantattyps. Die Kontrolle der Bohrtiefe erfolgt wiederum über die Tiefenmarkierung des Bohrers.

• konische Erweiterung mit „konischem Ausreiber“: Ausreiben des kammnahen Loch-anteils auf Implantatdurchmesser. Der kammferne Bereich wird nicht verändert, der Übergang zwischen kammnahem und kammfernem Bereich erhält Kegelform.

• Gewindeschneiden: Schneiden eines zylindrischen Trapezgewindes. Der kammnahe, zylindrische Lochanteil bleibt unverändert, der konische Übergangsbereich erhält ein Gewinde, dessen Gewindetiefe mit dem Abstand vom Kamm linear zunimmt. Der kammferne, zylindrische Lochanteil erhält ein Gewinde, dessen Gewindetiefe mit dem Abstand vom Kamm linear abnimmt, da der Gewindeschneider einen konischen Anschnitt besitzt.

• Eindrehen des Pfostens in das Implantat: Auf dem Pfosten wird direkt im Anschluss an die Operation eine provisorische Restauration des zu ersetzenden Zahns befestigt. Diese wird nach 6 Wochen durch die endgültige ersetzt.

• Nahtverschluss.

Eine starke Erhitzung des Knochengewebes während der Bearbeitung führt zur Zerstö-rung der Gewebezellen (Nekrose) und macht das Implantatbett unbrauchbar. Deshalb werden alle Werkzeuge gekühlt und es wird auf scharfe Werkzeugschneiden geachtet. Der oben beschriebene Operationsablauf wurde an dem präoperativen Knochenprofil aus Abbildung 15 zeichnerisch durchgeführt und so das Implantatbett schrittweise konstruiert. Anschließend wurde in dem so konstruierten Implantatbett eine Schnittzeichnung des Implantats durch Bildmontage platziert. Abbildung 16 zeigt die Schnittzeichnungen der Konstruktion zusammen mit den wichtigsten formgebenden Werkzeugen und Abbil-dung 17 zeigt die Bildmontage. Die Oberkante des Implantats liegt dort 0,4 bis 0,5 mm unterhalb des Knochenkamms – dies entspricht der Realität.

Die Darstellung zeigt, dass die Kontur des Implantats mit derjenigen des konstruierten Implantatbetts nicht deckungsgleich ist: In einigen Bereichen ist ein Spalt erkennbar, in anderen kommt es zu Überlappungen. Die Überlappungen lassen darauf schließen, dass sich das Implantat die endgültige Form des Implantatbetts selbst formt. Dies deckt sich mit der Tatsache, dass der Einschraubvorgang mit mäßigem Kraftaufwand verbunden ist. Die Spalte werden sich in der Realität mit Blut und angefallenen Knochenspänen füllen. Möglicherweise fallen sie zudem schmaler aus als gezeichnet, da das Verhalten der einzelnen Knochen-Trabekeln bei der mechanischen Bearbeitung nicht bekannt ist. Außerdem sei daran erinnert, dass der gegenseitige Abstand einzelner Trabekel nach [23] in der Größenordnung 0,3 bis 1,5 mm liegt, was die Dimensionen des Gewindes (Steigung 1,1 mm) nicht wesentlich unterschreitet.

Abbildung 16: Das Implantatbett wurde über die Geometrie der chirurgischen Werkzeuge schrittweise konstruiert. Dargestellt ist jeweils eine Schnittansicht des Implantats zusammen mit dem Werkzeug des zuletzt erfolgten Arbeitsschritts.

S ch a ft lo ch b o hr e r ko n isch e r A u sr e ib e r G e w in d e sch n e id e r

Abbildung 17: Bildmontage der Schnittansicht des Implantats (rot) in die Schnittansicht des Implantat-betts (schwarz) im Maßstab 10:1. Die Darstellung zeigt lokale Inkongruenzen zwischen den Oberflächen der beiden Kontaktkörper.

3.3 Randbedingungen

Beim Schließen des Mundes führt die Mandibula eine Drehbewegung um die beiden Kiefergelenke aus, die mit Hilfe der Kaumuskeln gesteuert wird. Sobald die Zähne des Ober- und Unterkiefers sich gegenseitig direkt oder indirekt über dazwischen liegende

1 2 3 4 Implantathals Implantatkörper Knochen (spongiös) Knochen (kortikal) 1 2 3 4 0,4 bis 0,5 bukkal lingual