Vorwissenschaftliche Arbeit

Gymnasium und Realgymnasium Mürzzuschlag 8680 Mürzzuschlag, Roseggergasse 10

Vorwissenschaftliche Arbeit 

Titel der vorwissenschaftlichen Arbeit: 

Conformal Mapping  

Eine Einführung in die konforme Abbildung im  Allgemeinen und im Speziellen in der Aerodynamik  

Verfasser: 

Thomas Albert Maierhofer 

Mürzzuschlag, im Februar 2015 

    Prüfungsgebiet:   Mathematik 

Klasse:     8B   

Schuljahr:     2014/15 

Betreuerin:     Prof. Mag. Birgit Leistentritt 

Abstract

Das Ziel dieser Vorwissenschaftlichen Arbeit ist es, eine Einf¨uhrung in das Thema Confor- mal Mapping (konforme Abbildungen), ein Teilgebiet der komplexen Analysis, zu geben und eine praktische Verwendung desselben, anhand einer Anwendung in der Aerodynamik, zu veranschaulichen.

Die Arbeit baut auf der Behandlung der theoretischen Grundlagen und Eigenschaften der komplexen Zahlen auf und erkl¨art die komplexen Funktionen, welche den Grundstein f¨ur die konformen Abbildungen darstellen. In weiterer Folge wird auf deren wichtigste Ei- genschaften detailliert eingegangen und es werden verschiedene Klassen von konformen Abbildungen erl¨autert.

Abschließend wird eine praktische Anwendung in der Aerodynamik, im Speziellen die Be- deutung dieser f¨ur die Modellierung von Tragfl¨achenprofilen, gezeigt. Hierbei wird sowohl theoretisch als auch graphisch veranschaulicht, wie sich durch ¨Anderung einzelner Para- meter, die zahlreichen Formen der Abbildung ergeben.

Abstract

The aim of this thesis is to introduce the topic Conformal Mapping which is part of Com- plex Analysis, and to demonstrate a practical application in Aerodynamics of the same.

The paper commences with introducing the theoretical principles and properties of com- plex numbers and explains complex functions, which form the basis for conformal map- pings. Additionally their most important properties will be covered in detail and various classes of conformal mappings will be shown.

Finally a practical application in aerodynamics is illustrated, with focus on its importance for the modelling of aerofoils. In the course of this it is demonstrated theoretically as well as graphically how changes in distinct parameters result in various shapes of the image.

Vorwort

Mit dem Thema der komplexen Analysis wurde ich erstmals im Rahmen der Austrian Summer School 2013, in Saalbach, konfrontiert. W¨ahrend eines Workshops erhielten wir von Univ.-Prof. Dr. F. Haslinger, Universit¨at Wien, eine Einf¨uhrung in dieses Themenge- biet der Mathematik.

Bei einem Gespr¨ach mit meinem Bruder ¨uber diesen Workshop stellte sich heraus, dass er, von seiner Teilnahme an der Austrian Summer School 2011, ein Skriptum ¨uber Conformal Mapping, das auf komplexer Analysis aufbaut, besitzt. Nachdem ich mich damit befasst hatte und vor allem von der beschriebenen Anwendung in der Aerodynamik fasziniert war, wusste ich, dass ich das Thema meiner vorwissenschaftlichen Arbeit in Mathematik gefunden hatte.

Daraufhin begann ich mich in dieses Thema einzulesen und je mehr ich mich darin ver- tiefte, umso mehr f¨uhlte ich mich in meiner Wahl best¨atigt.

Inhaltsverzeichnis

Abstract 2

Vorwort 3

1 Einleitung 6

2 Komplexe Zahlen 7

2.1 Geschichte . . . 7

2.2 Definition . . . 8

2.3 Die graphische Darstellung komplexer Zahlen . . . 8

2.4 Elementare Rechenoperationen . . . 9

2.4.1 Addition und Subtraktion . . . 9

2.4.2 Multiplikation . . . 9

2.4.3 Division . . . 10

2.4.4 Konjungiert komplexe Zahl . . . 10

2.5 Der Fundamentalsatz der Algebra . . . 10

3 Komplexe Funktionen 12 3.1 Definition und Begriffserkl¨arung . . . 12

3.2 Differenzieren im Komplexen . . . 13

3.2.1 Begriffserkl¨arung und Definition . . . 13

3.2.2 Regeln f¨ur das Differenzieren in C . . . 15

3.2.3 Analytische Funktionen . . . 15

3.3 Cauchy-Riemann Differentialgleichungen . . . 16

4 Konforme Abbildungen 17 4.1 Definition und Begriffserkl¨arung . . . 17

4.2 Konformer Abbildungssatz . . . 18

4.3 Die Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektionen . . . 20

4.3.1 Koordinatenbeziehungen . . . 21

4.3.2 Kreisverwandtschaft . . . 22

4.3.3 Winkeltreue . . . 23

4.4 Gebrochen lineare Funktionen . . . 24

4.4.1 Ganze lineare Funktionen . . . 25

4.4.2 Inversion . . . 27

4.5 M¨obiustransformationen . . . 31

4.5.1 Eigenschaften von M¨obiustransformationen . . . 31

4.5.2 M¨obiustransformationen auf der Riemannschen Zahlenkugel . . . . 33

4.6 Abbildung von Kreisen und Geraden . . . 34

5 Anwendung in der Aerodynamik - Tragfl¨achenprofile 37 5.1 Motivation . . . 37

5.2 Die Funktion w=z² . . . 37

5.2.1 Abbildung von Geraden . . . 38

5.2.2 Abbildung von Kreisen . . . 39

5.3 Joukowski Funktion . . . 40

5.3.1 Zusammensetzung der Joukowski Funktion . . . 40

5.3.2 Graphische Darstellung der Joukowski Funktion und Auswirkungen von ¨Anderungen der Parameter x, y . . . 41

6 Zusammenfassung 46

Literaturverzeichnis 47

Abbildungsverzeichnis 49

Selbstst¨andigkeitserkl¨arung 51

1 Einleitung

Conformal Mapping (konforme Abbildungen) ist ein Teilbereich der komplexen Analysis. Es gibt in zahlreichen Gebieten der Mathematik und Physik eine Vielzahl an Anwendungsm¨oglichkeiten, die sich aufgrund ihrer speziellen Eigenschaften ergeben. Ein Beispiel daf¨ur w¨are die h¨aufig benutzte Verwendung der konformen Abbildungen in der Luftfahrttechnik, im Speziellen der Aerodynamik zur Entwicklung von Tragfl¨achen.

Diese Arbeit setzt sich zum Ziel, das Thema konforme Abbildungen von Grund auf zu erkl¨aren und einen Einblick in eine Anwendung in der Aerodynamik zu gew¨ahren. Am Beginn wird zun¨achst eine Einf¨uhrung in die komplexen Zahlen gegeben, anschließend werden die komplexen Funktionen behandelt, die eine Grundlage f¨ur die konformen Ab- bildungen bilden. Im Kapitel Konforme Abbildungen werden vor allem eine Einf¨uhrung in das Verfahren und einige ihrer Eigenschaften behandelt. Abschließend gibt es einen kurzen Einblick in eine Anwendung in der Aerodynamik, bei der auf eine Art der Berechnung von Tragfl¨achenprofilen eingegangen wird.

Grunds¨atzlich basiert diese vorwissenschaftliche Arbeit auf dem Selbststudium der The- matik unter Verwendung diverser Fachliteratur (siehe Literaturverzeichnis). Sie wird durch Beispiele und einer Programmierung in MATLAB, zur graphischen Darstellung von ver- schiedenen Abbildungen bis zum Tragfl¨achenprofil, erg¨anzt. Zur Erarbeitung der Grund- lagen zeigten sich die B¨ucher

”Complex Variables - Introduction and Applications“ von Mark J. Ablowitz und Athanassios S. Fokas¹ und

”Komplexe Zahlen und ebene Geometrie“

von Joachim Engel² als sehr hilfreich.

1Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications. 2. Auf- lage. Cambridge: Cambridge University Press, 2003,

2Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie. 2., verbesserte Auflage. M¨unchen: Oldenbourg Verlag, 2011,

2 Komplexe Zahlen

2.1 Geschichte

Als einer der wichtigsten Mathematiker bei der Entdeckung der komplexen Zahlen gilt Hieronimo Cardano (1501-1576). Er beschrieb in seinem 1545 erschienenen Buch

”Ars magna“ die unm¨oglichen L¨osungen der Gleichung x(10−x) = 40 mit x_1,2 := 5±√

−15.

Dieser Ausdruck, der Form a +√

−b bzw. a +i√

b ¹, welcher die sogenannte

”numeri imaginarii“ (eingebildete Zahl)² i:=√

−1 beinhaltet, ist seither der Mathematik erhalten geblieben.

Leonhard Euler (1707-1783) f¨uhrte das Symbol i ein. Er konnte mit dieser

”neuen“ Zahl und seiner 1748 entwickelten

”Eulerschen Formel“

e^iϕ= cosϕ+isinϕ

eine wichtige Verbindung zu grundlegenden Funktionen herstellen und erreichte somit, dass die komplexen Zahlen immer mehr Anerkennung fanden.³

Durch Carl Friedrich Gauß (1777-1855) wurden die komplexen Zahlen endg¨ultig als

”echte“

Zahlen anerkannt. Mithilfe der geometrischen Darstellung in der Gaußschen Zahlenebene (siehe Kapitel 2.3) konnte er die komplexen Zahlen

”anschaulich“ machen.⁴

1vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 10., durchgesehene Auflage. Wiesbaden: Springer Fachmedien, 1993, S. 41

2vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 6

3vgl. Forst, Wilhelm; Hoffmann, Dieter: Funktionentheorie erkunden mit Maple. 2., ¨uberarbeitete und aktualisierte Auflage. Berlin: Springer Spektrum, 2012, S. 2

4vgl. Roth, J¨urgen: Die Zahl i - fantastisch, praktisch, anschaulich. Sekundarstufe I, 10. Schuljahr.

In: mathematik lehren. 2003, Nr. 121, S. 47-49, S. 48

2.2 Definition

Definition 2.2.1. Die Menge der Komplexen Zahlen C ist definiert durch:

C:={x+iy:x, y ∈R},

wobei x der Realteil <(z) und y der Imagin¨arteil =(z) einer komplexen Zahl z ist und i² =−1 (i∈C).

(Definitions-Quelle: ⁵) Um zeigen zu k¨onnen, dass in C dieselben Rechenregeln gelten wie in R ben¨otigen wir in C:=R² lediglich zwei Operationen:

(x₁, y₁) + (x₂, y₂) := (x₁+x₂, y₁+y₂)

(x₁, y₁) (x₂, y₂) := (x₁x₂−y₁y₂, x₁x₂+y₁y₂).

Daraus folgt, dass (C,+,·) ein kommutativer K¨orper ist und es gelten somit ∀ z ∈ C dieselben Gesetze wie f¨ur die reellen Zahlen, sofern diese rein ¨uber die K¨orperaxiome erreicht werden k¨onnen.⁶ Außerdem gilt, dass zwei komplexe Zahlenz₁ und z₂ genau dann gleich sind, wenn ihre Realteile und Imagin¨arteile gleich sind:

z₁ =z₂ ⇔x₁+iy₁ =x₂+iy₂ ⇔(x₁−x₂) = i(y₂−y₁)

⇔(x₁−x₂)² = (−1) (y₂−y₁)² ⇔x₁ =x₂ , y₁ =y₂.

2.3 Die graphische Darstellung komplexer Zahlen

Eine Besonderheit tritt bereits bei der Darstellung einer komplexen Zahl auf. Jede reelle Zahl kann als Punkt auf einer Zahlengerade dargestellt werden. Damit man aber komplexe Zahlen geometrisch darstellen kann, ben¨otigt man ein zweidimensionales Koordinatensys- tem, einen

”komplexen Raum“ (Gaußsche Zahlenebene). Jede komplexe Zahl z =x+iy kann als zweidimensionaler Vektor ^x_y

seiner Realteile und Imagin¨arteile verstanden wer- den (vgl. Abbildung 2.1). Wie man in Kapitel 2.4 sehen kann, ist es sinnvoll, komplexe

5vgl. Forst, Wilhelm; Hoffmann, Dieter: Funktionentheorie erkunden mit Maple, S. 4

6vgl. ebda, S. 4

Zahlen in Polarkoordinaten (r, ϕ):x=rcosϕ, y=rsinϕ, (r≥0) darzustellen.

Somit kann man komplexe Zahlen z in der Polarform schreiben:⁷ z =x+iy =r(cosϕ+isinϕ)

⇔z =re^(iϕ) =r(cosϕ+isinϕ).

<{z}

={z}

x=rsinϕ

y=rcosϕ zzz ===xxx+++iyiyiy===rerere^iϕiϕiϕ r

ϕ

Abb. 2.1: Darstellung einer komplexen Zahl in der Gaußschen Zahlenebene

2.4 Elementare Rechenoperationen

2.4.1 Addition und Subtraktion

Nimmt man zwei komplexe Zahlen z1 =x1+iy1 und z2 =x2+iy2, dann ist:⁸ z₁ +z₂ =x₁+x₂+i(y₁+y₂).

Die Subtraktion von zwei Zahlen ∈ C funktioniert nach denselben Prinzipien wie die Addition, indem man jeweils die <und die = der Zahlen subtrahiert.

2.4.2 Multiplikation

F¨ur das Produkt zweier komplexer Zahlen z₁ und z₂ gilt:

z₁z₂ =x₁x₂−y₁y₂+i(x₁y₂+x₂y₁).

7vgl. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications, S. 3f.

8vgl. Johnson, R.S.: An introduction to the theory of complex variables. 2012.

Als Download: http://bookboon.com/de/an-introduction-to-the-theory-of-complex-variables-ebook (Zugriff: 24.08.2014)

Die Multiplikation vonz1undz2kann jedoch viel einfacher in Polarform dargestellt werden.

z1z2 =r1e^iϕ1r2e^iϕ2 =r1r2e^i(ϕ1+ϕ2)

2.4.3 Division

z₁

z₂ = x₁+iy₁

x₂+iy₂ = (x₁+iy₁) (x₂−iy₂)

(x₂+iy₂) (x₂−iy₂) = (x₁+iy₁) (x₂+iy₂) x²₂+y₂² =

= x1x2+y1y2

x²₂+y₂² +i

x2y1−x1y2

x²₂+y₂²

Bei der Division kann man genauso wie bei der Multiplikation erkennen, dass es einfacher ist in Polarform zu rechnen.

z₁

z₂ = r₁e^iϕ1 r₂e^iϕ2 = r₁

r₂ ·e^i(ϕ1−ϕ2)

2.4.4 Konjungiert komplexe Zahl

Zu einer komplexen Zahl x +iy existiert eine konjugiert komplexe Zahl, welche durch

¯

z :=x−iy definiert ist und deren Produkt zz¯∈R⁺ betr¨agt.⁹ zz¯=x²+y²

zz¯= (re^iϕ)(re^−iϕ) = r²

2.5 Der Fundamentalsatz der Algebra

Von jedem Polynom, bis einschließlich 4. Grades, lassen sich dessen Nullstellen mit den jeweiligen L¨osungsformeln bestimmen. So kann man die Nullstellen von quadratischen Gleichungen mit den quadratischen L¨osungsformeln berechnen und f¨ur Polynome 3. und 4. Grades ist es m¨oglich, diese durch Verwendung der L¨osungsformeln von Cardano zu erhalten.

So erh¨alt man f¨ur die Gleichung der Form x³+px+q= 0, unter Anwendung der Formel

9vgl. Heuser, Harro: Lehrbuch der Analysis Teil 1, S. 43

von Cardano, die L¨osung:¹⁰

x= ³ s

−q 2 +

r q

2 2

+p 3

3

+ ³ s

−q 2−

r q

2 2

+p 3

3

.

Das eigentliche Problem ergibt sich jedoch ab Polynomen 5. Grades. Ein wesentlicher Fak- tor, von der die L¨osbarkeit abh¨angt, ist die Grundmenge. Nimmt man z.B. die Gleichung z² + 1 = 0, so hat diese in R keine L¨osung, jedoch in der Grundmenge C besitzt sie die L¨osungen L={±i}.

Die erste Version des Fundamentalsatzes stammt von Carl Friedrich Gauß. Sie besagt, dass jede Gleichung vom Grad n (n ≥1) in der Form:

f(z) =a_nzⁿ+an−1zⁿ⁻¹+...+a₁z+a₀ = 0 ∀a_i ∈C

in C mindestens eine L¨osung besitzen muss. Daraus kann man nun schließen, dass wenn z0 L¨osung der Funktion f(z) ist, diese in ein Produkt aufgespalten werden kann:

f(z) = (z−z₀)·f₁(z),

in demf₁(z) ein Polynom des Gradesn−1 ist. Dies wiederum besagt, dass man inCjedes Polynom vom Grad n komplett in Linearfaktoren zerlegen kann:

f(z) =a_n(z−z₀)·(z−z₁)·(z−z₂)·...·(z−zn−1).

Die zweite Fassung des Fundamentalsatzes sagt aus, dass jede Gleichung mit derselben Form wie zuvor exakt n Nullstellen in C besitzt. Zus¨atzlich zu den vorherigen Bedingun- gen muss jedoch gelten, dass a_n 6= 0 ist. Somit kann man in C jedes Polynom in genaun Linearfaktoren aufspalten, woraus folgt, dass der K¨orper (C,+,·) algebraisch abgeschlos- sen ist.

Da man nun jede Gleichung in C l¨osen kann, ben¨otigt man keine weiteren Zahlenerweite- rungen, um eine Gleichung l¨osen zu k¨onnen.¹¹

10vgl. Roth, J¨urgen: Die Zahl i - fantastisch, praktisch, anschaulich. Sekundarstufe I, 10. Schuljahr, S. 47

11vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 89f.

3 Komplexe Funktionen

3.1 Definition und Begriffserkl¨ arung

Definition 3.1.1. Unter einer komplexen Funktionf einer komplexen Variablenzversteht man eine Abbildung, welche jedem Element z ∈ D, D ⊆ C genau ein Element w ∈ T, T ⊆C zuordnet.

f :D→T, f :z 7→w=f(z)

D wird als Definitionsmenge von f(z), T als Zielmenge der Funktion f(z) und W als Wertemenge von f(z) bezeichnet, f¨ur die gilt:

W ={w∈T | ∃ z ∈D:w=f(z)}.

(Definitions-Quelle: ¹) Jede komplexe Funktion ordnet einem reellen Zahlenpaar (x, y), wobei z =x+iy∈D, genau ein eindeutiges Zahlenpaar (u, v) zu, sodass w=u+iv ∈T erf¨ullt ist. F¨uru und v gilt, dass sie reelle Funktionen von xund y sind.

Dadurch kann man jede komplexe Funktion in ihren Realteil <(z) und ihren Imagin¨arteil

=(z) aufspalten:²

w=f(z) =f(x+iy) =u(x, y) +iv(x, y).

1vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 111

2vgl. Greuel, Otto; Kadner, Horst: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen. 3. Auflage. Leipzig:

Springer Fachmedien, 1990, S. 24

Beispiel 3.1.1. Gegeben sei die Funktion w=f(z) = 1 z.

Da w=u+iv und z =x+iy ist, kann diese folgendermaßen zerlegt werden:

w= 1

x+iy = 1

x+iy · x−iy

x−iy = x

x²+y² −i y x²+y²

⇒ <(w) : u(x, y) = x

x²+y² und =(w) : v(x, y) = y x²+y².

Um eine komplexe Funktion geometrisch darstellen zu k¨onnen, ben¨otigt man f¨ur die Definitionsmenge D eine z-Ebene und f¨ur die Zielmenge T eine w-Ebene.³

x iy

u iv

z-Ebene w-Ebene

z D

w T

Abb. 3.1: Geometrische Darstellung der Funktion w=f(z)

3.2 Differenzieren im Komplexen

3.2.1 Begriffserkl¨ arung und Definition

Definition 3.2.1. Die Differenzierbarkeit einer Funktion w=f(z)in einem Punkt z₀ ist durch die Existenz des Grenzwertes vom Differenzenquotienten definiert:

f⁰(z0) = lim

∆z→0

f(z₀+ ∆z)−f(z₀)

∆z = lim

∆z→0

∆w

∆z.

Damit dies erf¨ullt ist, muss gelten, dass w₀ =f(z₀) und somit w₀+ ∆w=f(z₀+ ∆z) ist.

(Definitions-Quelle: ⁴) Die Definition ist nur dann g¨ultig, wenn sich z₀ innerhalb des Bereiches, f¨ur den die Funktion definiert ist, befindet. Ist z0 jedoch ein Randpunkt dieses Bereiches, so ben¨otigt

3vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 112

4vgl. ebda, S. 113

man ∀ ausreichend kleinen >0 ∃ δ >0 sodass gilt:

|f(z)−w₀|< immer dann, wenn 0<|z−z₀|< δ.

Graphisch wird in der Abbildung von w = f(z) zu jedem Punkt innerhalb des Kreises δ =|z−z₀| ohne z₀ ein Punkt innerhalb des Kreises =|w−w₀| abgebildet. Nur wenn unabh¨angig von der Richtung der Ann¨aherung z →z₀ geht, kann ein Grenzwert existieren und daraus folgt, dass w→w₀ geht.⁵

z-Ebene w-Ebene

z₀

w₀ z

δ

w w=f(z)

Abb. 3.2: Punkte mit |z−z₀|< δ abgebildet auf|w−w₀|<

Die Differentialrechnung im Komplexen kann nach denselben Regeln, wie sie auch f¨ur die Durchf¨uhrungen der Differentiation im Reellen gelten, ausgef¨uhrt werden. Allerdings muss zus¨atzlich beachtet werden, dass die zu differenzierende Funktion zumindest in einem gewissen Umfeld um einen Punkt z₀ kontinuierlich ist.⁶

5vgl. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications, S. 20f.

6vgl. Johnson, R.S.: An introduction to the theory of complex variables S. 29

3.2.2 Regeln f¨ ur das Differenzieren in C C C

F¨ur das Differenzieren von Funktionen in C gelten dieselben Grundregeln wie f¨ur Funk- tionen in R.

1. f(z) = zⁿ⇒f⁰(z) =nz⁽ⁿ⁻¹⁾ 2. f(z) = √

z ⇒f⁰(z) = 1 2√

z 3. f(z) = 1

z ⇒f⁰(z) =− 1 z²

4. f(z) = g(z)·h(z)⇒f⁰(z) =g⁰(z)·h(z) +g(z)·h⁰(z) 5. f(z) = g(h(z))⇒f⁰(z) =g⁰(h(z))·h⁰(z)

Beweisen l¨asst sich jede einzelne Regel analog f¨urC zu den Beweisen dieser f¨ur R.⁷

3.2.3 Analytische Funktionen

Definition 3.2.2. Eine Funktion f(z) ist genau dann an der Stelle z₀ differenzierbar, wenn f¨ur eine Funktion f :C⊃W →C, W der Grenzwert

f⁰(z₀) := lim

z→z₀

f(z)−f(z₀)

z−z₀ = lim

∆z→0

f(z₀+ ∆z)−f(z₀)

∆z

existiert. Die Funktionf(z)ist analytisch an der Stellez0, falls∃ >0sodassf(z)komplex differenzierbar f¨ur jedesz mit|z−z₀|< ist. Kann manf ¨uberall inW differenzieren, so heißt f analytisch aufW. Wenn W =C ist, so bezeichnet man f als eine ganze Funktion.

(Definitions-Quelle: ⁸)

7vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 114f.

8vgl. Bobenko, Alexander I.: Komplexe Analysis. Berlin: 21. November 2006. Als Download:

http://page.math.tu-berlin.de/^∼bobenko/Lehre/Skripte/FT.pdf (Zugriff: 12.12.2014) S. 4

3.3 Cauchy-Riemann Differentialgleichungen

Verwendet man nun die Regeln der Differentialrechnung und schreibt eine Funktion w=f(z) mithilfe ihrer Transformationsgleichungen u(x, y) undv(x, y) an, so erh¨alt man:

w=f(z) =u(x, y) +iv(x, y) f⁰(z) = lim

∆z→0

f(z+ ∆z)−f(z)

∆z

= lim

∆z→0

u(x+ ∆x, y + ∆y)−u(x, y)

∆x+i∆y +iv(x+ ∆x, y+ ∆y)−v(x, y)

∆x+i∆y

.

Der Grenzwert dieser Funktion muss immer existieren und denselben Wert haben, un- abh¨angig davon, wie man sich an z ann¨ahert. Man kann nun zwischen zwei F¨allen unter- scheiden, einmal n¨ahert man sich der reellen Achse an und das zweite Mal der imagin¨aren.

Fall 1:

f⁰(z) = lim

∆x→0

u(x+ ∆x, y)−u(x, y)

∆x +iv(x+ ∆x, y)−v(x, y)

∆x

= ∂u(x, y)

∂x +i∂v(x, y)

∂x

Fall 2:

f⁰(z) = lim

∆y→0

u(x, y+ ∆y)−u(x, y)

i∆y +iv(x, y+ ∆y)−v(x, y) i∆y

=−i∂u(x, y)

∂y + ∂v(x, y)

∂y

Aufgrund der Voraussetzung, dass alle Grenzwerte den gleichen Wert haben m¨ussen folgt:

∂u(x, y)

∂x = ∂v(x, y)

∂y

−∂u(x, y)

∂y = ∂v(x, y)

∂x .

Diese zwei Gleichungen besitzen die Bezeichnung Cauchy-Riemann Differentialgleichun- gen. Ist eine komplexe Funktion f(z) = u(x, y) +iv(x, y) differenzierbar, dann erf¨ullt sie die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen.⁹

9vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 115f.

4 Konforme Abbildungen

4.1 Definition und Begriffserkl¨ arung

Definition 4.1.1. Eine komplexe Abbildung einer Funktion f :D7→C heißt genau dann konform, wenn sie winkeltreu, analytisch auf D, orientierungstreu und injektiv ist.

1. f ist analytisch 2. f ist injektiv 3. ∀z ∈D:f⁰(z)6= 0

(Definitions-Quelle: ¹) Einer konformen Abbildung liegt allgemein zu Grunde, dass eine Kurve aus der z-Ebene in die w-Ebene abgebildet wird. Zun¨achst betrachte man eine Kurve k f¨ur die gilt, dass z = z(t), t ∈ R. Der Differenzenquotient zweier benachbarter Punkte z₀ und z₁ =z₀+ ∆z =z(t₀+ ∆t) l¨asst sich berechnen mit:

∆z

∆t = z(t₀+ ∆t)−z(t₀)

∆t .

Die Richtung der Sekante ergibt sich nun durch den Winkel bzw. das arg∆z

∆t. Um sich nun den Winkel einer Tangente ausrechnen zu k¨onnen bildet man, wie im Reellen, den Grenzwert, wobei ∆t→0 geht. Mit argdz

dt ist es m¨oglich die Richtung der Tangente in z₀ anzugeben.

Der Schnittwinkel zwischen den Tangenten zweier Kurven k₁ und k₂ im Punkt z₀ in der z-Ebene kann berechnet werden, indem man die beiden Steigungswinkel beider Tangenten voneinander subtrahiert, alsoγ₂−γ₁. Bildet man nun diese Kurven in diew-Ebene ab, so

1vgl. L¨owen, R.; Schroth, A.E.; Wirths, K.-J.: Funktionentheorie. Als Download:

http://www.iaa.tu-bs.de/et/ft.pdf (Zugriff: 12.11.2014) S. 20

schneiden sie sich im Punkt w0 =f(z0). Nach den Cauchy-Riemann Differentialgleichun- gen wissen wir, dass jede Abbildung einer Kurve von der z-Ebene in die w-Ebene einer Drehstreckung entspricht. Deshalb darf behauptet werden, dass sich die Tangente an w0

gegen¨uber jener Tangente an z₀ nur um den Winkel arg(f⁰(z₀)) dreht:² (γ₂+ arg(f⁰(z₀)))−(γ₁+ arg(f⁰(z₀))) =γ₂−γ₁.

Daraus folgt, dass der Schnittwinkel erhalten bleibt und somit ist eine differenzierbare Funktion winkeltreu.

Um die Streckung einer Kurve zu beschreiben betrachtet man die ¨Anderung des Betrages:

∆z→0lim

|∆w|

|∆z| = lim

z→z₀

|f(z)−f(z₀)|

|z−z0| =|f⁰(z₀)|.

Es werden also in einem Bereich um z0 die Abst¨ande um denselben Faktor |f⁰(z0)| ge- streckt. Man nennt f im Kleinen maßstabsgetreu, wenn w =f(z) differenzierbar ist und der Faktor |f⁰(z0)| 6= 0.³

4.2 Konformer Abbildungssatz

Die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen spielen in weiterer Folge auch eine wesent- liche Rolle f¨ur die konformen Abbildungen, da man mithilfe von ihnen nachweisen kann, dass eine Abbildung konform ist.

Satz 4.2.1. Ist eine Abbildung f(z) f¨ur einen Definitionsbereich D∈C analytisch, dann ist f¨ur jeden Punkt z ∈D mit Ableitung f⁰(z)6= 0 die Abbildung konform. Das wiederum heißt, dass f¨ur diese Punkte Winkeltreue erf¨ullt ist.

(Satz-Quelle:⁴) Beweis. Angenommen f ist eine analytische Funktion, dann kann mithilfe der Identifika- tion der komplexen Ebene C mit der reellen Ebene R² die Funktion f als Funktion von

2vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 117f.

3vgl. ebda, S. 118f.

4vgl. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications, S. 314

R² zu sich selbst gesehen werden.

f˜(x, y) := (<f(x+iy),=f(x+iy)) = (u(x, y), v(x, y))

Zun¨achst ben¨otigt man noch die Jacobi-MatrixJ. Grunds¨atzlich weiß man:

f˜(x, y) =





u(x, y) v(x, y)



.

Die Jacobi Matrix der Funktion ˜f lautet also:

J(x, y) := ∂(u, v)

∂(x, y) =



 u_x u_y v_x v_y



.

Da zu Beginn jedoch festgelegt wurde, dass es sich um eine analytische Funktion handelt und somit die Cauchy-Riemann Differentialgleichungen erf¨ullt sind, kann f¨ur einen Punkt die Jacobi Matrix definiert werden. So kann f¨ur z = x+iy ∈ C festgelegt werden, dass a = u_x(x, y) = v_y(x, y) und b = u_y(x, y) = −v_x(x, y) ist. Schreibt man a und b nun als Polarkoordinaten, also (rcosϕ, rsinϕ), so erh¨alt man:

J(x, y) =



 a b

−b a



=r





cosϕ sinϕ

−sinϕ cosϕ



,

die Matrix einer Drehstreckung.

Man stelle sich nun zwei Kurven ψ₁(t) =



 u₁(t) v₁(t)



 und ψ₂(t) =



 u₂(t) v₂(t)



vor.

Bildet man den Differentialquotienten dieser z.B.:

dψ₁ dt =



 u⁰₁(t) v⁰₁(t)



,

so erh¨alt man die Steigung der Tangenten dieser Kurve in jedem beliebigen Punkt.

Bildet man nun ψ₁ ab, so ist:

f˜◦ψ₁ = ˜f(ψ₁(t)).

Es darf nun angenommen werden, dass df(ψ₁(t))

dt =J · dψ₁ dt .

Dasselbe darf auch f¨ur ψ₂ gemacht werden und da die Jacobi-Matrix eine Drehstreckung bewirkt, bleibt der Winkel, den die beiden Tangenten einschließen, erhalten. Weiters bleibt auch die Orientierung erhalten.

Es folgt daraus, dass es sich in jedem Punkt um eine konforme Abbildung handelt, f¨ur den seine Ableitung ungleich 0 ist.

(Beweis-Quelle: ⁵)

4.3 Die Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektionen

In einigen F¨allen erwies sich die Gaußsche Zahlenebene als unpassend f¨ur die geometrische Veranschaulichung von komplexen Zahlen. So f¨uhrte der Mathematiker Bernhard Riemann (1826-1866) die Riemannsche Zahlenkugel ein, da sich herausstellte, dass sich eine Kugel besser f¨ur die Darstellung eignet. Dabei entspricht jede komplexe Zahl genau einem Punkt auf der Kugel. ¨Ubertragen kann man einen Punkt der z-Ebene indem man ihn mit dem Nordpol verbindet und die dabei entstandene Gerade mit der Kugelsph¨are schneidet (vgl.

Abbildung 4.1). Je weiter ein PunktP vom Mittelpunkt der Kugel entfernt ist, umso n¨aher ist der Schnittpunkt Q, mit der Kugelsph¨are und der Geraden P N, dem Nordpol N der Kugel. W¨urde man sich nun den Punkt ∞ vorstellen, so w¨urde der Schnittpunkt mit der Kugel genau dem Nordpol entsprechen.⁶

5vgl. Bruin, Peter: Proof of conformal mapping theorem. Z¨urich: 21. M¨arz 2013.

Als Download: http://planetmath.org/sites/default/files/texpdf/34502.pdf (Zugriff: 22.12.2014)

6vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 103

4.3.1 Koordinatenbeziehungen

Somit kann man also die komplexen Zahlen mit Punkten des R³ beschreiben. Jede kom- plexe Zahl z =x+iy, kann man folgendermaßen auf die Einheitskugelsph¨are

S² :={(ξ₁, ξ₂, ξ₃)∈R³ :

3

X

a=1

ξ_a² = 1}

ubertragen. Setzt man nun mit¨ N(0/0/1) als Nordpol und P(x/y/0) als Punkt ein, so erh¨alt man:

Q=









 ξ1

ξ₂ ξ3











=λ









 x y 0











+ (1−λ)









 0 0 1











(0< λ∈R).

Unter Einbeziehung der Einheitssph¨arengleichung

3

P

a=1

ξ_a² = 1 erh¨alt man:

λ= 2

x²+y²+ 1. Dadurch k¨onnen wir ¨uber

ξ₁ = 2x

x²+y²+ 1 = z+ ¯z

zz¯+ 1, ξ₂ = 2y

x²+y²+ 1 = i(−z+ ¯z)

zz¯+ 1 , ξ₃ = x²+y²−1

x²+y²+ 1 = zz¯−1 zz¯+ 1 eine stereographische Projektion ζ von C aufS²\ {N} und mit

x= ξ1

1−ξ₃, y = ξ2

1−ξ₃ (4.1)

also z = ξ₁+iξ₂ 1−ξ₃ die Umkehrabbildung beschreiben.⁷

7vgl. Forst, Wilhelm; Hoffmann, Dieter: Funktionentheorie erkunden mit Maple, S. 13

x, ξ₁

y, ξ₂ ξ₃

N

P Q

z

Abb. 4.1: Darstellung einer komplexen Zahl auf der Riemannschen Zahlenkugel⁸

4.3.2 Kreisverwandtschaft

Unter der Kreisverwandtschaft versteht man, dass Kreise in der z-Ebene auf der Rie- mannschen Kugel auch als Kreise erscheinen. Um dies zeigen zu k¨onnen verwendet man die Eigenschaften der Koordinatenbeziehungen und betrachtet einen allgemeinen Kreis der Form:

x²+y²+αx+βy =γ und γ >−α²+β²

4 .

Der Mittelpunkt dieses Kreises ist (−α 2,−β

2) und der Radius r² =γ+α²+β² 4 . Durch Einsetzen von x, y aus 4.1 erh¨alt man die Gleichung:

ξ₁²

(1−ξ₃)² + ξ²₂

(1−ξ₃)² + αξ₁

1−ξ₃ + βξ₂ 1−ξ₃ =γ ξ₁²+ξ₂²

1−ξ₃ +αξ₁+βξ₂ =γ(1−ξ₃),

welche f¨ur Kreispunkte imR³ erf¨ullt ist. Diese Punkte Q liegen jedoch auch auf der Rie- mannschen Zahlenkugel und m¨ussen somit die Kugelgleichung erf¨ullen:

ξ₃(1−ξ₃)

1−ξ₃ +αξ₁+βξ₂ =γ(1−ξ₃)

8ge¨anderter TikZ/LaTeX Code. Quelle: Trzeciak Tomas M.: Example: Stereographic and cylindri- cal map projections. 8. August 2008. Als Download: http://www.texample.net/tikz/examples/

map-projections/ (Zugriff: 15.11.2014)

bzw.

ξ₃(1 +γ) +αξ₁+βξ₂ =γ.

Da es sich hierbei um eine lineare Gleichung handelt, befinden sich alle Bildpunkte in derselben Ebene. Schneidet man diese Ebene mit der Riemannschen Kugel, so ergeben die Schnittpunkte selbst wieder einen Kreis.⁹

4.3.3 Winkeltreue

Man stelle sich zwei Geradeng1 undg2 vor, die in derz−Ebene den Winkelγ einschließen.

Die Abbildung dieser beiden Geraden entspricht auf der Riemannschen Zahlenkugel zwei Kreisen g⁰₁ und g⁰₂. Es soll nun der Winkel γ = γ⁰ gelten, wobei der Winkel zwischen den zwei Kreisen definiert ist durch den Winkel, den die beiden Tangenten t₁ und t₂ einschließen. Um dies zeigen zu k¨onnen, gen¨ugt es zu beweisen, dass die Tangente t1 im Nordpol N parallel zur Geraden g₁ ist.

Der Kreis g₁⁰ liegt in derselben Ebene wie N und g1. Außerdem liegt die Tangente t1 an g⁰₁ in der Tangentialebene der Riemannschen Kugel, die durch den Punkt N geht, welche parallel zur z-Ebene ist. Somit entspricht die Schnittgerade der beiden Ebenen genau der Tangente t₁. Daraus folgt, dass t₁ kg₁ ist (vgl. Abbildung 4.2). Dasselbe gilt nun auch f¨ur t₂ und g₂: t₂ kg₂.

Da die Tangenten in N nun parallel zu den Geraden inz sind, ist der Winkel

^g₁, g₂ =^t₁, t₂.¹⁰

N

z

t₁

g₁ g₁⁰

Abb. 4.2: Stereographische Projektion -t1 kg1 9vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 106

10vgl. ebda, S. 106

4.4 Gebrochen lineare Funktionen

Definition 4.4.1. Man spricht von einer gebrochen linearen Funktion, wenn f¨ur die Ab- bildung gilt: w= az+b

cz+d, mita, b, c, d∈C, unter der Voraussetzung, dass c, dnicht gleich- zeitig 0 sein d¨urfen.

(Definitions-Quelle: ¹¹) Fall 1: Zuerst betrachtet man c= 0 und d6= 0:

⇒w=f(z) = a dz+ b

d =mz+n m, n∈C.

Diese Funktion wird als ganze lineare Funktion bezeichnet (vgl. Kapitel 4.4.1).

Fall 2: Als N¨achstes setzt man fest, dass c6= 0 ist. Der Ausgangsterm w = az+b cz+d kann mithilfe einer Polynomdivision umgeformt werden, sodass:

w= az+b cz+d = a

c − ad−bc

c · 1

cz+d. W¨urde man nun ad−bc= 0 setzen, so w¨urde w= a

c sein und daher w¨are die Abbildung konstant und nicht umkehrbar. Aus diesem Grund kann man voraussetzen, dassad−bc6= 0 ist. In weiterer Folge kann man einer Abbildung die MatrixM =



 a b c d



zuweisen. Daraus folgt, dass die Determinante der Matrix M ungleich 0 ist:

detM =

a b c d

6= 0.

Es ergibt sich ein weiterer Sonderfall, wenn a=d= 0 und b=c= 1:

⇒w=f(z) = 1 z.

Dieser Sonderfall wird allgemein als Inversion bezeichnet (vgl. Kapitel 4.4.2).

Die Besonderheit von gebrochen linearen Funktionen liegt darin, dass man jede als

11vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 121

Verkettung einer ganzen linearen Funktion, einer Inversion und einer weiteren ganzen linearen Funktion anschreiben kann.

p=h(z) =cz+d (ganze lineare Funktion) q=k(p) = 1

p (inverse Funktion)

w=l(q) = bc−ad c q+ a

c (ganze lineare Funktion)

Verbindet man diese drei Funktionen miteinander f = l(q)◦k(p)◦h(z), so erh¨alt man wieder die Ausgangsform von einer gebrochen linearen Funktion:¹²

w=f(z) =l(k(h(z))) = bc−ad c

1

cz+d +a

c = az+b cz+d.

4.4.1 Ganze lineare Funktionen

Definition 4.4.2. Ganze lineare Funktionen sind Spezialf¨alle von gebrochen linearen Funktionen. Eine ganze lineare Funktion ist vorhanden, wennf(z) =mz+nmitm, n∈C und m6= 0.

(Definitions-Quelle: ¹³) Beispiel 4.4.1. Gegeben sei die Funktion f(z) = (1 + 2i)z.

Wir betrachten das Verhalten der Funktion am Beispiel des kartesischen Koordinatensys- tems. Ihre Abbildung wird um den Winkel arg(1 + 2i) = tan⁻¹(²₁) gedreht und um den Faktor |1 + 2i|=√

5 gestreckt.

Da es sich um eine konforme Abbildung handelt, wird jede gerade Linie als gerade Linie abgebildet, alle Winkel bleiben erhalten und somit werden auch alle Quadrate als solche abgebildet.

12vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 121f.

13vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings. 1. Auflage. Malta: Gu- tenberg Press Limited, 2006, S. 5f.

u v

0

−2 + 6i

x y

0

2 + 2i

f(z) = (1 + 2i)z

Abb. 4.3: Abbildung des kartesischen Koordinatensystems unter f(z) = (1 + 2i)z Es k¨onnen nicht nur Drehungen und Streckungen durchgef¨uhrt werden, sondern auch Spie- gelungen und Transformationen, bei denen ebenso die geometrischen Formen erhalten blei- ben. Allerdings ¨andert eine Spiegelung die Orientierung der Winkel und ist deshalb keine konforme Abbildung. Funktionen die transformiert werden haben im allgemeinen die Form f(z) =z+n und sind immer konforme Abbildungen.

Unter den linearen Funktionen gibt es einige Sonderf¨alle, die es wert sind, einzeln betrach- tet zu werden:

1. m = 1 : w=z+n (a) n= 0 →w=z.

Nachdem w = u+iv und z = x+iy ist folgt, dass x = u und y = v. Ist dies der Fall, so spricht man von einer identischen Abbildung.

(b) n6= 0 →w=z+b.

Diese Abbildung ist durch eine Translation dargestellt. Die geometrischen Fi- guren sind zueinander kongruent.¹⁴

2. m 6= 1, n= 0 : w=mz

(a) |m|= 1 ⇒m = cosγ+isinγ, 0≤γ <2π

Daraus folgt, dass die Funktion mit dem Winkel γ um den Ursprung gedreht wird.

14vgl. Greuel, Otto; Kadner, Horst: Komplexe Funktionen und konforme Abbildungen, S. 98f.

(b) m∈R, dann kann man m als m=p, p∈R⁺ schreiben.

→ w = pz, γ = 0 und die Funktion f ist eine zentrische Streckung mit p als Streckungsfaktor.

(c) m=p(cosγ+isinγ), p6= 1, γ 6= 0

In diesem Fall wird eine Drehstreckung durchgef¨uhrt. Es wird um den Faktor p skaliert und um den Winkelγ gedreht.¹⁵

Eine konforme Abbildung einer ganzen linearen Funktion kann somit als eine Zusammen- setzung einer Streckung, einer Drehung und einer Verschiebung ausgedr¨uckt werden.¹⁶

4.4.2 Inversion

Definition 4.4.3. Die Inversion oder Umkehrfunktion f ist definiert als:

f :C\ {0} →C, f :z 7→w= 1 z.

(Definitions-Quelle: ¹⁷) 4.4.2.1 Abbildung eines Punktes

Bildet man einen Punkt z = re^iϕ unter der Inversion w = 1

z ab, so ist die Abbildung dieses Punktes w =f(z) = 1

re^iϕ. F¨ur den abgebildeten Punkt gilt, dass die Distanz zum Nullpunkt genau dem Kehrwert des anf¨anglichen Abstandes entspricht. Außerdem ist der Winkel entgegen der Richtung des urspr¨unglichen, jedoch bleibt die Gr¨oße dieselbe. Man kann deshalb beobachten, wie jeder Punkt, der außerhalb des Einheitskreises liegt nach Innen (vgl. Abbildung 4.4) und jeder der innerhalb liegt nach Außen (vgl. Abbildung 4.5) abgebildet wird. Eine Ausnahme hierbei stellen diejenigen Punkte dar, welche exakt auf dem Einheitskreis liegen (vgl. Abbildung 4.6). Sie werden auf der reellen Achse gespiegelt und sind somit die zugeh¨origen konjugiert komplexen Zahlen.¹⁸

15vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 122f.

16vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings, S. 5f.

17vgl. ebda, S. 7

18vgl. Needham, Tristan: Anschauliche Funktionentheorie. 2. Auflage. M¨unchen: Oldenbourg Wissen- schaftsverlag, 2011, S. 144

<{z}

={z}

ϕ

−ϕ O

z r

1 z

1 r

Abb. 4.4:

z außerhalb des Einheitskreises

<{z}

={z}

ϕ

−ϕ O r z

1 z

1 r

B

Abb. 4.5:

z innerhalb des Einheitskreises

<{z}

={z}

ϕ

−ϕ O

z r

1 z

1 r =r

B

Abb. 4.6:

z auf dem Einheitskreis

4.4.2.2 Abbildungen von Kreisen und Geraden

In den folgenden zwei Beispielen betrachten wir die Abbildung einer Geraden und eines Kreises durch die Inversion:

Beispiel 4.4.2. Gegeben sei die Gerade y+ 4x= 1.

Wir wissen, dass z =x+iy und w=u+iv ist. Zus¨atzlich muss gelten, da die Abbildung unter w= 1

z durchgef¨uhrt wird, dass z = 1 w: z =x+iy= 1

u+iv = u−iv u²+v². Man kann nun x und y durch u und v ausdr¨ucken:

x= u

u²+v², y = −v

u²+v². (4.2)

Nun setzt man f¨ur x, y in die Ausgangsgleichung ein:

−v u²+v² + 4

u u²+v²

= 1

−v+ 4u=u²+v²

−u²+ 4u−v²−v = 0 (−1)

"

(u−2)²−4 +

v+1 2

2

− 1 4

#

= 0 (u−2)² +

v+ 1

2 2

= 17

4 . (4.3)

Betrachtet man die Gleichung 4.3, so kann man erkennen, dass es sich um eine Kreis- gleichung der Form (u² − <_M)²+ (v²− =_M)² = r² handelt. Die Abbildung der Geraden y+ 4x= 1 unter der Inversion entspricht also einem Kreis mit dem Mittelpunkt m= 2−i

2 und dem Radius r=

√17 2 .

Beispiel 4.4.3. Gegeben sei der Kreis (x−3)²+y−4² = 25.

(x−3)²+ (y−4)² = 25 x²−6x+ 9 +y²−8y+ 16 = 25 x²−6x+y²−8y = 0 Da wir nach 4.2 wissen, dass x= u

u²+v², y= −v

u²+v² ist, kann man f¨ur x und y in die obige Gleichung einsetzen:

u u² +v²

2

−6

u u²+v²

+

−v u²+v²

2

−8

−v u² +v²

= 0 u²+ (−v)²

(u²+v²)² −6 u

u²+v²

−8

−v u² +v²

= 0 1

u² +v² −6 u

u²+v²

−8

−v u² +v²

= 0 1−6u+ 8v = 0

6u−8v = 1. (4.4)

Aus der Gleichung 4.4 kann man erkennen, dass der Kreis als Gerade abgebildet wird.

Grund daf¨ur ist, dass der Kreis in der z-Ebene durch den Koordinatenursprung geht.¹⁹

Lemma 4.4.1. Jede Punktmenge ∈C, welche die Gleichung der Form

a(x²+y²) +bx+cy+d= 0 mit a, b, c, d∈R und b²+c² >4ad erf¨ullt, stellt eine Gerade oder einen Kreis dar. Dabei gilt:

(i) Wenn a= 0 handelt es sich immer um eine Gerade.

(ii) Nur wenn d= 0 geht der Kreis oder die Gerade durch den Koordinatenursprung.²⁰

Beweis.

(i) Ist a=0, dann folgt nachb²+c² >4ad, dassb²+c² >0 sein muss. Dies ist allerdings nur zutreffend, wenn b und c nicht gleichzeitig 0 sind. Daraus l¨asst sich schließen, dass unter dieser Bedingung immer eine Gerade entstehen muss.

(ii) F¨ura6= 0 darf durch a dividiert werden:

x²+y²+bx a +cy

a + d a = 0

x+ b 2a

2

− b² 4a² +

y+ c 2a

2

− c²

4a² +4ad 4a² = 0

x+ b 2a

2

+ y+ c

2a 2

= b²+c²−4ad 4a² . Ist b²+c² >4ad, so ist die Gleichung eine Kreisgleichung.

Der Kreis oder die Gerade geht durch den Ursprung, dann und nur dann, wenn x=y= 0, was wiederum genau dann erf¨ullt ist, wennd = 0.

(Beweis-Quelle: ²¹)

19vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings, S. 8f.

20vgl. ebda, S. 9

21vgl. ebda, S. 10

4.5 M¨ obiustransformationen

Definition 4.5.1. Jede Abbildung in der Form w = f(z) = az+b

cz+d mit a, b, c, d ∈ C und ad−bc 6= 0 nennt man M¨obiustransformation. Sie sind definiert im Bereich aller komplexer Zahlen, f¨ur die cz+d 6= 0 gilt. Ist c 6= 0, so umfasst der Definitionsbereich D_f =C\ {−d

c} und f¨ur die Wertemenge W_f =C\ {a

c}. Andernfalls umfasst sowohl die Wertemenge als auch der Definitionsbereich alle Elemente von C.

(Definitions-Quelle: ²²) Diese Transformationen sind nach dem deutschen Mathematiker August Ferdinand M¨obius benannt und werden h¨aufig auch als bilineare Transformationen oder gebrochen lineare Transformationen (siehe Kapitel 4.4) bezeichnet.

4.5.1 Eigenschaften von M¨ obiustransformationen

Die wichtigsten Eigenschaften der M¨obiustransformationen seien hier aufgez¨ahlt:

(i) Wie bereits in Kapitel 4.4 gezeigt, l¨asst sich jede M¨obiustransformation als Kombi- nation zweier ganzer linearer Funktionen und einer inversen Funktion schreiben.

(ii) Weiters wurde bereits in Lemma 4.4.1 behandelt, dass jede M¨obiustransformation Kreise und Geraden als solche abbildet.

(iii) Aus dem konformen Abbildungssatz (vgl. Kapitel 4.2) folgt, dass M¨obiustransformationen konform sind. Es gilt somit f¨ur jeden Punkt z ∈ C \ {−d

c, ∞}, dass dieser komplex differenzierbar und seine Ableitung f⁰(z)6= 0 und daher dessen Abbildung konform ist.

(iv) M¨obiustransformationen bilden eine Gruppe. F¨ur M¨obiustransformationen gilt, dass das Inverse und das Produkt von ihnen ebenfalls M¨obiustransformationen sind und sie sind somit geschlossen unter der Operation Multiplikation. Das Inverse der Funk- tion f(z) ist gegeben durch:

dz−b

−cz+a.

Aus diesen ¨Anderungena→d,b → −b,c→ −c,d→a, woraus sichad−bc→ad−bc ergibt, folgt, dass das Inverse von f eine M¨obiustransformation ist.

22vgl. Forst, Wilhelm; Hoffmann, Dieter: Funktionentheorie erkunden mit Maple, S. 235

Um zu zeigen, dass das Produkt von zwei Transformationen auch eine M¨obiustransformation ist, bildet man ihr Produkt. Angenommen z₂ = f₂(z) und w = f1(z2) und f1, f2 sind von der Form f(z) = az+b

cz+d, dann erh¨alt man durch Verkn¨upfen vonf₁ und f₂, sprich w=f₁(f₂(z)) = f₃:

f₃(z) = a₃z+b₃ c₃z+d₃.

Es ist nun m¨oglicha₃ =a₁a₂+b₁c₂,b₃ =a₁b₂+b₁d₂,c₃ =c₁a₂+d₁c₂,d₃ =c₁b₂+d₁d₂ zu berechnen. Es bleibt zu zeigen, dass a₃d₃−b₃c₃ = (a₁d₁−b₁c₁)(a₂d₂−b₂c₂)6= 0, damit f₃(z) ebenfalls eine M¨obiustransformation ist.²³

Beweis. Damit a₃d₃ −b₃c₃ = (a₁d₁ −b₁c₁)(a₂d₂ −b₂c₂) 6= 0 erf¨ullt ist, muss jeder Faktor (a₁d₁−b₁c₁) und (a₂d₂−b₂c₂) ungleich 0 sein.

Wir wissen, aus der Definition (vgl. 4.5.1) einer M¨obiustransformation (bilinearen Transformation), dass ad−bc 6= 0 ist. Außerdem ist sowohl f₁ als auch f₂ jeweils eine gebrochen lineare Transformation. Daraus folgt, dass f¨ur beide Faktoren gelten muss, dass sie ungleich 0 sind. Nachdem wir nun das Produkt zweier Faktoren, welche nicht 0 sein d¨urfen, nach Definition bilden, muss dieses auch kleiner oder gr¨oßer als 0 sein.

Die Identit¨at dieser Gruppe ist gegeben durch b = c = 0 und a = d = 1, wodurch w=f(z) zu w=z reduziert wird.

Es ist somit gezeigt, dass M¨obiustransformationen eine Gruppe bilden.

(v) Jede Transformation hat 1 oder 2 sogenannte Fixpunkte, welche bei der Abbildung von z →wihre Position beibehalten. Sie werden also nicht von einer Ebene auf eine andere, sondern auf die Ebene selbst abgebildet. Man kann diese Punkte durch L¨osen der Gleichungz = az+b

cz+d, oder anders geschriebencz²−az+dz−b= 0, berechnen.

Interessanter ist die zweite Form dieser Gleichung, da man erkennen kann, dass mit Ausnahme von c = 0, a = d oder c = b = 0, eine quadratische Gleichung vorliegt und man zwei Fixpunkte erh¨alt.²⁴

23vgl. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications, S. 366f.

24vgl. ebda, S. 370

(vi) Durch eine M¨obiustransformation werden inverse Punkte auch als inverse Punkte abgebildet.

z₀

z₂ z₁

r r₁ r2

Abb. 4.7: Abbildung von zwei inversen Punkten z₁, z₂

Liegen zwei Punkte z₁ und z₂ auf einer Gerade mit dem Kreismittelpunkt z₀ und erf¨ullen sie die Bedingung:

|z₀−z₁| · |z₀−z₂|=r²,

mit dem Radius r und dem Mittelpunkt z₀, so sind z₁ und z₂ invers. Da die zwei Punkte mit z0 auf einer Gerade liegen, kann man f¨ur z1 = z0 + r1e^iϕ und f¨ur z₂ =z₀+r₂e^iϕ schreiben. Der Abstand der beiden Punkte zum Mittelpunkt z₀ betr¨agt r1 bzw. r2. Sind z1 und z2 invers, so m¨usste gelten, dass r1 ·r2 = r² bzw.

(z₁−z₀)·( ¯z₂−z¯₀) = r². Es ist nun m¨oglich, die beiden Punkte wie folgt darzustellen:

z1 =z0 +r1e^iϕ, z2 =z0+r²

r₁e^iϕ, r6= 0.

Andert sich der Radius des Kreises, so werden auch die Punkte¨ z₁, z₂ verschoben.

Geht r₁ →0, so n¨ahert sich z₁ dem Punkt z₀ an undz₂ geht gegen ∞.²⁵

4.5.2 M¨ obiustransformationen auf der Riemannschen Zahlenkugel

Mithilfe von stereographischen Projektionen kann man jede M¨obiustransformation durch eine einfache Bewegung der Riemannschen Zahlenkugel inR³darstellen. Wie bereits vorher gezeigt, kann man jede bilineare Transformation durch eine Kombination von Rotationen, Translationen, Inversionen und Streckungen in C darstellen.

Die Riemannsche Kugel bietet hierzu eine sehr anschauliche M¨oglichkeit, um diese Opera- tionen graphisch darstellen zu k¨onnen. Mithilfe einer Projektion der komplexen Ebene auf

25vgl. Ablowitz, Mark J.; Fokas, Athanassios S.: Complex Variables. Introduction and Applications, S. 372

die Kugel kann man, mit einfachen Bewegungen dieser, die Transformationen darstellen:

◦ Rotationen: Durch Drehen der Kugel um die vertikale Achse (0,0, ξ3).

◦ Translationen: Diese entsprechen einer Parallelverschiebung der Kugel entlang der Ebene (ξ₁, ξ₂,0).

◦ Streckungen: Indem man die Kugel entlang seiner vertikalen Achse (0,0, ξ₃) ver- schiebt, verkleinert oder vergr¨oßert man die Abbildung auf C.

◦ Inversion: Eine Inversion erh¨alt man, indem man die Kugel um die horizontale-Achse (ξ₁,0,0) mit dem Winkel π rotieren l¨asst.²⁶

Abb. 4.8: Darstellung einer M¨obiustransformation durch Bewegungen der Riemann Kugel²⁷

4.6 Abbildung von Kreisen und Geraden

Satz 4.6.1. Wenn zwei Kreise K₁ und K₂ zwei allgemeine Kreise darstellen, so existiert immer eine M¨obiustransformation, welche den Kreis K1 zuK2 abbildet.

(Satz-Quelle: ²⁸)

26vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 148f.

27Quelle: Douglas N. Arnold and Jonathan Rogness: Mobius Transformations Revealed. 2007.

Als Download: http://www.ima.umn.edu/^∼arnold/moebius/ (Zugriff: 21.12.2014)

28vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings, S. 24

Beweis. Man nimmt drei voneinander verschiedene Punkte α, β, γ, welche auf dem Kreis K₁ liegen und bildet diese ab. F¨ur diese drei Punkte existiert genau eine M¨obiustransformation f(z), die sie zu α⁰, β⁰, γ⁰ abbildet. Da die Abbildung Kreise er- gibt und α, β, γ auf K₁ liegen, m¨ussen α⁰, β⁰, γ⁰ sich auf K₂ befinden. Die Abbildung des Kreises K1 entspricht dem Kreis K2.

(Beweis-Quelle: ²⁹) Beispiel 4.6.1. Gegeben sei der Kreis K1 ={z : |z−(1 +i)| =√

2}, welcher durch die M¨obiustransformation f(z) = −z+ 2

z+ 2 abgebildet wird:

Zuerst ist es notwendig drei Punkte des Kreises in der z-Ebene zu bestimmen:

α = 0, β = 2, γ = 2 + 2i.

Als n¨achsten Schritt bildet man diese in die w-Ebene ab:

α= 07→1 = α⁰ β = 27→0 = β⁰ γ = 2 + 2i7→ −1 + 2i

5 =γ⁰. Unter der Abbildung f(z) = −z+ 2

z+ 2 wird der Kreis K₁ = {z : |z−(1 +i)| = √

2} zum Kreis K₂ = {z : |z − 1

2(1−i)| = √

0,5}, welcher den Mittelpunkt z₀ = 1−i

2 und den Radius r=√

0,5 hat, abgebildet. Die graphische Darstellung dieser konformen Abbildung ist in Abbildung 4.9 dargestellt.

<{z}

={z}

<{z}

={z}

0 2

2 + 2i

0 1

−1 + 2i 5

K1

K₂

f(z) =−z+ 2 z+ 2

Abb. 4.9: Abbildung des Kreises K₁ mit f(z) = −z+ 2

z+ 2 nachK₂

29vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings, S. 24

Beispiel 4.6.2. Gegeben sei die Gerade L={z : <(z) = =(z)} ∪ {∞}, welche durch die M¨obiustransformation f(z) = z+i

z−i abgebildet wird.

Um eine Gerade abbilden zu k¨onnen, ist es m¨oglich nach dem exakt gleichen Schema wie im vorhergehenden Beispiel vorzugehen. Da eine Gerade nur eine Spezialform eines allgemeinen Kreises darstellt, ist ebenfalls das Dreipunktschema anwendbar, wobei durch Verwendung von ∞ die Berechnung h¨aufig vereinfacht werden kann.³⁰

Zuerst w¨ahlen wir drei Punkte α, β, γ∈L:

α = 0, β = 1 +i, γ =∞.

Anschließend werden diese drei Punkte abgebildet:

α = 07→ −1 =α⁰ β = 1 +i7→1 + 2i=β⁰

γ =∞ 7→1 =γ⁰.

Durch Abbilden der Geraden L mit der gebrochen linearen Transformation f(z) = z+i z−i entsteht der Kreis K ={z : |z−i| =√

2} (siehe Abbildung 4.10) mit Mittelpunkt z₀ = i und Radius r=√

2, .

<{z}

={z}

<{z}

={z}

0

1 +i

−1 1

1 + 2i

∞

K L

f(z) = z+i z−i

Abb. 4.10: Abbildung der Geraden L durch f(z) = z+i

z−i nachK

30vgl. The Open University: Complex Analysis UNIT D1 Conformal Mappings, S. 26

5 Anwendung in der Aerodynamik - Tragfl¨ achenprofile

5.1 Motivation

In den vorangehenden Kapiteln wurde die Theorie von den Anf¨angen der komplexen Zahlen bis hin zu wichtigen Grundlagen der konformen Abbildungen behandelt. Damit kann nun, ausgehend von den vorhergehenden Kapiteln, auf eine Anwendung in der Aerodynamik eingegangen werden. Der russische Mathematiker und Aerodynamiker Nikolay Yegorovich Zhukovsky (1847-1921) gilt als einer der wichtigsten Vorreiter f¨ur die moderne Aerodyna- mik. Dank seiner Verbindung der Str¨omungslehre mit den konformen Abbildungen gelang es erstmals die Str¨omungen auf einem Tragfl¨achenprofil darzustellen. Durch Anwendung der Joukowski Funktion an Kreisen k¨onnen Tragfl¨achenprofile berechnet und konstruiert werden.

5.2 Die Funktion w = z

Definition 5.2.1. Die Funktion w = z² ist eine konforme Abbildung f¨ur alle Punkte z ∈C\{0}. Durch ihre Anwendung werden die Radien quadriert und die Winkel verdoppelt.

(Definitions-Quelle: ¹) Betrachtet man eine komplexe Zahl:

z =x+iy=r(cosϕ+isinϕ)

1vgl. Engel, Joachim: Komplexe Zahlen und ebene Geometrie, S. 153