ÜBER DEN UNTERSCHIED UND DIE BEZIEHUNGEN DER LOGISCHEN UND DER ERKENNTNISTHEORETISCHEN
ELEMENTE IN DEM KRITISCHEN PROBLEM DER GEOMETRIE.
Von R. Honigswald.
Das kritische Problem der Geometrie ist zunächst eine Be- sonderung der allgemeinen Frage: wie sind synthetische Ur
teile a priori möglich? Es ist der Ausdruck des Bedürfnisses, das Recht der euklidischen Geometrie als absoluter Norm em
pirischer Raumverhältnisse zu begründen. Worauf gründet sich
— so etwa lautet dieses Problem in konkreter Formulierung — die mit dem Anspruch auf Apodiktizität auftretende Forderung, das Dreieck der euklidischen Geometrie als die Norm für die Beurteilung eines jeden, wo, wann, worauf und womit immer gezeichneten Dreiecks zu betrachten.
Nun ist aber mit der apodiktischen Forderung der eukli
dischen Geometrie, eine Wissenschaft von den Normen der empirischen Raumgebilde zu sein, verknüpft ihr Anspruch, strenge W issenschaft überhaupt zu sein.
Mit anderen Worten: die euklidische Geometrie dem onstriert;
und die euklidische Geometrie fordert apodiktische Geltung für die Ergebnisse ihrer Demonstration von den räumlichen Gebilden der Erfahrung. Der erste Satz kennzeichnet die Eigen
art der Gewinnung von Erkenntnissen in der euklidischen Geometrie. Der zweite fixiert deren Bedeutung für alle räum
liche Erfahrung. Der erste Satz betrifft eine Frage der Logik der euklidischen Geometrie; er repräsentiert das logische Element im Rahmen des kritischen Problems der Geometrie. Der zweite das eigentlich erkenntnistheoretische. Genauer: der erste, logisch-methodologische, ist eine Voraussetzung der im zweiten Satze erst enthaltenen erkenntnistheoretischen Fragestellung im engeren Sinne.
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Die eigentliche erkenntnistheoretische Frage nach dem Grunde der apodiktischen Geltung des Ergebnisses der geometrischen Demonstration als Norm von räumlichen Verhältnissen der Er
fahrung kann nämlich erst aufgeworfen werden im Hinblick auf die Erkenntnis, daß die Geometrie sich nicht auf Er
fahrung gründet, sondern unabhängig von aller Erfahrung, d. h.
beweisend verfährt. Denn nur im Hinblick auf diesen Umstand erst wird der Anspruch der euklidischen Geometrie auf Geltung für Objekte der Erfahrung zum Problem. Und andererseits gewinnt derjenige Faktor, kraft dessen die euklidische Geo
metrie demonstrierende Wissenschaft ist, der Faktor also, dem sie ihre logische Eigenart verdankt, seine volle Bedeutung erst im Zusammenhänge der erkenntnistheoretischen Fragestellung.
Ich meine den Faktor der sogenannten „reinen Anschauung“.
Mit der Besinnung auf alle diese Verhältnisse nun hängt ein Weiteres und Wichtigeres zusammen:
Sogleich erweitert sich uns nämlich der ursprüngliche Sinn des kritischen Problems der Geometrie; sogleich verdoppelt sich uns hier der Sinn der kritischen Grundfrage: wie sind synthetische Urteile a priori möglich? Neben die in engerer Bedeutung erkenntnistheoretische Forderung des Rechtsgrundes für einen empirischen Gebrauch der Geometrie tritt die For
derung eines Beweises für die Möglichkeit einer nicht-analy
tischen, d. h. nicht aus bloßen Begriffen zu führenden Z>c- m onstration. Es verdoppelt sich mithin, genauer gesprochen, der Sinn des Wortes „synthetisch“. „Synthetisch“ bedeutet — und zwar stets in seiner Kombination mit dem Worte „aprio
risch“ — einmal: den Grund für die Möglichkeit des spezi
fischen Verfahrens der euklidischen Geometrie, nämlich zu de
monstrieren, ohne in einer Analyse von Begriffen zu bestehen;
und es umfaßt das andere Mal den Grund der apodiktischen Geltung der Geometrie als Norm für die räumlichen Verhältnisse der Erfahrung. Es weist hin das eine Mal auf den Grund da
für, daß die euklidische Geometrie ihre Sätze nicht auf die Erfahrung gründet, d. h. durch Beobachtung und Experiment gewinnt, sondern ein für allemal, d. h. für den B egriff ihrer Gebilde, obschon nicht aus Begriffen entwickelt; und es be
zeichnet das andere Mal den Grund der Geltung des für die Begriffe der geometrischen Gebilde B ew iesen en von den räum
lichen Verhältnissen der Erfahrung.
Das Wort „synthetisch“ verdeckt also — unanalysiert — gleichsam den Unterschied zwischen den logischen und den erkenntnistheoretischen Elementen im kritischen Problem der Geometrie und mit der Besinnung auf die Verschiedenheit seiner Bedeutung erst enthüllt sich uns der Wert jener Unter
scheidung selbst.
Aus solchen Erwägungen aber fällt zugleich auch Licht auf die erkenntnistheoretische Stellung der euklidischen und der nicht-euklidischen Geometrien, bezw. auf das Verhältnis jener zu diesen. Zwei Punkte standen hier von vornherein fest:
I. Die Axiome Euklids sind nicht beweisbar.
II. Ihre in anscheinend vollkommener methodischer Freiheit mögliche Kombination resp. Negation bildet den Ausgangs
punkt in sich völlig geschlossener geometrischer Systeme nicht
euklidischen Charakters. Und zweierlei war es wieder, was man daraus schloß: der Tatsachenw ert der euklidischen Geometrie, den man sogleich näher als den Ausdruck ihres em pirischen Ursprungs bestimmte, und die These, daß die Geometrie als mathematische Disziplin in der Analyse ivillkürlich gesetzter Ausgangspunkte sich erschöpfe.
Gegen die empirische Valenz der euklidischen Axiome sprechen vor allem zwei gewichtige Gründe: die Eigenart ihres modalen Charakters, genauer ihre Präzision oder doch ihr An
spruch auf Präzision gegenüber jeder möglichen Verallgemeine
rung aus der Erfahrung — zu einer Linie kann durch einen außerhalb ihrer gelegenen Punkte nur eine Parallele gelegt werden —, also die absolute Freiheit der geometrischen Axiome von jeder Spur einer komparativen Allgemeinheit; und dann der grundsätzliche Gegensatz der Substrate der euklidischen Geometrie zu den analogen Substraten in der Erfahrung: Punkt, Linie und Raum bedeuten in der G eom etrie etwas von Punkt, Linie und Raum in der Erfahrung völlig Verschiedenes.
Ist andererseits die Geometrie wirklich nur eine Wissenschaft mit willkürlich gesetzten Ausgangspunkten? Erschöpft die Vor
stellung der letzteren den Begriff des geometrischen Axioms?
— Was mit diesen Fragen am Spiel steht, ist der Erkenntnis
wert und der Sinn der Geometrie überhaupt: ist sie Hirnge
spinst oder Wissenschaft, sind ihre Ergebnisse Phantasmen oder Erkenntnisse? — Ich beantworte diese Frage mit dem Hinweis auf eine fundamentale Unterscheidung.
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Die Freiheit in der Wahl des zu Definierenden ist lange noch nicht gleichbedeutend mit dessen willkürlicher Setzung, die relative Freiheit in der Auswahl der Methoden zur Definition eines Gegenstandes bedeutet noch nicht dessen Abhängigkeit von der individuellen Willkür. Gewiß, ich wül das eine Mal den euklidischen, das andere Mal — durch Streichung bezw.
Modifikation des Parallelenaxioms — einen anderen Raum de
finieren; d a ß ich aber durch mein Verfahren in dem einen Fall die euklidische, in dem zweiten eine andere räumliche Ge
setzlichkeit definiere, ist ein meiner Willkür schlechthin ent
zogener Umstand. — Nur weil sich dies so verhält, spricht man mit Recht von einer Entdeckung der Gesetzlichkeit nicht-eukli
discher Räume.
Die verschiedenen Geometrien gelten nebeneinander; aber sie gelten nebeneinander nicht wie die sich zufällig vertragen
den Phantasmen eines oder verschiedener Menschen, sondern wie verschiedene objektive Verhältnisse ausdrückende G esetz
lichkeiten. Jede der Geometrien muß Bedingungen erfüllen, kraft deren sie eben Geometrie, und nicht eine in ihrer Geltung auf das empirische Subjekt beschränkte Kombination beliebiger Vorstellungen ist.
Die These von der Willkürlichkeit der Grundlagen der Geo
metrie verdankt ihr Dasein einer Verwechslung der psycholo
gischen Umstände ihres B etriebes mit den logischen Be
dingungen ihres Begriffes. — Eine besondere Form der psycho
logischen Bedingtheit eines Effektes wird dessen logischer Be
dingungslosigkeit gleichgesetzt. Die Gefahr einer solchen Ver
wechslung liegt bei der Geometrie als mathematischer Disziplin näher als bei anderen Wissenschaften. Die Mathematik schafft sich ihre Objekte; sie schafft sie in den Aufgaben und Pro
blemen, die sie sich stellt, und in den Methoden, die sie be
tätigt. Aber sie stellt damit zugleich auch — und das ist für uns entscheidend — ihre Probleme und Methoden unter das Gesetz ihrer Gegenstände. D. h. : die Geometrie verfährt will
kürlich in der Stellung ihrer Probleme, nur soweit es die Eigenart der durch diese bestimmten Objekte gestattet; und nur die Frage stellt ein Problenv, die zur Bestimmung eines solchen Gegenstandes beiträgt, also dessen objektiven Be
dingungen entspricht. Die Mathematik erfaßt ihre Objekte als Probleme ; aber das bedeutet nicht eine relativistische Be-
Stimmung des mathematischen Objekts, sondern eine nicht re
lativistische Bestimmung des mathematischen (geometrischen) P roblem s.
In den Axiomen und in dem System der euklidischen Geo
metrie ist der absolute euklidische Raum in seiner objektiven Gesetzlichkeit definiert. Die Axiome der euklidischen Geometrie sind die Repräsentanten des absoluten euklidischen Raumes, der reinen euklidischen Anschauung. — Die nicht-euklidischen Geometrien repräsentieren objektive und anschaulich-räumliche Gesetzlichkeiten anderer Art. Für die euklidische Geometrie steht die These: ihre Axiome haben Tatsachenwert; aber sie definieren oder schaffen die Tatsachen, um die es sich handelt, und zwar den eigenen Bedingungen der letzteren gemäß. Das aber heißt erkenntnistheoretisch gesprochen: die euklidischen Axiome sind ungeachtet ihres Tatsachenwertes nicht empirisch, das heißt m ethodologisch ausgedrückt : die euklidische Geo
metrie dem onstriert, indem sie konstruiert.
Und genau das Entsprechende gilt für die nicht-euklidischen Geometrien. Auch sie definieren Tatsachen ; auch ihre Probleme determinieren eine gegenständliche und, wenn auch nur negativ, als anschaulich zu denkende Gesetzlichkeit; auch ihre iVxiome sind der Ausdruck wenigstens des Gedankens einer demon
strierenden Konstruktion in nicht-euklidischen, reinen An
schauungsräumen; auch sie demonstrieren im Gedanken einer möglichen Konstruktion.
Mit anderen Worten: Alle Geometrien sind axiomatisch. Alle Geometrien demonstrieren, obschon es keine aus Begriffen tut.
Alle G eom etrien sind apriorisch und synthetisch in dem ersten Sinne dieses W ortes. Alle Geometrien sind im Hinblick auf das logische Element der kritischen Fragestellung gleichwertig.
Alle Geometrien sind grundsätzlich von gleicher logisch-mathe
matischer Valenz. Alle Geometrien sind logisch von der Er
fahrung genau so weit entfernt wie von analytischen Begriffs
spielen.
Prinzipiell unterschieden voneinander sind die Geometrien nur im Hinblick auf ihr erkenntnistheoretisches Verhältnis zum Begriff der Erfahrung; denn positiv ist dieses Verhältnis nur bei der euklidischen Geometrie. Nur die Axiome der eukli
dischen Geometrie beanspruchen Normen zu sein für die räum
lichen Verhältnisse der Erfahrung. Nur für die Axiome der
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euklidischen Geometrie deduziert die kritische Philosophie das R echt dieses Anspruchs. A priorisch und dennoch synthetisch im zw eiten Sinn d ieses W ortes ist nur die eu klidische G eo
m etrie.
Warum gerade die euklidische Geometrie? — so ist man so
gleich geneigt zu fragen. Die Antwort des Erkenntnistheore
tikers auf diese Frage kann nur in der Begründung ihrer Ab
lehnung bestehen. Die Frage ist keine erkenntnistheoretische Frage, denn sie ist keine Geltungsfrage. Sie wäre die Frage nicht mehr nach dem Rechtsgrunde der Geltung der eukli
dischen Geometrie für alle räumlichen Verhältnisse der Er
fahrung, sondern eine Frage nach dem Grunde der T atsache dieser Geltung. D. h. sie wäre entweder psychologisch oder metaphysisch. Sie ist entweder die Frage: wie kommt die den Bedingungen der euklidischen Axiome gemäße empirische An
schauung zustande? Wie entsteht die Kenntnis von der eukli
dischen Raumgesetzlichkeit in uns? Warum entwickelt sich diese Kenntnis zeitlich vor jeder anderen geometrischen?; — oder aber sie ist die Frage: warum ist unsere empirische An
schauung gerade den Bedingungen der euklidischen Axiome gemäß ?
Bezeichnet man — wie dies so oft geschieht -— die Grund
lagen der Geometrie als „tatsächlich“ und „empirisch“, so denkt man dabei an die Verträglichkeit der verschiedenen Geometrien.
So gewiß aber diese Verträglichkeit in dem synthetischen — oder was dasselbe bedeutet — in dem axiom atischen Charakter der Geometrien begründet ist, so gewiß ist hier der Gebrauch der Worte „tatsächlich“ und „empirisch“ verwirrend. Denn der Ausgangspunkt keiner Geometrie ist eine Tatsache der Er
fahrung. „Tatsächlich“ und „empirisch“ sind in der Theorie der Geometrie eben nicht Synonyme, weil die Geometrie die
„Tatsachen“, die sie repräsentiert, zugleich den objektiven Be
dingungen dieser Tatsachen gemäß erzeugt und definiert.
Der philosophische Kritizismus ist ebenso Theorie der Er
fahrung, wie er Theorie der geometrischen, d. h. räumlich-an
schaulichen Voraussetzungen der Erfahrung ist. Das aber heißt:
Das logische Element im kritischen Problem der Geometrie muß geklärt, der Grund für die Möglichkeit eines demonstrierenden Verfahrens in der Geometrie muß entdeckt sein, wenn das eigentlich erkenntnistheoretische Problem überhaupt soll ge
stellt werden können. Die euklidische Geometrie muß, um mit ihren Axiomen ein Element der kritischen Erfahrungstheorie zu sein, sich vor allem als Wissenschaft rechtfertigen. Das aber kann sie nur durch eine erkenntnistheoretische Klärung ihres Verhältnisses zur nicht-euklidischen. Diesem Zwecke nun wurde in meinen Darlegungen die Scheidung zwischen den logischen und den erkenntnistheoretischen Elementen im kri
tischen Problem der Geometrie dienstbar gemacht.
D I S K U S S I O N .
Bauch betont, daß der verschiedeneW e rt d er verschiedenenG eom etrien lediglich in d er B edeutung für die E rfah ru n g liege. Lediglich die euklidische G eom etrie gilt, obw ohl unabhängig von a lle r E rfah ru n g, doch für die E rfah ru n g.
H essen b erg: Die W o rte , m it denen d er V ortragen de die erk en n tn is
th eo retisch e F ra g e n ach d er G eltung d er euklidischen G eom etrie ab lehnte, indem e r die G eltungsfrage a ls v ersteck te T atsach en frag e au f
w ies, lassen an sch ein en d eine Anw endung au f alle G eltungsfragen zu.
E s w a r n ich t zu erk en nen , w aru m diese Ablehnung n u r fü r die Geometrie
und n ich t fü r alle erk en n tn isth eoretisch en F ra g e n m öglich sein soll.
P e a n o : Dans les d ern ières an n ées on a co n stru it beaucou p de géo
m étries, différentes e n tre elles p a r le sy stèm e des idées prim itives (n on définies), et des propositions p rim itives (non d ém on trées, p o stu lats).
L e d ern ier ré su lta t de ces re ch e rch e s e s t con ten u dans un M ém oire de M. P ieri, prof, à l’U niversité de P a rm a , publié dans les M ém oires de l ’A cad ém ie de T u rin , il y a quelques jou rs, où le nom bre des idées prim itives e st réd u it à d eu x, point e t d istan ce, d éterm in ées p a r 2 4 po
stu lats.
Dr. F ra n z e : Ich glaube die em p irisch e F ra g e red u ziert sich auf die F ra g e n a ch d e r erkenntnistheoretischen M öglichkeit des V orhandenseins n ich t
eu klid isch er Räume. Ist erk en n tn isth eoretisch ein R iem an n sch er etc.
R a u m denkbar, dann ist au ch die betreffende nicht-euklidische G eom etrie
empirischgültig. Ist a b e r n u r ein euklidischer R au m erkenntnistheoretisch
denkbar, dann is t n u r die euklidische G eom etrie empirisch rich tig ; die logische Geltung der an deren w ird d u rch diese Überlegung n atürlich n ich t b erü h rt.
Hönigswald (S ch lu ß w o rt): N ochm alige Z u sam m en fassu ng des im V or
trag E rö rte rte n .
