Institut für Theoretische Physik Prof. Dr. Martin Zirnbauer
der Universität zu Köln Daniel Wieczorek
Mathematische Methoden der Physik
Blatt 4
WS 2014/15
Abgabe:04.11.2014 bis 12 Uhr im entsprechenden Briefkasten Besprechung:06.11.2014 in den Übungsgruppen
Website:http://www.thp.uni-koeln.de/∼dwieczor/mm1415
18. Entwickeln nach Orthonormalbasen
SeiB={e1, . . . ,en} eine Orthonormalbasis des euklidischen Vektorraums(V,h·,·i).
a) Zeigen Sie: Für jedes v ∈ V lassen sich die Komponenten bzgl. B durch vi = hv,eii berechnen.
Wir betrachten nun den Falln= 3.
b) Rechnen Sie nach, dass
C=
√1 14
1 2 3
B
, 1
√ 10
−3 0 1
B
, 1
√ 35
1
−5 3
B
ebenfalls eine Orthonormalbasis ist.
c) Verwenden Sie das Ergebnis von a), um folgende Vektoren zur Basis C auszudrücken:
1 0 0
B
0 1
−1
B
−2 1 3
B
19. Spatprodukt
Sei(V,h·,·i)ein dreidimensionaler euklidischer Vektorraum mit OrthonormalbasisB={e1,e2,e3}.
Berechnen Sie das Volumen des Spats, das von den Vektoren
u=
5
−10 2
B
v=
−1 17
3
B
w=
5 6
−7
B
aufgespannt wird.
1
20. Euklidische Geometrie aus Sicht der Vektorrechnung
Der euklidische Raum (E2,R2,+) mit Koordinatensystem{p0;e1,e2}, wobei B= {e1,e2} eine Orthonormalbasis bzgl. des Skalarproduktsh·,·iist, ist ein Modell1 für die Ihnen aus der Sekun- darstufe I gut bekannte euklidische Geometrie. Dementsprechend sind alle Sätze, die Ihnen dort begegnet sind, auch in diesem Modell gültig; sie lassen sich mit Hilfe der Vektorrechnung jedoch mitunter leichter beweisen. Beweisen bzw. formulieren und beweisen Sie folgende Sätze:
a) Der Schwerpunkt eines Dreiecks teilt die Seitenhalbierenden im Verhältnis2 : 1.
b) Die Mittelpunkte der Seiten eines beliebiges Vierecks sind die Eckpunkte eines Paralle- logramms.
c) Der Kosinussatz.
d) Der Satz des Thales.
e) Der Höhensatz des Euklid.
21. Matrixvektorräume und Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt
Es sei Mn die Menge aller quadratischen Matrizen mit n Zeilen (und n Spalten) mit reellen Elementen.
a) Zeigen Sie: Mit der elementweisen Verknüpfung(A+B)ij :=Aij+Bij für alleA, B∈Mn und der elementweisen skalaren Multiplikation (λ·A)ij :=λAij für alle A∈Mn, λ∈R wird(Mn,+,·) zu einem reellen Vektorraum.
b) Es seitr(A) :=Pn
i=1Aiidie Spur der MatrixA, d.h. die Summe ihrer Diagonalelemente, und At die transponierte Matrix, d.h.(At)ij =Aji. Beispielsweise gilt
tr
1 2 3 4 5 6 7 8 9
= 1 + 5 + 9 = 15 und
1 2 3 4 5 6 7 8 9
t
=
1 4 7 2 5 8 3 6 9
.
Zeigen Sie: Durch hA, Bi:=tr(AtB) wird ein Skalarprodukt aufMn definiert.
Hinweis: Es ist nützlich, zunächst tr(λA) =λtr(A) und tr(A+B) =tr(A) +tr(B) zu zeigen.
c) Eine Orthonormalbasis von(M2,h·,·i) ist
B= 1
√ 2
1 0 0 1
, 1
√ 2
1 0 0 −1
,
0 1 0 0
, 0 0
1 0
.
Drücken Sie folgende Elemente von M2 als Spaltenvektoren bzgl. Baus:
1 2 3 4
−2 0 1 1
Hinweis: Sie müssen analog zu 18c vorgehen!
1Dies bedeutet, dass eine konkrete mathematische Struktur vorliegt, die Hilberts Axiomensystem der euklidi- schen Geometrie genügt.
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