Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

Es existieren 6 (nicht-triviale) Typen ebener Quadriken mit den folgenden Normalformen:

Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

x₁² a²₁ −^x22

a²₂ = 0 schneidendes Geradenpaar

x₁²

a²₁ = 0 Doppelgerade Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

x₁²

a²₁ = 2x2 Parabel

Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

−^x12

a²₁ + ^x_a²2² 2

= 1 Hyperbel

x₁² a²₁ + ^x_a²2²

2 = 1 Ellipse

x₁²

a²₁ = 1 paralleles Geradenpaar

Die Gr¨oßen a_k >0 sind die Hauptachsenl¨angen der Quadrik.

Triviale Sonderf¨alle sind die Normalformen

x₁² a²₁ +^x_a²²2

2

= 0 (Punkt)

−^x12

a²₁ − ^x22

a²₂ = 1 (leere Menge)

−^x12

a²₁ = 1 (leere Menge)

2 / 9

schneidendes Geradenpaar Doppelgerade

x1

x₂

a₁ a2

x₁ x₂

Hyperbel Ellipse

x₁ x2

a₁ a₂

x1

a1

x2

a2

4 / 9

paralleles Geradenpaar Parabel

x1

x₂

a₁

x₁ x₂

Beispiel

Normalform und der Typ der Quadrik Q : 3x₁²+ 3x₂²+ 10x₁x₂−14√

2x₁−2√

2x₂−18 = 0

(i) Matrixform:

0 =x^tAx + 2b^tx+c =x^t

3 5 5 3

x+ 2√

2 (−7,−1)x−18 (ii) Eigenwerte:

charakteristisches Polynom

3−λ 5 5 3−λ

= (3−λ)²−25 Nullstellen λ₁ =−2,λ₂= 8

6 / 9

(iii) Eigenvektoren:

homogenes lineares Gleichungssystem det(A−(−2)E)u₁ =

5 5 5 5

u₁ = 0 normierter Eigenvektoru1 = (1,−1)^t/√

2 zu λ1 =−2

normierter Eigenvektor u2 zuλ2= 8 ⊥ zuu1 =⇒ u2 = (1,1)^t/√ 2, wobei das Vorzeichen so gew¨ahlt ist, dass die Determinante der

Transformationsmatrix

U = (u1,u2) = 1

√ 2

1 1

−1 1

positiv ist (Drehmatrix)

(iv) Diagonalisierung:

Substitution x=Uy

0 = x^tAx+ 2b^tx+c

= y^tU^tAUy + 2 b^tU y+c

= −2y₁²+ 8y₂²−12y₁−16y₂−18 (v) Verschiebung:

quadratische Erg¨anzungξ =y+ (3,−1)^t

0 = −2y₁²+ 8y₂²−12y₁−16y₂−18

= −2(y₁+ 3)²+ 18 + 8(y2−1)²−8−18

= −2ξ₁²+ 8ξ₂²−8 (vi) Skalierung:

Division durch 8 Normalform

−ξ²₁ 2² +ξ₂²

1² = 1 Hyperbel mit Halbachsenl¨angen 2 und 1

8 / 9

(vii) Transformation:

x =Uy =U(ξ+ (−3,1)^t) Verschiebungsvektor (Mittelpunkt) v = 1

√2

1 1

−1 1

| {z }

U

−3 1

= 1

√2 −2

4

(viii) Skizze:

1 2 3 4 5