Klassifizierung und Normalformen von Möbiustransformationen

Klassifizierung und Normalformen von Möbiustransformationen

Wir betrachten eine Möbiustransformation M(z) = ^αz+β_γz+δ unter gewissen Eigen- schaften.

a) Möbiustransformation mit genau zwei Fixpunkten:

a1) Ein Fixpunkt ist ∞: Dann ist γ = 0 und α 6= δ. Sei ζ ein weiterer endlicher Fixpunkt. Dann schreiben wir fürw=M(z)

w−ζ =M(z)−ζ = α δz+ β

δ −ζ = α

δ(z−ζ) + α δζ+β

δ

| {z }

=ζ

−ζ.

Also erhalten wir

w−ζ = α

δ(z−ζ).

Setze ˜w:=w−ζ und ˜z :=z−ζ. Dann hat die Möbiustransformation mit einem Fixpunkt ∞ und einem endlichen Fixpunkt ζ in der ˜w,z-Ebene die Normalform˜

˜

w=a·z˜mit a:= α δ.

In dieser Ebene hat die Möbiustransformation die Fixpunkte∞ und 0.

a2) Zwei endliche Fixpunkte ζ1, ζ2 ∈C: Wir schreiben

˜

z:= z−ζ₁

z−ζ₂, w˜ := w−ζ₁ w−ζ₂.

Zwischen ˜z und ˜w muss dann eine gebrochen-lineare Beziehung (= Möbiustrans- formation) bestehen. Diese hat die Fixpunkte 0 und∞, denn es gilt

˜

z = 0 =⇒z =ζ₁ ^{F ixpunkt}=⇒ w =ζ₁ =⇒w˜= 0

1

und analog für ˜z =∞. Damit muss nach a1) gelten:

˜

w=a·z˜mit a:= α−γζ₁ α−γζ₂,

denn für z =∞ ist w= ^α_γ und damit w−ζ₁

w−ζ₂ =a· z−ζ₁ z−ζ₂

z=∞=⇒

α γ −ζ₁

α

γ −ζ₂ =a·1.

b) Möbiustransformation mit genau einem Fixpunkt:

b1) Fixpunkt ist∞: Dann muss die Möbiustransformation wegen γ = 0 eine Translation sein, das heißt die Form haben

w=z+b mit b 6= 0.

b2) Fixpunkt ζ ist endlich: Dann setzen wir

˜

z := 1

z−ζ w˜ := 1

w−ζ.

Dann besteht zwischen diesen beiden Möbiustransformationen eine gebrochen- lineare Beziehung mit genau einem Fixpunkt unendlich, also nach b1)

w˜ = ˜z+b mit b = γ α−ζ·γ, denn für z =∞ ist w= ^α_γ und damit

1

α

γ −ζ = 0 +b.