Konvexe Hülle – Algorithmus 2

Was bisher geschah

I Motivation, Beispiele

I geometrische Objekte imR²:

Punkt, Gerade, Halbebene, Strecke, Polygon

I maschinelle Repräsentation geometrischer Objekte

I konvexe Mengen imR^d

I konvexe Hülle conv(P)endlicher PunktmengenP⊆R^d

I Beobachtungen im SpezialfallR²:

I conv(P)ist ein Polygon

(EckenfolgeH= [q₀, . . . ,qm−1]im Uhrzeigersinn)

I ∀p,q∈P:pqKante von conv(P)gdw.

∀r ∈P:rliegt auf oder rechts vonpq

I Entwurf des Algorithmus conv-1

I Nachteile des Algorithmus conv-1:

I LaufzeitO(n³)sehr hoch

I kaumrobust

I in Spezialfällen und

I gegenüber Rundungsfehlern

Konvexe Hülle – bessere Idee

inkrementellerAlgorithmus:

I Durchlaufen der Punkte inP in einer sinnvollen

Reihenfolge und gleichzeitige Erzeugung / Anpassung von Zusatzinformationen

I Repräsentation (und Verarbeitung) vonPals geordnete Menge (Folge)[p₁, . . . ,p_m]

I Ordnung aufsteigend nachx-Koordinate

(Punkte werden von links nach rechts verarbeitet)

I Berechnung der konvexen Hülle in zwei Durchläufen, oberenundunterenTeil

Obere und untere konvexe Hülle

gegeben:

P= [p₁, . . . ,pn]aufsteigend geordnet nachx-Koordinate

[q₀, . . . ,q_k]istobere (untere) konvexe HüllevonP gdw.

1. [q₀, . . . ,q_k]zusammenhängende Teilfolge der

(evtl. zyklisch verschobenen) Eckenfolge von conv(P), 2. q₀=p₁(für untere konvexe Hülleq₀=pn)

3. q_k =p_n(für untere konvexe Hülleq_k =p₁)

Beobachtung:HoundHuenthalten keine „Linkskurven“

fürH_o⁰ = [q₀, . . . ,q_|Ho|−1](tail(Ho)) undH_u⁰ = [q₀, . . . ,q_|Hu|−1](tail(H_u)) gilt:

H_o⁰ ◦H_u⁰ =H (Eckenfolge von conv(P))

Berechnung der oberen konvexen Hülle

gegeben:

P= [p₁, . . . ,pn], aufsteigend nachx-Koordinate geordnet

Idee: Linksabbiegen verboten (konvex)

schrittweise Berechnung der oberen konvexe HülleH₀: in jedem Schrittk:

I Punkte[p₁, . . . ,p_k]sind abgearbeitet, dabei wurdeH_o= [q₁, . . . ,q_i]berechnet (mitgeführte Zusatzinformation)

I nächsten Kandidatenp_k+1anH_oanhängen (H_o←H_o◦p_k+1)

I fallspk+1nicht rechtsvonqi−1qi,

Korrekturder FolgeHo= [q1, . . . ,qi−1,qi,pk+1]notwendig:

solangepk+1nicht rechts vonqi−1qi:

qi ausHoentfernen und Rechts-Test füri ←i−1 wiederholen

I sonst ok

Warum „nicht rechts von“ statt „links von“?

Konvexe Hülle – Algorithmus 2

Algorithmus : conv-2 Eingabe:P⊆R²endlich

Ausgabe:H= [q0, . . . ,qm−1] (Eckenfolge von conv(P))

[p₁, . . . ,p_n]←Paufsteigend nachx-Koordinate sortieren

H_o←[p₁,p₂] (Berechnung obere konvexe Hülle) für jedesk ←3, . . . ,n:

H_o←H_o◦p_k

solange|H_o| ≥2und q_|Ho|nicht rechts von(q_|Ho|−2,q_|Ho|−1): q_|Ho|−1ausH_oentfernen (vorletzter Punkt)

H_u←[p_n,pn−1] (Berechnung untere konvexe Hülle) für jedesk ←n−2, . . . ,1:

Hu←Hu◦p_k

solange|H_u| ≥2und q|Hu|nicht rechts von(q|Hu|−2,q|Hu|−1): q_|Hu|−1ausH_uentfernen (vorletzter Punkt)

q_|Ho|ausHoentfernen q|Hu|ausHuentfernen H=Ho◦Hu

Korrektheit des Algorithmus conv-2

(unter idealen Bedingungen, keine Rundungsfehler) Behauptung:

Die von conv-2 für eine endliche PunktmengeP ⊆R² berechnete FolgeH ist eine Eckenfolge von conv(P).

Nachweis fürH_o undH_u getrennt (analog Berechnung) Ausgangspunkt:

[p₁, . . . ,p_n]ist die korrekt (lexikographisch) nachx-Koordinaten

aufsteigend geordnete Folge aller Punkte inP (durch korrektes Sortierverfahren bestimmt) zu zeigen: für jedesi∈ {2, . . . ,n}gilt:

Der nach Verarbeitung des Punktesp_i berechnete Teil vonHo

ist die obere konvexe Hülle der Punkte[p₁, . . . ,p_i].

Idee: Induktion übern(Tafel)

Laufzeit und Robustheit

Berechnung vonHo undHu jeweils∈O(n). Warum?

Sortieren vonnPunkten∈O(nlogn) Laufzeit:

L(conv-2) =L(Punkte-sortieren) +L(H_o) +L(H_u)∈O(nlogn) mögliche Probleme:

I P kann Punkte mit denselbenx-Koordinaten enthalten Lösung: lexikographische Ordnung (erstx, danny)

I P kann kollineare Punkte enthalten

kein Problem wegen Test auf „nicht rechts von “

I Rundungsfehler führen nicht zu strukturellen, sondern höchstens zu kleinen lokalen Fehlern (für die meisten Anwendungen harmlos)

lässt sich durch stärkeres Runden vermeiden, welches Punkte mit geringem Abstand zu einem zusammenfügt

Konvexe Hülle – Anwendungen

I Abschätzung von Kollisionsrisiken

I Hindernisumfahrung (Wegplanung)

I Mustererkennung

I Objekterkennung, Segmentierung in digitalen Bildern

I Texterkennung

I Bestimmung von Bounding-Boxen

I Gestenerkennung

(Volumenverhältnis von Objekt und konvexer Hülle)

I Bioinformatik

I Medizininformatik (Ausdehnung von Krankheitsherden)

I Verpackungstechnik

Schritte beim Entwurf geometrischer Algorithmen

1. Problemanalyse:

I Eingaben

I Ausgaben

I (mathematischer) Zusammenhang zwischen Ein- und Ausgaben

2. maschinelle Darstellung der Ein- und Ausgaben 3. Entwurf eines Lösungsalgorithmus

(zunächst Abstraktion von Spezialfällen und Rundungsfehlern)

4. Analyse von Robustheit und Ressourcenverbrauch des entworfenen Algorithmus

5. evtl. weitere Problemanalyse und Entwurf besserer Algorithmen

6. Implementierung mit Fehlerabschätzung