7.3 Kurven- und Fl¨ achenintegrale
Kurvenintegral
Z
C
f = Zb
a
f(p(t))|p0(t)|dt
f¨ur eine regul¨are Parametrisierung t→p(t)∈Rn, p0(t)6= 0 unabh¨angig von der Parametrisierung
f = 1 L¨ange von C
Eigenschaften des Kurvenintegrals
• linear: Z
C
αf +βg =α Z
C
f+β Z
C
g
• additiv: Z
C
f dC = Z
C1
f + Z
C2
f , C =C1
∪· C2
L¨ange einer Kurve
Die L¨ange L einer Kurve mit stetig differenzierbarer Parametrisierung t 7→p(t), a≤t≤b, ist Z b
a
|p0(t)|dt .
Speziell gilt f¨ur eine Kurve in der xy-Ebene mit der Parameterdarstellung p(t) = (x(t), y(t))
L= Z b
a
px0(t)2+y0(t)2dt .
Insbesondere hat der Graph einer Funktion y=f(x), x∈[c, d] die L¨ange
L= Z d
c
p1 +f0(x)2dx .
Die L¨ange des Kurvenst¨ucks zwischen p(a) undp(t),
s(t) = Zt a
|p0(τ)|dτ ,
kann als kanonischer Kurvenparameter benutzt werden. Man erh¨alt die sogenannte Parametrisierung nach Bogenl¨ange:
q(s) = p(t), |q0|= 1.
Aufgrund des normierten Tangentenvektors gilt f¨ur diese kanonische Parametrisierung Z
C
f = ZL
0
f(q(s))ds mit L der L¨ange von C.
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Regul¨are Parametrisierung eines Fl¨achenst¨ucks
R3
x1
...
xn−1
7→s(x) =
y1
...
yn
mit einer im Inneren vonRbijektiven Abbildungsund linear unabh¨angigen Vektoren∂1s(x), . . . , ∂n−1s(x), x∈R◦
Tangentialebene: aufgespannt durch ∂ks(x) Fl¨achennormale: Einheitsvektor ξ(x) ⊥ ∂k(x)
Fl¨achenintegral
Z
S
f dS = Z
R
(f◦s)|det(∂1s, . . . , ∂n−1s, ξ)|dR
mit s: R 3(x1, . . . , xn−1)7→(y1, . . . , yn)∈S einer regul¨aren Parametrisierung und ξ(x) der (normierten) Fl¨achennormale
Skalierungsfaktor der Fl¨achenelemente:
dS =|det(∂1s, . . . , ∂n−1s, ξ)|dR
f = 1 Fl¨acheninhalt vonS
Fl¨achenelement in Zylinderkoordinaten Z
S
f dS =
zZmax
zmin
Z2π 0
f(%, ϕ, z)% dϕ dz
f¨ur einen Zylindermantel S : (ϕ, z)7→(%cosϕ, %sinϕ, z)
Fl¨achenelement in Kugelkoordinaten Z
S
f dS = Z2π
0
Zπ 0
f(R, ϑ, ϕ)R2sinϑ dϑ dϕ
f¨ur eine Sph¨are S: (ϑ, ϕ)7→(Rsinϑcosϕ, Rsinϑsinϕ, Rcosϑ)
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