Thermodynamik Serie 8 - Musterl¨ osung
HS 2020 Prof. P. Jetzer
M. Haney, S. Tiwari, M. Ebersold
https://www.physik.uzh.ch/de/lehre/PHY341/
Ausgeteilt am: 10.11.20 Abzugeben bis: 17.11.20
1. Ausdehnungskoeffizient am absoluten Nullpunkt
a) Zuerst verwenden wir eine Maxwell-Beziehung:
βV = ∂V
∂T = − ∂S
∂p
Wir versuchen jetzt, die Entropie S(p, T ) mit der W¨ armekapazit¨ at C
pauszudr¨ ucken : δQ = T dS = T
∂S
∂T dT + ∂S
∂p dp
Mit der Definition
δQ|
p=const= C
pdT folgt:
C
p= T ∂S
∂T
Da p = const (dp = 0), gilt:
dS = ∂S
∂T dT womit folgt:
dS = C
pdT T
S = Z
T0
C
pT dT
mit dem experimentellen Ansatz erhalten wir : S =
Z
T 0a(p)T
x−1+ b(p)T
x+ . . . dT
1
S = a(p)T
xx + b(p)T
x+1x + 1 + . . . Mithilfe der ersten Gleichung:
βV = − ∂S
∂p = − T
xa
0(p)
x − T
x+1b
0(p) x + 1 Und schliesslich:
T
lim
→0βV
C
p= lim
T→0
T
x−
a0x(p)−
T bx+10(p)+ . . .
T
x(a(p) + T b(T ) + . . .) = − a
0(p) xa(p)
b) Aus S = const (dS = 0) folgt:
dT = βT V C
pdp Womit zusammen mit dem Resultat aus a) direkt folgt:
∂T
∂p = βT V C
p→
T→0
0
Dies kann wie folgt interpretiert werden: die Abk¨ uhlung eines Gases durch adiabatische Expansion f¨ uhrt, f¨ ur T → 0, zu keiner Temperaturerniedrigung. Es liegt die Vermutung nahe, dass der absolute Nullpunkt unerreichbar ist.
2. Boltzmann H -Funktion im Gleichgewicht
a) Gauss’sche Integrale: In kartesischen Koordinaten finden wir Z Z
dxdye
−(x2+y2)/c2= Z
dxe
−x2/c2Z
dye
−y2/c2= Z
dxe
−x2/c2 2, (1)
w¨ ahrend bei Integration in Polarkoordinaten Z
∞0
dr Z
2π0
dθre
−r2/c2= 2π Z
∞0
e
−r2/c2rdrdθ
sub.
= 2c
2π Z
0−∞
ds 1
2 e
s= c
2π . (2) Somit finden wir das gesuchte Resultat mit R
∞∞
dx exp(−x
2/c
2) = c √
π und c = √ 2.
Des weiteren ist Z
∞0
dx x
2ne
−αx2= − Z
∞0
dx x
2(n−1)(−x
2)e
−αx2= − Z
∞0
dx x
2(n−1)∂
∂α e
−αx2= − ∂
∂α Z
∞0
dx x
2(n−1)e
−αx2=
− ∂
∂α
nZ
∞ 0dx e
−αx2= 1
2 (−1)
n∂
n∂α
nα
−1/2√
π = (2n)!
2
2n+1n! α
−(2n+1)/2√
π , (3)
2
und f¨ ur ungerade Vorfaktoren finden wir Z
∞0
dx x
2n+1e
−αx2=
− ∂
∂α
nZ
∞ 0dx xe
−αx2 (2)=
− ∂
∂α
n1
2α = n!
2α
n+1. (4) b) Resultierende Eigenschaften: Wir verwenden die in a) berechneten Integrale, sowie:
Z
∞−∞
dx xe
−(x−b)2/c2= Z
∞−∞
dx
0(x
0+ b)e
−x02/c2= bc √
π , (5)
und schreiben die Gleichgewichtsverteilfunktion f
0einfacher als f
0= n
1 2πmk
BT
3/2exp
− (p − p
0)
22mk
BT
= a exp(−(p − p
0)
2/c
2) .
Der Mittelwert einer Gr¨ osse A(p) berechnet sich mithilfe der Verteilungsfunktion f
0als hAi =
R d
3p A(p)f
0(p)
R d
3p f
0(p) . (6) Wir berechnen zuerst die Normierung mit der Substitution p ˜ = p − p
0:
Z
d
3p f
0(p) = Z
d ˜ p
xd ˜ p
yd ˜ p
za exp
− p ˜
x2+ ˜ p
y2+ ˜ p
z2c
2= a Z
∞−∞
d ˜ p
xexp
− p ˜
x2c
2Z
∞−∞
d ˜ p
yexp
− p ˜
y2c
2Z
∞−∞
d ˜ p
zexp
− p ˜
z2c
2= ac
3π
3/2. (7)
Das Integral im Z¨ ahler berechnet sich f¨ ur den Fall A(p) = p folgendermassen:
Z
d
3p pf
0(p) = Z
d ˜ p
xd ˜ p
yd ˜ p
z
˜ p
x+ p
0x˜ p
y+ p
0y˜ p
z+ p
0z
a exp
− p ˜
x2+ ˜ p
y2+ ˜ p
z2c
2= p
0ac
3π
3/2, (8)
wobei die Integrale ∼ p ˜
iexp(− p ˜
i2/c
2) jeweils verschwinden da eine ungerade Funktion uber die ganze Achse integriert wird. F¨ ¨ ur einen nicht verschwindenden Parameter p
0ist der mittlere Impuls gegeben durch:
hpi =
R d
3p pf
0(p)
R d
3p f
0(p) = p
0ac
3π
3/2ac
3π
3/2= p
0. (9) Die mittlere Energie hεi f¨ ur p
0= 0 berechnet sich zu:
p
22m
=
R d
3p
2mp2f
0(p) R d
3p f
0(p)
(3)
=
3
4m
ac
5π
3/2ac
3π
3/2= 3c
24m = 3
2 k
BT . (10) Die mittlere Geschwindigkeit der Maxwell-Boltzmann Verteilung ist:
|p|
m
=
R d
3p
|p|mf
0(p)
R d
3p f
0(p) = (4πa/m) R
∞0
dp p
3e
−p2/c2ac
3π
3/2(4)
