L¨osungenzurKlausur(Rechenteil)AnalysisIf¨urIngenieure TECHNISCHEUNIVERSIT¨ATBERLIN 1.Aufgabe

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 01 Fakult¨ at II - Mathematik Stand: 25. Juli 2001 Lutz

Herrmann

L¨ osungen zur Klausur (Rechenteil) Analysis I f¨ ur Ingenieure

1. Aufgabe (6 Punkte)

a) Berechnen Sie den Realteil und den Imagin¨ arteil von z = exp(

2

exp(i

)):

z = exp(

2

(

2

+

2

)) = exp(

) exp(i

) = i exp(

)

= ⇒ Im(z) = exp(

) und Re(z) = 0 b) w

= 64 ⇔ w

= 2e

f¨ ur k = 0...5

Also sind die L¨ osungen in C :

z

= 2 z

= 2e

, z

= 2e

, z

= − 2, z

= 2e

, z

= 2e

c) Bestimmen Sie die L¨ osungsmenge in R der Ungleichung | x − 2 | ≥ 3 | x + 4 |

Fallunterscheidung:

I) x ≥ 2 : x − 2 ≥ 3(x + 4)

⇔ 0 ≥ 2x + 14

⇔ − 7 ≥ x ⇒ L

= ∅ II) − 4 ≤ x ≤ 2 : − (x − 2) ≥ 3(x + 4)

⇔ − 10 ≥ 4x

⇔ −

≥ x ⇒ L

= [ − 4, −

] III) x < − 4 : − (x − 2) ≥ − 3(x + 4)

⇔ 16 ≥ − 2x

⇔ − 7 ≤ x ⇒ L

= [ − 7, − 4[

= ⇒ L = L

∪ L

∪ L

= [ − 7, −

]

1

2. Aufgabe (5 Punkte)

a) Z

0

x cos 4x

dx = [ 1

8 sin 4x

]

√π 0

= 0 b)

Z

0

e

cos x dx = [e

sin x]

− Z

0

e

sin x dx

= [e

cos x]

− Z

0

e

cos x dx = − 1

2 (e

+ 1)

3. Aufgabe (4 Punkte)

Bestimmen Sie die folgenden Grenzwerte, falls sie existieren oder ±∞ sind.

a) lim

n→∞

(e

+ e

)

3e

+ e

= lim

n→∞

e

+ 2 + e

3e

+ e

= lim

n→∞

1 + 2e

+ e

3 + e

= 1

3 b) lim

x→0

1 − cos 2x

x

= lim

x→0

2 sin 2x

2x wegen de l’Hopital,

= lim

x→0

4 cos 2x

2 = 2 wegen de l’Hopital,

4. Aufgabe (5 Punkte)

a) Wegen f

(x) = cos x, f

(x) = − sin x, f

(x) = − cos x und f

(x) = sin x ist das Taylorpolynom 3. Grades von f gegeben durch

T

(x) = f (2π) + f

(2π)(x − 2π) + f

(2π)

2 (x − 2π)

+ f

(2π)

3! (x − 2π)

= (x − 2π) − 1

6 (x − 2π)

Der Fehler berechnet sich als

| R

(x) | = | f

(ζ)

4! (x − 2π)

| < sin(

) 24 ( π

6 )

= 1 48

π

6

, da f

(x) = sin x monoton wachsend im Intervall [π, 3π].

b) Geben Sie die Taylorreihe von

an der Stelle x

= 0 an:

1

1 + x

= 1

1 − ( − x

) =

∞

X

k=0

( − 1)

x

, wegen geometrische Reihe ( f¨ ur | x

| ≤ 1 ).

2

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 01 Fakult¨ at II - Mathematik Stand: 25. Juli 2001 Lutz

Herrmann

L¨ osungen zur Klausur vom 23.7.2001 (Verst¨ andnisteil)

Analysis I f¨ ur Ingenieure

1. Aufgabe (4 Punkte)

Behauptung: f¨ ur alle n ∈ N gilt:

A(n) :

n

X

k=0

f

= f

f

.

Induktionsanfang (n = 0):

P

k=0

f

= f

f

= f

f

, da f

= f

⇒ A(0) ist wahr.

(n = 1 gibt auch einen Punkt)

Induktionsvoraussetzung (IV): F¨ ur ein n ∈ N gelte A(n) Induktionsbehauptung: Dann gilt auch A(n + 1)

Beweis(der Induktionsbehauptung)

n+1

X

k=0

f

=

n

X

k=0

f

+ f

= f

f

+ f

= f

(f

+ f

) = f

f

kennzeichnen mit IV:

Also haben wir die Behauptung mit vollst¨ andiger Induktion bewiesen.

2. Aufgabe (8 Punkte)

a) wahr, denn lim

= 0 und nach dem Vergleichskriterium folgt lim

a

= 5.

b) wahr, das ist das Leibnizkriterium.

c) falsch, da z.B. f : R → R , f (x) = 1 f¨ ur x ≥ 0 und f (x) = 0 f¨ ur x < 0 nicht stetig an der Stelle x = 0, Aber erf¨ ullt das Kriterium mit (

)

.

d) falsch, da z.B. f : [0,

[ → R , f (x) = tan x

3

3. Aufgabe (5 Punkte) a) Da die P.R. f¨ ur z = 1 konvergiert, ist der K.R. mindestens | 1 + i | = √

2.

Also ist die P.R. an den Stellen 0 und − 2i konvergent. An den anderen Stellen kann man keine Aussagen machen.

Skizze:

b) Dann ist der Konvergenzradius h¨ ochstens | − 1 + i | = √

2. Also mit a) folgt, dass der Konvergenradius genau √

2 ist. Daher konvergiert die P.R. f¨ ur i und 5 nicht.

4. Aufgabe (3 Punkte)

ln

5

= ln 5

ln x = x ln 5

ln x 1. Definition von ln

2. Rechenregel von ln

d

dx ln

5

= d dx

x ln 5

ln x = ln 5 ln x − ln 5

(ln x)

3. Quotientenregel

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