TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik

Pohst / Lusala

Pr¨ ufungs-/ ¨ Ubungsschein-Klausur (Rechenteil) Lineare Algebra f¨ ur Ingenieure/E-Techniker

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . .

Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner Matr.–Nr. am Schwarzen Brett beim HM-Service-Center (Raum MA 708).

Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner Matr.–Nr. im WWW

.

. . . .

Unterschrift

Neben einem handbeschriebenen A4-Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4-Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit mindestens 16 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 5 von 20 Punkten erreicht werden. Fragen k¨ onnen w¨ ahrend der Klausur leider nicht beantwortet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Rechenaufgaben. Geben Sie immer den vollst¨ andigen Rechenweg an und begr¨ unden Sie Ihren L¨ osungsweg. Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

1 2 3 4 5 P

1

http://www.math.tu-berlin.de/HM/LinAlg/SS

2001/ING/klausuren.html

Achtung: Notation des Gauß-Algorithmus

Notieren Sie jeden Gaußalgorithmus in Matrizenschreibweise und dokumentieren Sie jeden einzelnen Schritt wie folgt:

Hier wird auf die 3. Zeile das ( − 3)-fache der 1. Zeile addiert.

Ansonsten droht drastischer Punktabzug!

Rechenaufgaben

1. Aufgabe (4 Punkte)

Bestimmen Sie die L¨ osungsmenge des folgenden Gleichungssystems:

x

− x

+ 2x

− x

− 3x

= 3 2x

− 2x

+ 20x

− 32x

+ 40x

= − 38 6x

− 6x

+ 16x

− 14x

− 6x

= 6.

Beachten Sie die Hinweise.

2. Aufgabe (3 Punkte)

Berechnen Sie eine Orthonormalbasis des Vektorraums der reellen Polynome, der von 1 und x aufgespannt wird, bzgl. des Skalarprodukts

< f, g >=

Z

−1

f (x)g(x)dx.

3. Aufgabe (5 Punkte)

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P

= (0, 5, 2, 8)

∈ R

von der Ebene durch

P

= (1, 2, 3, 4)

, die von ~ v

= (2, 0, 2, 0)

und ~ v

= (0, 2, 2, 0)

im R

aufgespannt wird.

4. Aufgabe (4 Punkte) Betrachten Sie die Matrix

A :=





1 2 − 1

2 1 2

3 3 1



 .

a) (2 Punkte) Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugeh¨ origen Eigenr¨ aume von A.

b) (1 Punkt) Ist A diagonalisierbar? Wenn ja, geben Sie eine zugeh¨ orige Diagonalmatrix an.

c) (1 Punkt) Folgern Sie ein Fundamentalsystem des Differentialgleichungssystems d~ y(t)

dt = A~ y(t) f¨ ur ~ y : R

−→ R

.

5. Aufgabe (4 Punkte)

L¨ osen Sie das Anfangswertproblem

x

(t) − 6x

(t) + 9x(t) = 0, x(0) = 1, x

(0) = 0

f¨ ur x : R → R .

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨ AT BERLIN SS 2001 Fachbereich 3 - Mathematik

Pohst / Lusala

Pr¨ ufungs/- ¨ Ubungsschein-Klausur (Verst¨ andnisteil) Lineare Algebra f¨ ur Ingenieure/E-Techniker

Name: . . . . Vorname: . . . . Matr.–Nr.: . . . . Studiengang: . . . . Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner

Matr.–Nr. am Schwarzen Brett beim HM-Service-Center (Raum MA 708).

Ich w¨ unsche den Aushang der Ergebnisse meiner Klausur unter Angabe meiner Matr.–Nr. im WWW

.

. . . .

Unterschrift

Neben einem handbeschriebenen A4 Blatt mit Notizen sind keine Hilfsmittel zugelassen.

Die L¨ osungen sind in Reinschrift auf A4 Bl¨ attern abzugeben. Mit Bleistift geschriebene Klausuren k¨ onnen nicht gewertet werden. Die Gesamtklausur ist mit mindestens 16 von 40 Punkten bestanden, wenn in jedem der beiden Teile der Klausur mindestens 5 von 20 Punkten erreicht werden. Fragen k¨ onnen w¨ ahrend der Klausur leider nicht beantwortet werden.

Dieser Teil der Klausur umfasst die Verst¨ andnisaufgaben, sie sollten ohne großen Rechen- aufwand mit den Kenntnissen aus der Vorlesung l¨ osbar sein. Geben Sie immer eine kurze Begr¨ undung an. Die Bearbeitungszeit betr¨ agt eine Stunde.

6 7 8 P

2

http://www.math.tu-berlin.de/HM/LinAlg/SS

2001/ING/klausuren.html

Verst¨ andnisaufgaben

1. Aufgabe (8 Punkte)

Kreuzen Sie in dieser Aufgfabe “wahr” oder “falsch” an. Jede richtige Antwort ergibt 1 Punkt, jede falsche Antwort − 1 Punkt. Keine Antwort ergibt 0 Punkte. Die Gesamtbe- wertung der Aufgabe ergibt stets mindestens 0 Punkte.

(a) Die r¨ aumlichen Diagonalen eines Quaders Q im R

sind linear unabh¨ angig.

(Q = { λ

~ x

+ λ

~ x

+ λ

~ x

| 0 ≤ λ

≤ 1 } , ~ x

, ~ x

, ~ x

sind orthogonal und nicht ~ 0.) (b) F¨ ur eine lineare Abbildung L : R

−→ R

muss m ≤ n sein.

(c) A =





cos(ϕ) − sin(ϕ) 0 sin(ϕ) cos(ϕ) 0

0 0 1



 ∈ R

hat keine reellen Eigenwerte.

(d) Die Matrix





0 0 1 0 0 0 0 0 0



 ∈ R

ist diagonalisierbar.

(e) Die Polynome x

− 1, x

− x, x − 1 sind ¨ uber R linear abh¨ angig.

(f) Es gilt: R

−1

(x + 1)

(x − 2)

dx ≤ R

−1

(x + 1)

dx R

−1

(x − 2)

dx .

(g) { (x

, x

, x

, x

)

∈ R

| x

+ 2x

+ 3x

+ 4x

= 0 } ist Untervektorraum des R

der Dimension 3.

(h) A =

e

xe

λe

e

+ λxe

ist eine Wronski-Matrix vom Rang 2.

Entscheiden Sie bitte, welche der obigen Aussagen wahr oder falsch sind. (Zutreffendes bitte ankreuzen, ohne Angabe einer Begr¨ undung.)

wahr falsch

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

2. Aufgabe (5 Punkte) Sei a ∈ R und

A :=





1 2 3

1 2a 3a

1 4a − 6a



 .

a) (3 Punkte) Man gebe alle a ∈ R an, f¨ ur die der Nullraum ( { ~ x ∈ R

| A~ x = ~ 0 } ) von A nicht nur aus dem Nullvektor besteht. Begr¨ unden Sie mit Hilfe von detA, dass es h¨ ochstens 2 Werte f¨ ur a geben kann.

b) (2 Punkte) Bestimmen Sie zu jedem a eine Basis des Nullraums. (Beachte: Basis von { ~ 0 } ist ∅ .)

3. Aufgabe (7 Punkte)

Betrachten Sie den euklidischen Vektorraum R

mit dem Skalarprodukt h ~ x, ~ y i := x

y

+ · · · + x

y

, (~ x =

.. .

xn

, ~ y =

.. .

yn

∈ R

)

und einen Vektor ~a =

.. .

an

6

= ~ 0 ∈ R

. Zeigen Sie, dass die Abbildung P : R

−→ R

,

~

x 7−→ ~ x − h ~ x, ~a i ~a die folgenden Eigenschaften besitzt:

(a) P ist linear.

(b) Falls < ~a, ~a >= 1, ist P

= P . (Beachte: P

(~ x) = P P (~ x) .) (c) ~a ist Eigenvektor.

(d) F¨ ur < ~a, ~a > 6 = 1 ist Rang(P )= n.

(e) F¨ ur < ~a, ~a >= 1 ist Rang(P )= n − 1.

(f) (2 Punkte) Es gibt eine Orthonormalbasis des R

, bzgl. der die P zugeordnete Matrix Diagonalgestalt hat.

Beachte: Rang(P ) ist die Dimension des Bildraums von P .