Einfaktorielle Varianzanalyse

Einfaktorielle Varianzanalyse

… Vergleich mehrerer Mittelwerte

Es wurden die anorganischen Phosphatwerte im Serum (mg/dl) eine Stunde nach einem Glukosetoleranztest bei übergewichtigen Personen mit Hyperinsulinämie, nicht- Hyperinsulinämie und Kontrollen gemessen.

Gibt es Unterschiede zwischen den 3 Gruppen?

Beispiel

Hypothesen

• Nullhypothese:

H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃ = … = μ_k

• Alternativhypothese:

H₁: wenigstens ein μ_i unterscheidet sich von den anderen

Globaltest

Voraussetzungen

• Voraussetzungen:

• Daten aller Stichproben entstammen normalverteilten Grundgesamtheiten

• Varianzhomogenität

(Faustregel: Verhältnis größter zu kleinster Standardabweichung muss kleiner 2:1 sein; Levene-Test, …)

• Die Messwerte bzw. Faktorstufen sind voneinander unabhängig

Modellbetrachtung

y_ij ist die jte Beobachtung (j=1,2,…,n_i) in Gruppe i (i=1,2,…,k) µ ist das Gesamtmittel

α_i ist die Differenz zwischen Mittelwert von Gruppe i und dem Gesamtmittel

ε_ij ist der Fehlerterm

ij i

y

= μ + α + ε

Varianzanalyse

Vergleicht die Variation zwischen den Gruppen mit der Variation innerhalb der Gruppen.

• Gesamtvariabilität wird in 2 Komponenten aufgeteilt:

• Variabilität “zwischen” Gruppen, und

• Variabilität “innerhalb” Gruppen

• Varianzanalysetafel (ANOVA Tafel)

( ) _∑∑ ( ) _∑∑ ( )

∑∑

y

⁻ y

⁼

y

⁻ y

⁺

y

⁻ y

SST SSB SSW

Quadratsummen

SST: Gesamt-Quadratsumme

SSB: Quadratsumme der Behandlungen SSW: Fehler-Quadratsumme

Varianzanalyse

ONEWAY ANOVA y

56,000 2 28,000 42,000 ,000

6,000 9 ,667

62,000 11

Between groups Within groups Total

Sum of

Squares df

Mean

Square F

Significan ce

Wir können die Nullhypothese verwerfen.

• df = (n – 1) = (n – k) + (k – 1)

• SS / df = mittlere Quadrate (MQ)

• Entstammen alle Gruppen derselben Grundgesamtheit, dann sollten die Varianzen, also die Mittleren Quadrate, MQ_zwischen und MQ_innerhalb, gleich groß sein.

Varianzanalyse

( )

( )

∑∑

∑

= =

=

− −

=

− −

=

k

i

n

j

i ij

innerhalb

k

i

i i zwischen

i

y k y

MQ

y y

k n MQ

1 1

2 . 1

2 ..

.

1 1

1

1

• Sind diese nicht gleich groß, d.h. ist der Quotient aus MQ_zwischen und MQ_innerhalb größer als der kritische Wert der F-Verteilung (bestimmt durch df₁, df₂ und α), so wird die Nullhypothese verworfen.

• df₁ = k – 1; df₂ = n - k

• D.h. Es gibt Gruppen mit unterschiedlichen Mittelwerten,

Varianzanalyse

( ) H verwerfen ˆ > F

→

F

Multiple Vergleiche, p-Werte müssen korrigiert werden.

• Bonferroni

Die Unsicherheit (Irrtumswahrscheinlichkeit α=0,05) wird zu gleichen Teilen auf alle Paarvergleiche aufgeteilt. Bei 4 Gruppen gibt es

3+2+1=6 Vergleiche; jeder dieser Tests wird mit α/6 durchgeführt.

Die Bonferroni-Korrektur ist konservativ, d.h. sie hält lange an der Nullhypothese fest

Alternativen

• Bonferroni-Holm-Korrektur

• LSD – Least-Signifikant-Difference

• HSD – Honest-Significant-Difference (Tukey)

Post-hoc Tests

Untersucht wurde die Gerinnungszeit von Plasma, das mit vier verschiedenen Methoden behandelt wurde. Von 8 zufällig

ausgewählten Patienten einer Population werden je 4 Blutproben genommen und zufällig den 4

Behandlungsmethoden zugeteilt. Die Gerinnungszeiten (min) von diesen 8x4 Plasmen wurden bestimmt.

Gibt es Unterschiede zwischen den Behandlungen.

Beispiel – randomisiertes Blockexperiment

Daten – randomisiertes Blockexperiment

Subject treat1 treat2 treat3 treat4

1 8,4 9,4 9,8 12,2

2 12,8 15,2 12,9 14,4

3 9,6 9,1 11,2 9,8

4 9,8 8,8 9,9 12

5 8,4 8,2 8,5 8,5

6 8,6 9,9 9,8 10,9

7 8,9 9 9,2 10,4

8 7,9 8,1 8,2 10

Analyse – randomisiertes Blockexperiment

Tests der Zwischensubjekteffekte Abhängige Variable: clot_time

92,005^a 10 9,201 14,027 ,000

3196,001 1 3196,001 4872,749 ,000

78,989 7 11,284 17,204 ,000

13,016 3 4,339 6,615 ,003

13,774 21 ,656

3301,780 32

105,779 31

Quelle

Korrigiertes Modell Konstanter Term subjects

treatments Fehler Gesamt Korrigierte

Gesamtvariation

Quadratsum

me vom Typ III df

Mittel der

Quadrate F Signifikanz

a.

• Kruskal Wallis Test

• Friedman Test

Nichtparametrische Methoden

• Zweifaktorielle ANOVA (die Varianz wird zwei Faktoren und Wechselwirkung zugeschrieben)

• Mehrfaktorielle ANOVA (MANOVA)

• ANOVA mit Messwiederholungen (Repeated Measurement – mehrere Messungen am gleichen Objekt, häufig ein zeitlicher Verlauf)

• GLM, ANCOVA, GEE, Mixed Models,…..

Weiterführende Methoden