(b) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen: A B

Wend Werner Thomas Timmermann

Ubung zur Mathematik f¨¨ ur Physiker 2, SS 15 Blatt 5

Abgabe bis Mi, 20.05., 12 Uhr

Aufgabe zur Bearbeitung in der ¨Ubung, abzugeben Aufgabe 1. (a) Schreiben Sie den Shift

1 2 · · · n−1 n

2 3 · · · n 1

∈S_n

als Produkt von Transpositionen und bestimmen Sie sein Signum.

ir schreiben (k l) f¨ur die Transposition, die kmitlvertauscht. Dann ist der Shift das Produkt (1 n)◦(1 n−1)◦ · · · ◦(1 3)◦(1 2) und hat als Produkt von n−1 Transpositionen das Signum (−1)ⁿ⁻¹.

(b) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen:

A= 1 2

3 4

, B =





1 t 1 t² 1 t t t 1



, C=









1 2 0 4 2 3 1 4 3 1 1 2 2 5 1 1









, D=



















0 · · · 0 1

1 . .. 0

0 . .. ... ...

... . .. ... 0 0 · · · 0 1

















 .

Aufgaben zur selbst¨andigen Bearbeitung Aufgabe 2. Zeigen Sie:

(a) F¨ur alle n, m∈Ngilt detC(m, n) = 1, wobei

C(m, n) =











1 ^m_{1 m}

2

· · · ^m_n 1 ^m+1_{1 m+1}

2

· · · ^m+1_n ... ... ... ... 1 ^m+n_{1 m+n}

2

· · · ^m+n_n









 .

(Hinweis: Benutzen Sie die Gleichung ^m+j+1_i

= ^m+j_i

+ ^m+j_i−1 .)

(b) F¨ur alle a, b∈Cund n∈Ngilt detA(n) = (a+ (n−1)b)(a−b)ⁿ⁻¹, wobei

A(n) =













a b · · · b b . .. ... ...

... . .. ... b b · · · b a











 .

Aufgabe 3. (a) Seien ~v0, ~v1, ~v2 ∈ R². Zeigen Sie: der Fl¨acheninhalt des von diesen Vektoren aufgespannten Dreiecks ist die H¨alfte des Betrags der Determinante von

1 1 1

~v0 ~v1 ~v2

∈M₃(R).

(Hinweis: Der doppelte Fl¨acheninhalt ist der Inhalt des vonw~1 =~v1−~v0 undw~2=

~v2−~v0 aufgespannten Parallelogramms; dessen Fl¨acheninhalt ist|det w~1 w~2

|.)

1

Wend Werner Thomas Timmermann

(b) Der von Vektoren~v0, . . . , ~v3∈R³ aufgespannte Tetraeder ist die Menge M =

( ₃ X

i=0

λi~vi : 0≤λi≤1,

3

X

i=0

λi= 1 )

.

Der von den Einheitsvektoren ~e1, ~e2, ~e3 ∈ R³ und dem Nullvektor~e0 = 0 aufge- spannte “Standard-Tetraeder”N ⊆R³ hat das Volumen 1/6 und f¨ur jede Matrix A∈M₃(R) hat das Bild

AN :={A ~w:w~ ∈N} ⊆R³

das Volumen det(A) · ¹₆. Zeigen Sie: das Volumen von N ist ein Sechstel des Betrags der Determinante von

1 1 1 1

~v0 ~v1 ~v2 ~v3

∈M4(R).

Aufgabe 4. SeiA= (a_ij)_i,j ∈M_n(C). Bezeichne ˜A_µν die Matrix, die ausA entsteht, wenn man die µ-te Zeile undν-te Spalte entfernt. Die Komplement¨armatrix von A ist

A^co= (˜aνµ)µ,ν, wobei ˜aµν = (−1)^µ+νdet ˜Aµ,ν.

(a) Zeigen Sie, dass AA^co = det(A)E_n = A^coA, wobei E_n die n×n-Einheitsmatrix bezeichnet. (Hinweis: Entwicklung der Determinante nach Zeilen oder Spalten.) (b) SeiA=

a b c d

und ad−bc6= 0. Geben Sie die Eintr¨age vonA⁻¹ an.

(c) Bestimmen Sie f¨urA=





1 2 2 2 1 2 2 2 1



die Matrizen A^co und A⁻¹.

2