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Einschub: Fourier-Transformation
Periodische Vorgänge in Natur und Technik (Erdrotation, Herzschlag, Schall, Licht, Schwingkreis...) motivieren die Zerlegung eines Vorgangs in die beteiligten Frequenzen. Beim Licht geschieht dies mit Prismen oder Gittern, bei einem elektronischen Signal kann man das Spektrum z.B. mit einem variablen Bandpassfilter ausmessen.
Eine mathematische Methode, eine Funktion nach Frequenzen zu zerlegen, ist die Fourier-Transformation. Das gängige numerische Verfahren hierfür ist die FFT (fast Fourier transform).
Jean Baptise Fourier (1768 - 1830)
A. Chao, Physics of Collective Beam Instabilities in High Energy Accelerators (Wiley 1993)Spektrumanalysator
Funktionen lassen sich als Summen von unendlich langen sin/cos-Wellenzügen verschiedener Frequenz darstellen. Dies gilt auch für nichtperiodische Funktionen.
Die Addition von zwei sin-Funktionen mit leicht verschiedener Frequenz ergibt ein
Schwebungsmuster. Mit der Addition weiterer Wellenzügen (10 im Beispiel links)
mit benachbarten Frequenzen entsteht ein "Wellenpaket".
dx x n x
f b
dx x n x
f a
x n b
x n a
a x
f
n n
n n
n n
sin ) 1 (
cos ) 1 (
sin 2 cos
) 1 (
1 1
0
) 2 ( ) 2 ( )
( x f x f x n
f
Betrachte eine in x periodische Funktion, die sich z.B. mit der Periode von 2 wiederholt
Eine solche Funktion kann (abgesehen von pathologischen Fällen) durch eine unendliche Reihe dargestellt werden, deren Summanden cos- und sin-Funktionen mit n = 1, 2, 3 ... enthalten:
Fourier-Reihe
Fourier-Koeffizienten für gerade Funktionen
Fourier-Koeffizienten für ungerade Funktionen
) ( )
( x f x
f
) ( )
( x f x
f Warum? Voraussetzungen:
cc c
c
dx x dx
x
0 sin
0
cos und
( )
) (
cos 0 2
cos 1 2
cos 1
cos m n
n dx m
nx mx dx
nx mx dx
nx mx
für jedes c ist anschaulich klar (und leicht zu beweisen)
Integral über eine Periode:
Skalarprodukte:
3
5 5
6 5
4
6 5
4 5
0 0
5 cos ) 6 cos(
5 cos ) 5 cos(
5 cos ) 4 1 cos(
5 cos 6
cos 5
cos 4
1 cos 5
cos ) 1 (
a a
dx x
x a
x x
a x x
a
dx x x
a x a
x a
dx x x
f a
Auf die Fouriekoeffizienten angewandt, z.B.:
Durch das Integral wird die Funktion f(x) auf eine Basisfunktion "projiziert". Wie ist es aber mit dem 1. Term?
00 0
0
2
0 1 cos 0
2 cos 0 1
cos ) 1 (
a a x
dx x a x
dx x x
f
a
Fourier-Analyse: Zerlegung einer Funktion in ihre spektralen Anteile
Fourier-Synthese: Darstellung einer Funktion als Summe ihrer spektralen Anteile
x x x x
f cos 5
5 3 1 3 cos cos 1
)
(
2
2f x x x sin 5 x
5 3 1 3 sin sin 1
)
( f x x x sin 3 x
3 2 1 2 sin sin 1
)
(
Beispiele (jeweils 4 Terme addiert):
Dreieck Rechteck Sägezahn
f x i n x dx
c
x n i c
x f
n
n n
exp ) 2 (
1
exp )
(
i k x dx
x f k
f
dk x k i k
f x
f
exp ) 2 (
) 1
~ (
exp )
~ ( 2
) 1 (
Auch nichtperiodische Funktionen können in ihre Frequenzbestandteile mit Wellenzahl k zerlegt werden, deren Amplituden nun nicht mehr diskrete Koeffizienten, sondern eine Funktion - die Fourier-Transformierte - bilden.
dx x n x
f b
dx x n x
f a
x n b
x n a
a x
f
n n
n n
n n
sin ) 1 (
cos ) 1 (
sin 2 cos
) 1 (
1 1
0
Die komplexe Darstellung ist kompakter, wobei f(x) komplex oder reell sein kann (im letzteren Fall gelten Einschränkungen für die Koeffizienten)
Die Fourier-Integrale, die eine Funktion vom x- in den k-Raum und umgekehrt transformieren, sind einander sehr ähnlich (in manchen Büchern haben sie allerdings verschiedene Vorfaktoren, deren Produkt stets 1/2 ist).
Die Funktionen von x und k bilden Fourier-Paare.
Wichtige Fourier-Transformationspaare sind:
d-Funktion flache Verteilung Gauß-Funktion Gauß-Funktion*
Rechteck-Funktion** sinc-Funktion sin(x)/x
1 )
~ ( )
(
22 2
2
2 1 2
1
x kk x
k
x
f k e
e x
f
Erwartungswert
ist der Wert, den eine Zufallsvariable v bei gegebener Verteilung f(v) im statistischen Mittel annimmt, z.B. könnte v die Geschwindigkeit von Teilchen in einem Gas sein:
Ebenso für den Ort x eines Teilchens:
5
2.6 Erwartungswerte und Operatoren Wellenfunktion
... ist eine komplexe Funktion.
... kann man als unendlich-dimensionalen Vektor auffassen
Menge aller Funktionen bildet einen Vektorraum,
den Hilbert-Raum (quadratintegrable komplexe Funktionen, Existenz eines Skalarprodukt, ...)
0
) (
v
dv v f v v
x x
x
dx x x x dx
x x
dx x f x
x ( ) ( )
2
*( ) ( )
A dx A
dx A
A
A A
dx A
A
x x
x
*
*
*
ˆ ˆ
Allgemein: mit dem Operator  ˆ
Wenn dann ist A ein Eigenwert und eine Eigenfunktion zum Operator  dann
* 1
2
dx
dx
i i
x
i
2
2 2*
*
Re Im ; Re Im
1
; Im Re
i
i i
David Hilbert (1862 - 1943)
Ortsoperator -Vergleich mit der linearen Algebra
Wenn
dann ist der Skalar l ein Eigenwert und v ein Eigenvektor der Matrix M. Den Ortsoperator kann man sich als Matrix vorstellen, die Wellenfunktion als unendlichen Vektor.
Grob vereinfacht: angenommen, nur vier Orte x
isind möglich und die Wellenfunktion sei null außer für x
3Eigenwertgleichung:
Erwartungswert:
v v
M ˆ l
0 1 0 0
0 0 0
0 1 0 0
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0
3 3 4
3 2 1
x x x
x x x
33 2 1
1 0 0
0 0
0
0 0 0
0 0 0 0
1 0
0 x
x x x
x
Einer Messgröße ("Observable") wird ein Operator zugeordnet, d.h. eine Rechenvorschrift, die auf Y angewandt wird (und nicht immer so einfach ist wie die Multiplikation mit x).
Wenn der Erwartungswert des Operators gleich dem Eigenwert ist, dann ist die mittlere quadratische
Schwankung der Größe (bis auf Messfehler) gleich null - was aber i.d.R. nicht der Fall ist.
Elektronen werden in einem evakuierten Glaskolben mit einer Spannung von 7 kV beschleunigt und treffen auf eine Schicht von polykristallinem Graphit auf einem Kupferträger. Ein Teil der Wand des Glaskolbens ist beschichtet und leuchtet, wenn Elektronen auftreffen.
Beobachtet wird ein ringförmiges Muster, das nur als Beugung der Elektronen an der Graphitschicht interpretiert werden kann - analog zur Beugung von Laserlicht an regellos verteilten Teilchen (Experiment mit HeNe-Laser und Lykopodiumpulver).
(Durch Ablenkung mit einem Magneten wird verifiziert, dass es sich um geladene Teilchen handelt, die auf der
Kolbenwand auftreffen) 7
) , ( )
, ( )
,
(
0 0t x p
t x x
i
e C e
C t x
x
t E x i p t
x k
i x
