Oldenbourgs Ubungs- und Studienbücher
der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften
Mathematik
Einführung für Sozialwissenschaftler
insbesondere für Psychologen, Soziologen Pädagogen, Politologen
Von
Dr. Alfred Hamerle
Professor für Statistik
Dr. Peter Kemeny
2. Auflage
R. Oldenbourg Verlag München Wien
1/ <.!lO0
Oof - k H
CEP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Hamerle, Alfred:
Mathematik - Einführung für Sozialwissenschaftler : insbesondere für Psychologen, Soziologen, Pädago- gen, Politologen / von Alfred Hamerle ; Peter Kemeny. - 2. Aufl. - München ; Wien : Oldenbourg, 1985.
(Oldenbourgs Übungs- und Studienbücher der Wirtschafts- und Sozialwissenschaften) 1. Aufl. u.d.T.: Hamerle, Alfred: Einführung in die Mathematik für Sozialwissenschaftler ISBN 3-486-25662-9
© 1985 R. Oldenbourg Verlag GmbH, München
Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Die dadurch begründeten Rechte, insbesondere die der Übersetzung, des Nachdrucks, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ähnlichem Wege sowie der Speicherung und Auswertung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben auch bei auszugsweiser Verwertung vorbehalten. Werden mit schriftlicher Einwilligung des Verlages einzelne Vervielfältigungsstücke für gewerbliche Zwecke hergestellt, ist an den Verlag die nach § 54 Abs. 2 Urh.G. zu zahlende Vergütung zu entrichten, über deren Höhe der Verlag Auskunft gibt.
Gesamtherstellung: Rieder, Schrobenhausen N E : Kemeny, Peter:
/
ISBN 3-486-25662-9
1. Kapitel: Einführung 7 2. Kapitel: Grundbegriffe der Elementarmathematik 10
2.1 Klassifikation der Zahlen und Regeln der Arithmetik 10 2.2 Lineare Gleichungen mit einer und zwei Unbekannten 29
23 Quadratische Gleichungen 35 2.4 Das Rechnen mit dem Summenzeichen 37
2.5 Der Binomische Lehrsatz 40
3. Kapitel: Mengen und Strukturen 423.1 Grundlagen der mathematischen Logik 42
3.2 Mengen 52 3.3 Relationen, Abbildungen und Funktionen 65
3.4 Einige Anwendungen der mengentheoretischen Grundbegriffe in den
Sozialwissenschaften 75 3.4.1 Grundlegende Begriffe und Zielsetzungen der Meßtheorie 75
3.4.2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 89
4. Kapitel: Vektoren und der Vektorraum Rm 112
5. Kapitel: Elementare Matrizenrechnung 122
5.1 Matrizen und einige Anwendungen in den Sozialwissenschaften 122
5.2 Matrixverknüpfungen 132 5.3 Skalarprodukt, Norm und Orthogonalität von Vektoren 139
5.4 Determinanten 143 5.5 Matrixinversion 148 5.6 Lineare Abhängigkeit von Vektoren und der Rang einer Matrix 152
6. Kapitel: Lineare Gleichungssysteme 164
6.1 Allgemeine Lösung eines homogenen linearen Gleichungssystems
und deren konkrete Berechnung 166 6.2 Allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems
und deren konkrete Berechnung 173
7. Kapitel: Eigenwerte, Eigenvektoren, Diagonalisierung symmetrischerMatrizen und Anwendungen in der Faktorenanalyse 187
Literaturverzeichnis 197 Sachverzeichnis 200
1. Kapitel: Einführung
Das v o r l i e g e n d e L e h r b u c h r i c h t e t s i c h v o r a l l e m a n S t u d e n t e n d e r P s y c h o l o g i e , S o z i o l o g i e , P ä d a g o g i k s o w i e P o l i t i k w i s s e n - s c h a f t e n und h a t d i e g r u n d l e g e n d e n m a t h e m a t i s c h e n M e t h o d e n zum G e g e n s t a n d , d i e für d i e s o z i a l w i s s e n s c h a f t l i c h e G r u n d - l a g e n f o r s c h u n g , d i e e m p i r i s c h e F o r s c h u n g u n d i n s b e s o n d e r e für d a s V e r s t ä n d n i s d e r s t a t i s t i s c h e n V e r f a h r e n i n d e n S o z i a l - w i s s e n s c h a f t e n u n e n t b e h r l i c h s i n d . D a b e i w i r d d i e m a t h e m a t i -
s c h e D a r s t e l l u n g n i c h t a u f a b s t r a k t e r E b e n e v o l l z o g e n , s o n d e r n d i e b e h a n d e l t e n m a t h e m a t i s c h e n B e g r i f f e und V e r f a h r e n w e r d e n s t e t s i m s o z i a l w i s s e n s c h a f t l i c h e n K o n t e x t , d . h . a n h a n d v o n k o n k r e t e n P r o b l e m s t e l l u n g e n d i s k u t i e r t , s o d a ß a u c h M e d i z i n e r , W i r t s c h a f t s w i s s e n s c h a f t l e r s o w i e i m B e r e i c h d e r e m p i r i s c h e n W i r t s c h a f t s - u n d S o z i a l f o r s c h u n g t ä t i g e P r a k t i k e r d i e s e m B a s i s - t e x t A n r e g u n g e n e n t n e h m e n k ö n n e n .
Im E i n k l a n g m i t dem m o d e r n e n S e l b s t v e r s t ä n d n i s d e r S o z i a l - w i s s e n s c h a f t e n a l s e m p i r i s c h e W i s s e n s c h a f t e n w u r d e i n z u n e h - mendem M a ß e d i e M ö g l i c h k e i t e r f o r s c h t , s o z i a l w i s s e n s c h a f t l i c h e B e z i e h u n g e n i n m a t h e m a t i s c h e r F o r m a u s z u d r ü c k e n . D i e s f ü h r t e i n v i e l e n B e r e i c h e n n a t u r g e m ä ß z u e i n e r f o r m a l i s i e r t e n D a r - s t e l l u n g s w e i s e . D a b e i nehmen d i e " m a t h e m a t i s c h e n M o d e l l e "
e i n e h e r a u s r a g e n d e S t e l l u n g e i n , w e i l s i e m e i s t e n s a l s l o g i s c h e G e r ü s t e v o n T h e o r i e n u n e n t b e h r l i c h s i n d . E i n e g r u n d l e g e n d e E i g e n s c h a f t a l l e r M o d e l l e i s t d i e A b b i l d u n g e i n i g e r w i c h t i g e r A s p e k t e d e r R e a l i t ä t d u r c h e i n i n h ö h e r e m M a ß e a b s t r a k t e s S y s t e m . S i e b e s c h r e i b e n s c h e m a t i s c h d i e w e s e n t l i c h e n G e s i c h t s - p u n k t e e i n e s F o r s c h u n g s f e l d e s o d e r P r o b l e m k r e i s e s . B e i d e r Anwendung e i n e s M o d e l l s ü b e r n e h m e n d i e a b s t r a k t e n E l e m e n t e und R e l a t i o n e n e i n e s m a t h e m a t i s c h e n S y s t e m s d i e R o l l e v o n O b j e k t e n , I n d i v i d u e n und B e z i e h u n g e n z w i s c h e n i h r e n E i g e n - s c h a f t e n i n d e r R e a l i t ä t . Demnach w i r d d a s M o d e l l a l s e i n e a b s t r a k t e D a r s t e l l u n g d e r R e a l i t ä t b e t r a c h t e t . Das M o d e l l , i n s b e s o n d e r e e i n m a t h e m a t i s c h e s M o d e l l i n d e n S o z i a l w i s s e n - s c h a f t e n , f o r m a l i s i e r t G r u n d a n n a h m e n u n d H y p o t h e s e n e i n e r t h e o r e t i s c h e n K o n z e p t i o n f ü r s o z i a l w i s s e n s c h a f t l i c h e P r o z e s s e und S t r u k t u r e n u n d d e d u z i e r t aus d i e s e n m i t H i l f e f o r m a l e r T e c h n i k e n g e w i s s e K o n s e q u e n z e n , S t r a t e g i e n o d e r R e l a t i o n e n z w i s c h e n d e n i n v o l v i e r t e n K o n s t r u k t e n bzw. V a r i a b l e n . M e i s t w e r d e n d i e R e l a t i o n e n z w i s c h e n d e n V a r i a b l e n und s o n s t i g e n
E l e m e n t e n d e s S y s t e m s i n F o r m v o n G l e i c h u n g e n , U n g l e i c h u n g e n , A b b i l d u n g e n und F u n k t i o n e n a u s g e d r ü c k t .
D i e V o r t e i l e d e r V e r w e n d u n g v o n m a t h e m a t i s c h e n M o d e l l e n i n d e n S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n b e s t e h e n d a r i n , d a ß s i e
- d i e A n z a h l u n d P r ä z i s i o n d e r d e d u z i e r b a r e n A b l e i t u n g e n w e s e n t l i c h e r h ö h e n ,
- ü b e r f l ü s s i g e Annahmen i n d e r T h e o r i e a u f d e c k e n ,
- a u f d e r f o r m a l e n E b e n e l e i c h t e r W i d e r s p r ü c h e e n t d e c k e n , - i n K o m b i n a t i o n m i t e m p i r i s c h e n U n t e r s u c h u n g e n d i e E r f o r -
s c h u n g s o z i a l w i s s e n s c h a f t l i c h e r P r o z e s s e e n t s c h e i d e n d v o r a n t r e i b e n .
Zur D a r s t e l l u n g w e i t e r e r V o r t e i l e v o n m a t h e m a t i s c h e n M o d e l l e n i n d e n S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n v e r g l e i c h e man b e i s p i e l s w e i s e APOSTEL ( 1 9 6 1 ) , BJORK ( 1 9 7 3 ) , DEPPE (1977) o d e r TACK ( 1 9 6 9 ) .
D u r c h d e n v o r l i e g e n d e n B a s i s t e x t s o l l dem S t u d e n t e n u n d P r a k t i k e r d a s V e r s t ä n d n i s d e r d u r c h d i e E i n f ü h r u n g mathema- t i s c h e r M o d e l l e b e d i n g t e n f o r m a l i s i e r t e n D a r s t e l l u n g s w e i s e e r l e i c h t e r t w e r d e n , um a u c h dem n o c h n i c h t m i t m a t h e m a t i s c h e n M e t h o d e n v e r t r a u t e n L e s e r d i e L o g i k d e r Z u s a m m e n h ä n g e t r a n s - p a r e n t z u machen und e s i h m z u e r m ö g l i c h e n , F o r s c h u n g s e r g e b - n i s s e i n d i e s e n B e r e i c h e n m i t G e w i n n l e s e n z u k ö n n e n .
Da d i e A u t o r e n i n i h r e n L e h r v e r a n s t a l t u n g e n f e s t s t e l l e n m u ß t e n , d a ß d i e m a t h e m a t i s c h e n V o r k e n n t n i s s e d e r S t u d e n t e n d e r S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n r e c h t u n t e r s c h i e d l i c h s i n d , w e r d e n i n K a p i t e l 2 d i e w i c h t i g s t e n G r u n d b e g r i f f e d e r E l e m e n t a r m a t h e - m a t i k , s o w e i t s i e f ü r d i e S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n v o n B e d e u t u n g s i n d , n o c h m a l s a u s f ü h r l i c h e r ö r t e r t . D a d u r c h s o l l d e r V e r s u c h unternommen w e r d e n , d e n u n t e r s c h i e d l i c h e n E i n g a n g s v o r a u s - s e t z u n g e n d e r S t u d i e n a n f ä n g e r R e c h n u n g z u t r a g e n .
D u r c h d e n e i n f ü h r e n d e n C h a r a k t e r und d u r c h d a s S t r e b e n n a c h e i n e m m ö g l i c h s t n i e d r i g e n P r e i s s i n d z w a n g s l ä u f i g I n h a l t und Umfang d i e s e s L e h r b u c h e s G r e n z e n g e s e t z t , s o d a ß s e l b s t v e r - s t ä n d l i c h n i c h t a l l e T e i l g e b i e t e d e r M a t h e m a t i k , d i e für d i e Anwendung m a t h e m a t i s c h e r M o d e l l e i n d e n S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n b e d e u t s a m s i n d , b e h a n d e l t w e r d e n k ö n n e n . So m u ß t e b e i s p i e l s - w e i s e a u f d i e D a r s t e l l u n g w i c h t i g e r m a t h e m a t i s c h e r T e i l g e b i e t e
w i e D i f f e r e n t i a l - u n d I n t e g r a l r e c h n u n g , D i f f e r e n t i a l g l e i c h u n g e n , G r a p h e n t h e o r i e , V e k t o r d i f f e r e n t i a t i o n , e t c . v e r z i c h t e t w e r d e n . E s i s t b e a b s i c h t i g t , d i e g e n a n n t e n u n d w e i t e r e im Rahmen d i e s e r E i n f ü h r u n g n i c h t a b g e d e c k t e B e r e i c h e i n e i n e r e r w e i t e r t e n F a s s u n g m i t e i n z u b e z i e h e n .
B e i d e r h i e r g e t r o f f e n e n A u s w a h l l a g e n d i e A k z e n t e a u f d e n - j e n i g e n B e r e i c h e n d e r M a t h e m a t i k , d i e zum V e r s t ä n d n i s d e r für d a s S t u d i u m d e r S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n w i c h t i g e n G e b i e t e w i e M e ß t h e o r i e und S k a l i e r u n g , W a h r s c h e i n l i c h k e i t s r e c h n u n g , P s y c h o - l o g i s c h e T e s t t h e o r i e und i n s b e s o n d e r e d e r m u l t i v a r i a t e n s t a t i - s t i s c h e n M e t h o d e n e r f o r d e r l i c h s i n d . D a b e i w u r d e d a r a u f g e a c h t e t , d i e b e i d e n S t u d e n t e n d e r S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n m e i s t u n g e l i e b t e n m a t h e m a t i s c h e n V e r f a h r e n s o v e r s t ä n d l i c h w i e m ö g l i c h z u g e s t a l - t e n . D a r ü b e r h i n a u s w e r d e n s ä m t l i c h e B e g r i f f e und V e r f a h r e n d u r c h e i n e R e i h e v o n A n w e n d u n g s b e i s p i e l e n i m s o z i a l w i s s e n - s c h a f t l i c h e n K o n t e x t a u s f ü h r l i c h d e m o n s t r i e r t und e r l ä u t e r t . Aus d i e s e m G r u n d e u n d m i t B l i c k r i c h t u n g a u f d e n b e s c h r ä n k t e n Umfang d i e s e r E i n f ü h r u n g w u r d e a u f d i e E i n b e z i e h u n g w e i t e r e r Ü b u n g s a u f g a b e n am E n d e d e r e i n z e l n e n K a p i t e l v e r z i c h t e t . Da- g e g e n w i r d am E n d e j e d e s K a p i t e l s e i n e k l e i n e A u s w a h l w e i t e r - f ü h r e n d e r L i t e r a t u r z u r V e r t i e f u n g a n g e b o t e n .
D e f i n i t i o n e n , A u s s a g e n , S ä t z e u n d R e g e l n , d i e d e n A u t o r e n aus d i d a k t i s c h e n G r ü n d e n f ü r d a s V e r s t ä n d n i s b e s o n d e r s w i c h t i g e r s c h i e n e n , w u r d e n d u r c h E i n r a h m u n g h e r v o r g e h o b e n , w o b e i n i c h t immer e x p l i z i t d a r a u f h i n g e w i e s e n w u r d e , d a ß e s s i c h um m a t h e m a t i s c h e A u s s a g e n d e r g e n a n n t e n A r t h a n d e l t .
F r a u W. B ü c h l h a t m i t g r o ß e r S o r g f a l t d i e Ü b e r t r a g u n g d e s s c h r e i b t e c h n i s c h s c h w i e r i g e n M a n u s k r i p t s b e s o r g t . I h r s e i an d i e s e r S t e l l e h e r z l i c h g e d a n k t . S c h l i e ß l i c h i s t e s d e n V e r f a s s e r n e i n e angenehme P f l i c h t , dem V e r l a g R. O l d e n b o u r g , i n s b e s o n d e r e H e r r n D i p l o m - V o l k s w i r t M. W e i g e r t , für d i e s t e t s g u t e Z u s a m m e n a r b e i t z u d a n k e n .
2. Kapitel: Grundbegriffe der Elementarmathematik
2.1 Klassifikation der Zahlen und Regeln der Arithmetik
D e r V o r g a n g d e s A b z ä h l e n s v o n g l e i c h a r t i g e n G e g e n s t ä n d e n o d e r B e g r i f f e n f ü h r t z u d e n n a t ü r l i c h e n Z a h l e n . S i e w e r - d e n i n dem b e i u n s g e b r ä u c h l i c h e n Z a h l e n s y s t e m m i t H i l f e v o n a r a b i s c h e n Z i f f e r n 0,1,2,...,9 g e s c h r i e b e n :
1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 1 0 , 1 1 , 1 2 , . . .
D i e n a t ü r l i c h e n Z a h l e n l a s s e n s i c h a u f dem Z a h l e n s t r a h l v e r a n s c h a u l i c h e n :
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
A u s j e d e r n a t ü r l i c h e n Z a h l l ä ß t s i c h d u r c h H i n z u f ü g e n d e r E i n h e i t 1 e i n e n e u e n a t ü r l i c h e Z a h l g e w i n n e n , u n d d e r Z a h - l e n s t r a h l l ä ß t s i c h i n P f e i l r i c h t u n g u n b e g r e n z t f o r t s e t z e n , d . h .
E s g i b t k e i n e g r ö ß t e n a t ü r l i c h e Z a h l
I n e i n e r f o r m a l e r e n m a t h e m a t i s c h e n D a r s t e l l u n g w e r d e n d i e n a t ü r l i c h e n Z a h l e n g e w ö h n l i c h a x i o m a t i s c h o d e r a l s Äguiva-
*)
l e n z k l a s s e n e i n g e f ü h r t , e t w a d u r c h d i e A x i o m e v o n PEANO A u s d i e s e n A x i o m e n ( G r u n d a n n a h m e n , P r ä m i s s e n ) l a s s e n s i c h a l l e E i g e n s c h a f t e n d e r n a t ü r l i c h e n Z a h l e n a b l e i t e n . F ü r d i e n a t ü r l i c h e n Z a h l e n a l s Z a h l e n m e n g e h a t s i c h d i e B e - z e i c h n u n g s w e i s e N e i n g e b ü r g e r t , d . h .
IN = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . } . * *)
D i e e i n f a c h s t e R e c h e n o p e r a t i o n m i t n a t ü r l i c h e n Z a h l e n i s t d i e A d d i t i o n . S i e c h a r a k t e r i s i e r t d a s Z u s a m m e n f ü g e n bzw.
*) B e z ü g l i c h d e r B e g r i f f e " A x i o m " und " Ä q u i v a l e n z k l a s s e "
v e r g l e i c h e man K a p i t e l 3, A b s c h n i t t 3.1 bzw. 3.3.
**) Z u r D a r s t e l l u n g e i n e r Menge d u r c h g e s c h w e i f t e Klammern v e r g l e i c h e man A b s c h n i t t 3.2.
Z u s a m m e n z ä h l e n , d a s a u s dem A l l t a g s l e b e n w o h l b e k a n n t i s t . E s h a n d e l t s i c h d a b e i um n i c h t s a n d e r e s a l s a b g e k ü r z t e s
V o r w ä r t s z ä h l e n , a l s O p e r a t i o n s z e i c h e n d i e n t "+" ( l i e s : p l u s ) . Am Z a h l e n s t r a h l v e r a n s c h a u l i c h t b e d e u t e t d i e A d d i t i o n d e r
Z a h l e n 4 u n d 3, a l s o
4 + 3,
d a ß man a u f dem Z a h l e n s t r a h l z u n ä c h s t d e n P u n k t 4 a u f z u - s u c h e n h a t u n d v o n d a a u s um d r e i E i n h e i t e n n a c h r e c h t s
( " v o r w ä r t s z ä h l e n " ) g e h e n m u ß . Man l a n d e t b e i d e r Z a h l 7.
D i e s e V o r g e h e n s w e i s e b e i d e r A d d i t i o n i s t n i c h t n u r f ü r d i e h i e r v e r w e n d e t e n Z a h l e n 4 u n d 3 g ü l t i g , s o n d e r n f ü r b e l i e b i g e n a t ü r l i c h e Z a h l e n .
I n d e r M a t h e m a t i k v e r w e n d e t man a u s d i e s e m G r u n d z u r a l l - g e m e i n e n D a r s t e l l u n g n i c h t b e s t i m m t e Z a h l e n ( w i e h i e r 4 u n d 3 ) , s o n d e r n a l l g e m e i n e S y m b o l e f ü r d i e Z a h l e n , z.B.
k l e i n e l a t e i n i s c h e B u c h s t a b e n . D i e A d d i t i o n s c h r e i b t s i c h dann i n a l l g e m e i n e n S y m b o l e n :
a + b = c .
D i e b e i d e n Z a h l e n a u n d b , d i e a d d i e r t w e r d e n , h e i ß e n Sum- manden , d a s E r g e b n i s c b e z e i c h n e t man a l s Summe. D i e A d - d i t i o n v o n n a t ü r l i c h e n Z a h l e n i s t s t e t s d u r c h f ü h r b a r u n d d a s E r g e b n i s i s t w i e d e r e i n e n a t ü r l i c h e Z a h l .
B e i d e r A d d i t i o n s i n d d i e e i n z e l n e n Summanden ohne w e i t e - r e s v e r t a u s c h b a r , d . h . d i e A d d i t i o n i s t k o m m u t a t i v .
a + b = b + a K o m m u t a t i v g e s e t z d e r A d d i t i o n
F e r n e r k a n n d i e A d d i t i o n a u f mehr a l s z w e i Summanden e r w e i - t e r t w e r d e n . D i e s g e s c h i e h t d u r c h s u k z e s s i v e s Z u s a m m e n z ä h - l e n v o n j e w e i l s z w e i Summanden. D a b e i i s t d i e R e i h e n f o l g e d e r Z u s a m m e n f a s s u n g o h n e E i n f l u ß a u f d a s R e s u l t a t . F ü r d r e i Summanden g i l t b e i s p i e l s w e i s e
(a + b) + c = a + (b + c) A s s o z i a t i v g e s e t z d e r A d d i t i o n
E i n e w e i t e r e R e c h e n o p e r a t i o n , d i e i m B e r e i c h d e r n a t ü r l i - c h e n Z a h l e n u n e i n g e s c h r ä n k t d u r c h f ü h r b a r i s t , i s t d i e M u l - t i p l i k a t i o n , D a b e i h a n d e l t e s s i c h i m G r u n d e um e i n e f o r t - g e s e t z t e A d d i t i o n m i t d e m s e l b e n Summanden, z.B.
4 + 4 + 4 ,
für d i e a b k ü r z e n d 3 • 4 g e s c h r i e b e n w i r d .
D e r P u n k t a l s M u l t i p l i k a t i o n s z e i c h e n w i r d g e l e g e n t l i c h a u c h w e g g e l a s s e n , wenn man m i t a l l g e m e i n e n Z a h l e n s y m b o l e n r e c h - n e t . So b e d e u t e t ab d a s s e l b e w i e a . b u n d 3x d a s s e l b e w i e 3 • x, e t c .
A u c h b e i d e r M u l t i p l i k a t i o n i s t d i e R e i h e n f o l g e d e r e i n z e l - n e n F a k t o r e n ohne B e l a n g , d a s R e s u l t a t d e r M u l t i p l i k a t i o n , d a s P r o d u k t , i s t s t e t s d a s s e l b e . G l e i c h f a l l s g i l t d a s A s s o - z i a t i v g e s e t z b e i f o r t g e s e t z t e r M u l t i p l i k a t i o n . A l l g e m e i n i s t a l s o
a • b = b • a K o m m u t a t i v g e s e t z d e r M u l t i p l i k a t i o n
(a • b) • c = a • (b o c) A s s o z i a t i v g e s e t z d e r M u l t i p l i k a t i o n
D i e M u l t i p l i k a t i o n i s t e i n e R e c h e n o p e r a t i o n 2. S t u f e , w ä h - r e n d e s s i c h b e i d e r A d d i t i o n um e i n e R e c h n u n g s a r t 1. S t u f e h a n d e l t . D i e s b e e i n f l u ß t d i e R e i h e n f o l g e d e r R e c h e n o p e r a - t i o n e n :
D i e R e c h e n o p e r a t i o n h ö h e r e r S t u f e i s t z u e r s t d u r c h - z u f ü h r e n ( " P u n k t r e c h n u n g g e h t v o r S t r i c h r e c h n u n g " ) . S o l l e n d i e O p e r a t i o n e n i n a n d e r e r R e i h e n f o l g e a u s - g e f ü h r t w e r d e n , s o s i n d Klammern z u s e t z e n . D e r j e - w e i l s i n Klammern s t e h e n d e A u s d r u c k w i r d z u e r s t a u s - g e f ü h r t .
D i e z u r A d d i t i o n e n t g e g e n g e s e t z t e R e c h e n o p e r a t i o n 1. S t u f e i s t d i e S u b t r a k t i o n . S i e k a n n a u f dem Z a h l e n s t r a h l d u r c h
" R ü c k w ä r t s z ä h l e n " v e r a n s c h a u l i c h t w e r d e n .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
B e i s p i e l s w e i s e e r h ä l t man d i e D i f f e r e n z
7 - 4
i n d e m man a u s g e h e n d v o n d e r Z a h l 7 a u f dem Z a h l e n s t r a h l um 4 E i n h e i t e n n a c h l i n k s z ä h l t . Man l a n d e t b e i d e r Z a h l 3.
A l l e r d i n g s k a n n im B e r e i c h d e r n a t ü r l i c h e n Z a h l e n n i c h t j e d e S u b t r a k t i o n a u s g e f ü h r t w e r d e n , b e i s p i e l s w e i s e i s t d i e D i f f e r e n z
4 - 7
k e i n e n a t ü r l i c h e Z a h l m e h r . S o l l d i e S u b t r a k t i o n immer d u r c h - f ü h r b a r s e i n , m u ß d a s Z a h l e n s y s t e m e r w e i t e r t w e r d e n . Man e r - r e i c h t d i e s d u r c h H i n z u n a h m e d e r Z a h l 0 u n d d e r n e g a t i v e n
( g a n z e n ) Z a h l e n .
G r a p h i s c h k a n n man d i e s d a d u r c h v e r a n s c h a u l i c h e n , d a ß d e r Z a h l e n s t r a h l am A u s g a n g s p u n k t ( N u l l p u n k t ) g e s p i e g e l t w i r d , s o d a ß n u n vom N u l l p u n k t a u s n a c h l i n k s u n d r e c h t s i n g l e i - c h e n A b s t ä n d e n d i e Z a h l e n 1,2,3,4,... a u f g e t r a g e n w e r d e n . D i e Z a h l e n l i n k s v o n 0 w e r d e n m i t e i n e m M i n u s z e i c h e n "-"
v e r s e h e n u n d a l s n e g a t i v e Z a h l e n b e z e i c h n e t .
—, . . i • • 1 1 » • •
-6 -5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 6
Das P l u s z e i c h e n b e i d e n r e c h t s vom N u l l p u n k t a u f g e t r a g e n e n p o s i t i v e n g a n z e n Z a h l e n ( n a t ü r l i c h e n Z a h l e n ) w i r d m e i s t weg- g e l a s s e n ( + 3 = 3 ) . D e r Z a h l e n s t r a h l b e s i t z t j e t z t k e i n e n A n f a n g s p u n k t mehr u n d i s t n a c h b e i d e n S e i t e n u n b e g r e n z t ; man s p r i c h t v o n d e r Z a h l e n g e r a d e n .
Man e r h ä l t a u f d i e s e W e i s e d i e Menge d e r g a n z e n Z a h l e n
. . . , - 4 , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , . . . ,
d i e m i t 1 b e z e i c h n e t w i r d .
A d d i t i o n , S u b t r a k t i o n und M u l t i p l i k a t i o n s i n d im B e r e i c h d e r g a n z e n Z a h l e n u n e i n g e s c h r ä n k t d u r c h f ü h r b a r . F ü r d i e A d d i t i o n und d i e M u l t i p l i k a t i o n g e l t e n a u c h i n 1 d i e G e s e t z e d e r Kom- m u t a t i v i t ä t u n d A s s o z i a t i v i t ä t , für d i e S u b t r a k t i o n h i n g e - gen n i c h t I B e i s p i e l s w e i s e i s t
15 - 8 * 8 - 15.
M u l t i p l i z i e r t man Z a h l e n m i t b e l i e b i g e m V o r z e i c h e n , s o g e l - t e n d i e f o l g e n d e n R e g e l n :
(+a) (+b) = + (ab)
(+a) (-b) = - ( a b )
<-a) (+b) = - ( a b )
(-a) (-b) = +(ab)
B e i d e r M u l t i p l i k a t i o n v o n Z a h l e n m i t g l e i c h e n V o r z e i c h e n i s t d a s P r o d u k t s t e t s p o s i t i v , b e i Z a h l e n m i t v e r s c h i e d e - nen V o r z e i c h e n i s t d a s P r o d u k t n e g a t i v .
D i e z u r M u l t i p l i k a t i o n e n t g e g e n g e s e t z t e R e c h e n o p e r a t i o n i s t d i e D i v i s i o n . B e i s p i e l s w e i s e f ü h r t d i e F r a g e n a c h dem F a k t o r , m i t dem d i e Z a h l 3 m u l t i p l i z i e r t w e r d e n m u ß , d a m i t a l s P r o - d u k t d i e Z a h l 12 r e s u l t i e r t , a l s o
? . 3 = 1 2 ,
b e k a n n t l i c h z u e i n e r D i v i s i o n s a u f g a b e , d e r e n E r g e b n i s
12 : 3 bzw. y -
i s t . Wie b e r e i t s a n g e d e u t e t , i s t d a s O p e r a t i o n s z e i c h e n d e r D i v i s i o n d a s T e i l u n g s z e i c h e n ":" o d e r e i n s c h r ä g e r o d e r g e - r a d e r B r u c h s t r i c h . So b e d e u t e n d i e A u s d r ü c k e
12 : 3, - y o d e r 12/3
a l l e d a s s e l b e , n ä m l i c h d i e D i v i s i o n d e r Z a h l 12 d u r c h d i e Z a h l 3. Das E r g e b n i s i s t e i n Q u o t i e n t .
S o l l d i e D i v i s i o n i n j e d e m F a l l d u r c h f ü h r b a r s e i n , s o m u ß d a s Z a h l e n s y s t e m d e r g a n z e n Z a h l e n e r n e u t e r w e i t e r t w e r d e n ,
d e n n z . B . i s t k e i n e g a n z e Z a h l mehr. Man m u ß n a h e l i e g e n - d e r w e i s e a l l e " B r ü c h e " h i n z u n e h m e n . F ü r d i e " B r ü c h e " g i b t e s z w e i M ö g l i c h k e i t e n d e r D a r s t e l l u n g :
1. E i n i n d e r F o r m ^ g e s c h r i e b e n e r Q u o t i e n t , w o b e i a und b g a n z e Z a h l e n s i n d , h e i ß t g e m e i n e r o d e r g e w ö h n l i c h e r B r u c h . D i e Z a h l a i s t d e r Z ä h l e r , d i e Z a h l b d e r N e n n e r d e s B r u - c h e s . G e l e g e n t l i c h w i r d n o c h z w i s c h e n e c h t e n u n d u n e c h - t e n B r ü c h e n u n t e r s c h i e d e n . B e i e c h t e n B r ü c h e n i s t d e r Z ä h l e r immer k l e i n e r a l s d e r N e n n e r , d . h . d e r W e r t d e s B r u c h e s i s t s t e t s k l e i n e r a l s 1.
B e i s p i e l e :
i o d e r i s i n d e c h t e B r ü c h e , D O
-r9 1 = 2-r i s t e i n u n e c h t e r B r u c h . 4 4
2. L ö s t man d i e i m B r u c h e n t h a l t e n e D i v i s i o n s a u f g a b e , e r h ä l t man e i n e n D e z i m a l b r u c h .
B e i s p i e l e :
h = ° '0875
2j = 2,25
1
= 0,75B e s t e h t d e r N e n n e r e i n e s e c h t e n B r u c h e s l e d i g l i c h a u s e i n e m P r o d u k t d e r F a k t o r e n 2 u n d 5, s o g e h t d i e D i v i s i o n a u f . S i n d im N e n n e r n o c h a n d e r e F a k t o r e n e n t h a l t e n , e r g i b t s i c h e i n u n e n d l i c h e r p e r i o d i s c h e r D e z i m a l b r u c h , e t w a
1 = 0,3333
I n d e r P r a x i s w e r d e n s o l c h e D e z i m a l b r ü c h e a u f - bzw. a b g e r u n - d e t .
D i e g a n z e n Z a h l e n u n d d i e B r ü c h e (bzw. d i e u n e n d l i c h e n D e z i m a l - b r ü c h e , d i e p e r i o d i s c h s i n d ) b i l d e n zusammen d i e Menge d e r
r a t i o n a l e n Z a h l e n , d i e m i t Q b e z e i c h n e t w i r d . E i n e g r a p h i - s c h e V e r a n s c h a u l i c h u n g k a n n e b e n f a l l s a u f d e r Z a h l e n g e r a - den e r f o l g e n , w o b e i j e t z t a u c h b e l i e b i g e B r ü c h e a u f g e t r a g e n w e r d e n , z.B.
-5 -4 -1 -3 -2 -| -1 O J 1 2 2'5 3 4 5 6
A u c h im B e r e i c h d e r r a t i o n a l e n Z a h l e n g e l t e n für d i e A d d i t i o n und d i e M u l t i p l i k a t i o n d a s k o m m u t a t i v e u n d d a s a s s o z i a t i v e G e s e t z . A l l e v i e r G r u n d r e c h n u n g s a r t e n , n ä m l i c h A d d i t i o n u n d S u b t r a k t i o n a l s R e c h e n o p e r a t i o n e n 1. S t u f e s o w i e M u l t i p l i k a - t i o n u n d D i v i s i o n a l s R e c h e n o p e r a t i o n e n 2. S t u f e ( R e g e l
" P u n k t v o r S t r i c h " b e i z u s a m m e n g e s e t z t e n R e c h e n v o r s c h r i f t e n ! ) k ö n n e n m i t e i n e r e i n z i g e n Ausnahme u n e i n g e s c h r ä n k t d u r c h g e - f ü h r t w e r d e n . D i e Ausnahme l a u t e t :
D u r c h d i e Z a h l 0 d a r f n i c h t d i v i d i e r t w e r d e n .
D i e p r a k t i s c h e B e r e c h n u n g v o n Summen, D i f f e r e n z e n , P r o d u k - t e n o d e r Q u o t i e n t e n w i r d h e u t e z w e c k m ä ß i g e r w e i s e m i t H i l f e e i n e s T a s c h e n r e c h n e r s d u r c h g e f ü h r t . D e s h a l b k a n n a u f d i e d e t a i l l i e r t e D a r s t e l l u n g d e r R e c h e n r e g e l n f ü r B r ü c h e z.B.
S u c h e d e s H a u p t n e n n e r s b e i d e r A d d i t i o n an d i e s e r S t e l l e v e r z i c h t e t w e r d e n . H i e r s e i n u r an z w e i R e g e l n k u r z e r i n - n e r t : .
B r ü c h e w e r d e n m u l t i p l i z i e r t , i n d e m man j e w e i l s d i e Z ä h l e r und d i e N e n n e r d e r B r ü c h e m i t e i n a n d e r m u l t i - p l i z i e r t .
D u r c h e i n e n B r u c h w i r d d i v i d i e r t , i n d e m man m i t dem K e h r w e r t ( Z ä h l e r u n d N e n n e r v e r t a u s c h t ) m u l t i p l i - z i e r t .
B e i d e r M u l t i p l i k a t i o n und D i v i s i o n v o n Z a h l e n m i t v e r s c h i e - d e n e n V o r z e i c h e n g e l t e n i n Q d i e s e l b e n R e g e l n w i e im B e r e i c h d e r g a n z e n Z a h l e n . S i e w e r d e n h i e r n o c h m a l s z u s a m m e n g e f a ß t :
(+a) • (+b) = +(ab) (+a) (+b)
(-a) • (+b) = - (ab) (-a) (+b) a
b
(+a) • (-b) = - ( a b ) (+a) (-b) a
b
(-a) • (-b) = +(ab) (-a) (-b)
D a b e i k ö n n e n d i e Z a h l e n a u n d b b e l i e b i g e r a t i o n a l e Z a h l e n s e i n , m i t Ausnahme d e r Z a h l b = 0 b e i d e r D i v i s i o n .
D a s R e c h n e n m i t P o t e n z e n , W u r z e l n und L o g a r i t h m e n
E b e n s o w i e d i e f o r t g e s e t z t e A d d i t i o n m i t d e m s e l b e n Summan- d e n z u e i n e r n e u e n R e c h e n a r t , d e r M u l t i p l i k a t i o n , f ü h r t , s o f ü h r t a u c h d a s w i e d e r h o l t e M u l t i p l i z i e r e n m i t d e m s e l b e n F a k t o r z u e i n e r n e u e n R e c h e n a r t , dem P o t e n z i e r e n . Im G e g e n - s a t z z u r A d d i t o n und M u l t i p l i k a t i o n e x i s t i e r e n f ü r d i e s e R e c h e n a r t j e d o c h z w e i M ö g l i c h k e i t e n d e r Umkehrung, n ä m l i c h d a s R a d i z i e r e n o d e r W u r z e l z i e h e n u n d d a s L o g a r i t h m i e r e n .
Das n - f a c h e P r o d u k t
a • a a
v v y
n-mal
h e i ß t n - t e P o t e n z v o n a u n d w i r d an g e s c h r i e b e n ( l i e s : a h o c h n o d e r n - t e P o t e n z v o n a ) . D a b e i n e n n t man a B a s i s und d i e H o c h z a h l n E x p o n e n t d e r P o t e n z . D e r Ex- p o n e n t n i s t e i n e n a t ü r l i c h e Z a h l *)
Im S p e z i a l f a l l n = 2 s p r i c h t man m e i s t e n s v o n "a - Q u a d r a t " s t a t t
"a h o c h 2".
Das P o t e n z i e r e n i s t n i c h t w i e d i e A d d i t i o n u n d d i e M u l t i p l i -
*) D i e s e V o r a u s s e t z u n g w i r d s p ä t e r a u f b e l i e b i g e ( p o s i t i v e und n e g a t i v e ) Z a h l e n e r w e i t e r t .
k a t i o n k o m m u t a t i v b e z ü g l i c h d e r b e t e i l i g t e n G r ö ß e n . B e i - s p i e l s w e i s e i s t
32 = 9 u n d 23 = 8.
Da man a u c h n e g a t i v e Z a h l e n w i e d e r h o l t m i t s i c h s e l b s t mul- t i p l i z i e r e n k a n n , d a r f d i e B a s i s e i n e r P o t e n z a u c h n e g a t i v s e i n . A u f g r u n d d e r V o r z e i c h e n r e g e l n e r g i b t s i c h :
E i n e P o t e n z m i t n e g a t i v e r B a s i s i s t p o s i t i v b e i g e - r a d e m E x p o n e n t e n und n e g a t i v b e i u n g e r a d e m E x p o n e n t e n .
B e i s p i e l e :
( - 4 )2 = 16 ( - 4 )3 = - 64 ( - 5 )2 = 25 ( - 5 )3 = - 125
Aus d e r D e f i n i t i o n d e r P o t e n z l a s s e n s i c h s o f o r t e i n i g e Re- g e l n für d i e M u l t i p l i k a t i o n u n d D i v i s i o n v o n P o t e n z e n a b l e i - t e n .
B e t r a c h t e n w i r z u n ä c h s t den F a l l v o n P o t e n z e n m i t g l e i c h e r B a s i s :
n +m P o t e n z e n m i t g l e i c h e r B a s i s w e r - a den m u l t i p l i z i e r t , i n d e m d i e E x -
p o n e n t e n a d d i e r t w e r d e n .
an n-m P o t e n z e n m i t g l e i c h e r B a s i s w e r -
— = a1 1 m d e n d i v i d i e r t , i n d e m d i e E x p o n e n - a t e n s u b t r a h i e r t w e r d e n .
B e i d e r 2. R e g e l m u ß man z u n ä c h s t v o r a u s s e t z e n , d a ß n g r ö ß e r a l s m i s t . A b e r a u c h f ü r den F a l l , d a ß m d e r g r ö ß e r enE x p o - n e n t , a l s o n-m n e g a t i v i s t , l ä ß t s i c h d e r Q u o t i e n t ^ t r o t z - dem b e r e c h n e n , d e n n d e r Z ä h l e r w i r d d u r c h n - m a l i g e saK ü r z e n 1, und im N e n n e r b l e i b e n m-n F a k t o r e n a ü b r i g , s o d a ß man
1 m-n a
e r h ä l t .
Aus d i e s e m G r u n d e w i r d d i e D e f i n i t i o n d e r P o t e n z e n t s p r e - c h e n d e r w e i t e r t , w o b e i j e d o c h d i e b i s h e r i g e n R e c h e n r e g e l n i h r e G ü l t i g k e i t b e h a l t e n . Man s e t z t
- n = J _
a n
a
N a c h d e m s e l b e n P r i n z i p w i r d d i e P o t e n z a ° n e u f e s t g e l e g t . S i e e n t s t e h t b e i s p i e l s w e i s e a u s
a1 1 n - n
— = a a n
u n d m u ß d e n W e r t 1 h a b e n . A l s o w i r d d e f i n i e r t :
(a * 0)
a 1
(a = 0, d . h . 0 , w i r d a u s g e s c h l o s s e n . )
Ohne S c h w i e r i g k e i t e n l ä ß t s i c h d i e " P o t e n z e i n e r P o t e n z "
d e f i n i e r e n . E s i s t b e i s p i e l s w e i s e
( 53)2 = (5-5-5) • (5-5-5) = 56 = 53'2
A l l g e m e i n g i l t :
lam ,n _ m » n P o t e n z e n w e r d e n p o t e n z i e r t , i n d e m d i e E x p o n e n t e n m u l t i p l i z i e r t w e r d e n .
P o t e n z e n m i t n e g a t i v e n E x p o n e n t e n w e r d e n h ä u f i g b e i p h y s i - k a l i s c h e n M a ß e i n h e i t e n , e t w a gern 3 = g / c m3 f ü r d i e D i c h t e e i n e s K ö r p e r s , v e r w e n d e t . Z e h n e r p o t e n z e n m i t n e g a t i v e n E x p o - n e n t e n w e r d e n z u r ü b e r s i c h t l i c h e n D a r s t e l l u n g v o n s e h r k l e i - n e n Z a h l e n g e b r a u c h t , a u c h b e i T a s c h e n r e c h n e r n . Z.B. k a n n d i e Z a h l
0,0004795
d a r g e s t e l l t w e r d e n a l s
4,795 . 10'
S c h l i e ß l i c h s e i e n n o c h z w e i e i n f a c h e R e g e l n f ü r d e n F a l l d e r M u l t i p l i k a t i o n bzw. D i v i s i o n v o n P o t e n z e n m i t v e r s c h i e d e n e n B a s e n u n d g l e i c h e n E x p o n e n t e n a n g e g e b e n :
n , n _
a D — ( a b )n
n a
A l l g e m e i n i s t b e i d e r R e c h e n o p e r a t i o n d e s P o t e n z i e r e n s a u s d e r " P o t e n z g l e i c h u n g "
b e i b e k a n n t e r B a s i s a und b e k a n n t e m E x p o n e n t e n n d e r W e r t d e r P o t e n z b z u e r m i t t e l n . D r e h t man nun d i e F r a g e s t e l l u n g um, und v e r s u c h t a u s d e r P o t e n z g l e i c h u n g an = b b e i b e k a n n - tem n u n d b _> 0 d i e B a s i s a z u b e s t i m m e n , e r g i b t s i c h e i n e e r s t e Umkehrung d e s P o t e n z i e r e n s , n ä m l i c h d i e R e c h e n o p e r a t i o n d e s R a d i z i e r e n s . Man s c h r e i b t
a = $Hb , a,b > 0 ( l i e s : a i s t d i e n - t e n=1,2,... W u r z e l a u s b)
D i e n - t e W u r z e l a u s b i s t a l s o d i e j e n i g e n i c h t n e g a - t i v e Z a h l a , d e r e n n - t e P o t e n z g e r a d e b e r g i b t ; b h e i ß t R a d i k a n d und d a r f n i c h t n e g a t i v s e i n .
Im S p e z i a l f a l l n = 2 s c h r e i b t man s t a t t vHB g e w ö h n l i c h \/b und n e n n t s i e " Q u a d r a t w u r z e l a u s b " .
D i e n - t e W u r z e l a u s b i s t demnach d i e e i n d e u t i g b e s t i m m t e n i c h t n e g a t i v e L ö s u n g d e r G l e i c h u n g
x = b . n ,
D a m i t d i e s e G l e i c h u n g s t e t s e i n e L ö s u n g b e s i t z t , m u ß a l l e r - d i n g s d a s Z a h l e n s y s t e m d e r r a t i o n a l e n Z a h l e n e r w e i t e r t w e r - d e n , d e n n man k a n n l e i c h t z e i g e n , d a ß z.B. d i e L ö s u n g d e r G l e i c h u n g
x = 2,
n ä m l i c h \fTt k e i n e r a t i o n a l e Z a h l i s t , s i c h a l s o n i c h t i n d e r Form £ ( p , q g a n z z a h l i g ) d a r s t e l l e n l ä ß t .
A u f d e r a n d e r e n S e i t e k a n n a b e r \[2 d u r c h e i n e S t r e c k e r e - p r ä s e n t i e r t w e r d e n , n ä m l i c h a l s D i a g o n a l e i n e i n e m Q u a d r a t d e r L ä n g e 1,
1
und d e s h a l b e n t s p r i c h t \fl a u c h e i n P u n k t a u f d e r Z a h l e n g e - r a d e n . Man n e n n t s o l c h e Z a h l e n , d i e s i c h n i c h t a l s B r ü c h e bzw. p e r i o d i s c h u n e n d l i c h e D e z i m a l z a h l e n d a r s t e l l e n l a s s e n , i r r a t i o n a l e Z a h l e n . D i e i r r a t i o n a l e n Z a h l e n b i l d e n zusammen m i t d e n r a t i o n a l e n Z a h l e n d i e Menge d e r r e e l l e n Z a h l e n , d i e g e w ö h n l i c h m i t B b e z e i c h n e t w i r d .
E s b e s t e h t d i e M ö g l i c h k e i t , d i e W u r z e l n e b e n f a l l s a l s P o - t e n z e n z u s c h r e i b e n und z w a r a l s P o t e n z e n m i t g e b r o c h e n e m E x p o n e n t e n :
1
V T n
:= a m n := a
Man z i e h t d i e n - t e W u r z e l e i n e r m
n := a
P o t e n z , i n d e m man d e n E x p o n e n t e n m
n
:= a d e r P o t e n z d u r c h n t e i l t .
D a m i t l a s s e n s i c h a l l e R e c h e n r e g e l n f ü r W u r z e l n a u f d i e R e c h e n r e g e l n f ü r P o t e n z e n z u r ü c k f ü h r e n . B e i s p i e l s w e i s e i s t
1 1 1
\/a\fb = a2 • b2 = ( a b )2 = Vab\
D i e p r a k t i s c h e B e r e c h n u n g v o n W u r z e l n w i r d , e b e n s o w i e d a s B e r e c h n e n v o n P o t e n z e n , z w e c k m ä ß i g e r w e i s e m i t e i n e m T a s c h e n - r e c h n e r a u s g e f ü h r t , d a d i e s e R e c h e n o p e r a t i o n e n h e u t e a u c h s c h o n b e i e i n f a c h e n und b i l l i g e n G e r ä t e n z u r V e r f ü g u n g s t e - h e n .
B e i s p i e l e ;
\[2 w 1 , 4 1 4 2 1 3 5 ( w b e d e u t e t " u n g e f ä h r g l e i c h " ) vT5 w 3 , 1 6 2 2 7 7 6
\/3 • / T Ö = \ / 3 Ö « 5 , 4 7 7 2 2 5 5 3
= 52 « 11 , 1 8 0 3 3 9
\/l7 = 4
V5781 « 0 , 8 9 4 4 2 7 1
E i n e z w e i t e Umkehrung d e r P o t e n z b i l d u n g e r h ä l t man, wenn man a u s d e r P o t e n z g l e i c h u n g
b e i b e k a n n t e r B a s i s a u n d b e k a n n t e m P o t e n z w e r t b d e n E x p o - n e n t e n n z u e r m i t t e l n v e r s u c h t . Man s c h r e i b t
l i e s : n i s t d e r L o g a r i t h m u s v o n b z u r B a s i s a .
u n d n e n n t d i e z u g e h ö r i g e R e c h e n o p e r a t i o n L o g a r i t h m i e r e n .
D e r L o g a r i t h m u s e i n e r Z a h l b (b > 0) z u r B a s i s a i s t d e r j e n i g e E x p o n e n t , m i t dem d i e B a s i s a z u p o t e n z i e - r e n i s t , d a m i t man d i e Z a h l b e r h ä l t , b h e i ß t Nume- r u s u n d a d i e B a s i s d e s L o g a r i t h m u s . D e r Numerus d a r f n i c h t n e g a t i v s e i n !
D e r Zusammenhang z w i s c h e n P o t e n z i e r e n u n d L o g a r i t h m i e r e n w i r d d u r c h d i e B e z i e h u n g
l o g b , a a = l o ga( aD) = b
h e r g e s t e l l t , d . h . L o g a r i t h m i e r e n u n d P o t e n z i e r e n m i t d e n - s e l b e n B a s e n h e b e n s i c h g e g e n s e i t i g a u f .
A u s
a = a bzw. a = 1
e r g e b e n s i c h d i e b e i d e n S o n d e r f ä l l e
bzw.
l o g a = 1
a D e r L o g a r i t h m u s d e r B a s i s i s t immer 1.
l o g 1 = 0 D e r L o g a r i t h m u s v o n 1 i s t b e i j e d e r B a s i s g l e i c h 0.
G l e i c h f a l l s a u s d e n R e g e l n f ü r d a s R e c h n e n m i t P o t e n z e n l a s s e n s i c h e i n f a c h e R e c h e n r e g e l n f ü r L o g a r i t h m e n a b l e i t e n :
n = l o g b
l o go( b . c ) a
l o g b + l o g c
n
l o gab - l o gac
B e i s p i e l e ;
l o g56 2 5 = 4, l o g21 0 2 4 = 1
d e n n 54 = 625 10, d e n n 2 10
= 1024 l o g
'0,25 4 - 1, d e n n 0,25 y y g - = 4
l o g5( 2 53)
l o
^ o o o
1 0 1, d e n n 1 0 0 03 = ^1000" = 10 3 . l o g , 2 5 = 3 - 2 = 6 .D i e G e s a m t h e i t a l l e r L o g a r i t h m e n z u r B a s i s a (a > 0) b i l d e n e i n L o g a r i t h m e n s y s t e m z u r B a s i s a . D i e d r e i w i c h t i g s t e n L o - g a r i t h m e n s y s t e m e s i n d :
1. Das d e k a d i s c h e L o g a r i t h m e n s y s t e m a = 10, A b k ü r z u n g : l g 2. Das n a t ü r l i c h e L o g a r i t h m e n s y s t e m
a = e = 2,718... ( E u l e r ' s c h e Z a h l ) , A b k ü r z u n g : I n 3. Das d u a l e L o g a r i t h m e n s y s t e m
a = 2, A b k ü r z u n g : l d .
Das d e k a d i s c h e L o g a r i t h m e n s y s t e m , u n s e r e m Z a h l e n s y s t e m e n t - s p r e c h e n d , d i e n t e f r ü h e r h ä u f i g z u r n u m e r i s c h e n B e r e c h n u n g v o n k o m p l i z i e r t e n R e c h e n a u s d r ü c k e n . D a z u w u r d e n s o g . L o g a - r i t h m e n t a f e l n v e r w e n d e t . H e u t e w i r d d i e s e A u f g a b e e i n f a c h e r und z e i t s p a r e n d e r v o n e l e k t r o n i s c h e n T a s c h e n r e c h n e r n ü b e r - nommen .
Das n a t ü r l i c h e L o g a r i t h m e n s y s t e m s p i e l t e i n e g r o ß e R o l l e i n d e r h ö h e r e n M a t h e m a t i k , i n s b e s o n d e r e a l s U m k e h r f u n k t i o n d e r E x p o n e n t i a l f u n k t i o n ex m i t d e r E u l e r ' s e h e n Z a h l e a l s B a s i s .
Das d u a l e L o g a r i t h m e n s y s t e m i s t f ü r d i e e l e k t r o n i s c h e D a t e n - v e r a r b e i t u n g v o n g r u n d l e g e n d e r B e d e u t u n g .
R a d i z i e r e n , P o t e n z i e r e n u n d L o g a r i t h m i e r e n b i l d e n R e c h n u n g s a r t e n d e r 3. S t u f e . I n z u s a m m e n g e s e t z t e n R e c h e n a u s d r ü c k e n s i n d s i e v o r d e r M u l t i p l i k a t i o n u n d d e r D i v i s i o n a u s z u f ü h r e n .
D i e L o g a r i t h m e n s i n d , e b e n s o w i e d i e W u r z e l n , im a l l g e m e i - n e n k e i n e r a t i o n a l e n Z a h l e n , a l s o n i c h t d u r c h e i n e n Quo- t i e n t e n £ ( p , q g a n z z a h l i g ) d a r s t e l l b a r . S e l b s t v e r s t ä n d l i c h g i b t e s Ausnahmen, z.B. i s t
l o g1 Q1 0 0 = 2,
j e d o c h m i t Ausnahme d e r P o t e n z e n v o n 10 g e h ö r e n d i e d e k a - d i s c h e n L o g a r i t h m e n z u d e n i r r a t i o n a l e n Z a h l e n .
Das Z a h l e n s y s t e m , i n dem g e w ö h n l i c h g e r e c h n e t w i r d u n d d a s f ü r d i e m e i s t e n F r a g e s t e l l u n g e n d e r S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n v ö l l i g a u s r e i c h t , i s t d i e Menge IR d e r r e e l l e n Z a h l e n , w e l - c h e a l l e r a t i o n a l e n u n d i r r a t i o n a l e n Z a h l e n e n t h ä l t . D e r V o l l s t ä n d i g k e i t h a l b e r s e i n o c h f e s t g e s t e l l t , d a ß s i c h a u c h i m B e r e i c h d e r r e e l l e n Z a h l e n g e w i s s e n G l e i c h u n g e n n i c h t l ö s e n l a s s e n . So g i b t e s b e i s p i e l s w e i s e k e i n e r e e l l e Z a h l x, f ü r d i e
2 1
x = - 1
g i l t . D i e s e S c h w i e r i g k e i t w i r d d u r c h d i e E i n f ü h r u n g d e r k o m p l e x e n Z a h l e n b e h o b e n , a u f d e r e n D a r s t e l l u n g h i e r j e d o c h v e r z i c h t e t w i r d . Im B e r e i c h d e r k o m p l e x e n Z a h l e n k ö n n e n d a n n a u c h W u r z e l n a u s n e g a t i v e n R a d i k a n d e n u n d L o g a r i t h m e n m i t n e g a t i v e n N u m e r i g e b i l d e t w e r d e n .
S c h l i e ß l i c h w o l l e n w i r d i e w i c h t i g s t e n R e c h e n r e g e l n f ü r r e e l l e Z a h l e n n o c h m a l s z u s a m m e n f a s s e n . J e z w e i r e e l l e n Z a h - l e n a u n d b i s t g e n a u e i n e r e e l l e Z a h l a + b a l s Summe u n d g e n a u e i n e r e l l e Z a h l a « b a l s P r o d u k t z u g e o r d n e t . D a b e i g e l t e n d i e f o l g e n d e n G r u n d g e s e t z e :
A d d i t i o n M u l t i p l i k a t i o n K o r n m u t a t i v e s
G e s e t z
a + b = b + a ab = b a
A s s o z i a t i v e s G e s e t z
a + (b+c) = (a+b) + c a ( b c ) = ( a b ) c
D i s t r i b u t i v e s G e s e t z
a ( b + c ) = ab + a c
F ü r b e l i e b i g e a,b a u s IR w i r d d i e G l e i c h u n g
F ü r b e l i e b i g e a,b a u s m i t a * 0 w i r d d i e G l e i c h u n g
IR
a + x = b
a • x = b d u r c h g e n a u e i n x a u s (R
g e l ö s t ; man s c h r e i b t d u r c h g e n a u e i n x a u s g e l ö s t ; man s c h r e i b t
«R
x = b - a
x = *
a ( e i n d e u t i g e S u b t r a k t i o n )
( e i n d e u t i g e D i v i s i o n )
B e i m G e s e t z ü b e r d i e e i n d e u t i g e D i v i s i o n i s t d i e V o r a u s -
s e t z u n g a * 0 w e s e n t l i c h ; a n d e r e n f a l l s w ä r e d a s G e s e t z f a l s c h , d e n n d i e G l e i c h u n g
0 • x = b
i s t für d e n F a l l b = 0 u n e n d l i c h v i e l d e u t i g l ö s b a r (0 • x = O f ü r a l l e x a u s IR) und i m F a l l e b * 0 i s t d i e G l e i c h u n g u n - l ö s b a r .
Z u r O r d n u n g s s t r u k t u r d e r r e e l l e n Z a h l e n
D a r ü b e r h i n a u s b e s i t z e n d i e r e e l l e n Z a h l e n , w i e a u c h b e r e i t s d i e n a t ü r l i c h e n Z a h l e n , e i n e O r d n u n g s t r u k t u r , d i e e i n e n G r ö s - s e n v e r g l e i c h z w i s c h e n r e e l l e n Z a h l e n e r l a u b t . Von z w e i v e r - s c h i e d e n e n r e e l l e n Z a h l e n l ä ß t s i c h immer e n t s c h e i d e n , w e l - c h e Z a h l d i e k l e i n e r e v o n b e i d e n u n d w e l c h e Z a h l d i e g r ö - ß e r e i s t , s i e s t e h e n b e z ü g l i c h d e r n u m e r i s c h e n G r ö ß e i n e i n e r " R e l a t i o n " .
Man b e z e i c h n e t d i e A u s s a g e "a i s t k l e i n e r a l s b " m i t "a < b "
und m i t "a < b " d i e A u s s a g e " a i s t k l e i n e r o d e r g l e i c h b "
("a i s t h ö c h s t e n s s o g r o ß w i e b " , " a i s t n i c h t g r ö ß e r a l s b " ) .
Man b e a c h t e , d a ß s o w o h l
12 < 19 a l s a u c h 12 < 12
r i c h t i g i s t .
I n A n a l o g i e d a z u w i r d d i e A u s s a g e " a i s t g r ö ß e r a l s b" m i t
"a > b " b e z e i c h n e t u n d m i t "a > b " d i e A u s s a g e " a i s t g r ö - ß e r o d e r g l e i c h b " ("a i s t m i n d e s t e n s s o g r o ß w i e b " , "a i s t n i c h t k l e i n e r a l s b " ) . E s g i l t b e i s p i e l s w e i s e
7 > 3 o d e r 12 > 8,
a b e r a u c h
8 > 8.
V e r a n s c h a u l i c h t man s i c h d e n G r ö ß e n v e r g l e i c h v o n r e e l l e n Z a h l e n a u f d e r Z a h l e n g e r a d e n , s o l i e g t d i e k l e i n e r e Z a h l s t e t s l i n k s v o n d e r g r ö ß e r e n Z a h l .
a [ t [ b
-5 -4 -3 -2 -1 O .1 2 3 4 5 6
a < b
Man b e a c h t e , d a ß für n e g a t i v e Z a h l e n b e i s p i e l s w e i s e g i l t
-6 < -3 o d e r -100 < - 5 0 ,
d . h . d i e r e i n z a h l e n m ä ß i g g r ö ß e r e Z a h l i s t , wenn b e i d e Z a h - l e n m i t e i n e m M i n u s z e i c h e n v e r s e h e n w e r d e n , d a n n d i e k l e i - n e r e Z a h l .
F ü r d i e O r d n u n g s s t r u k t u r d e r r e e l l e n Z a h l e n g e l t e n d i e f o l - g e n d e n G e s e t z m ä ß i g k e i t e n :
(1) F ü r z w e i b e l i e b i g e r e e l l e Z a h l e n a u n d b g i l t s t e t s g e n a u e i n e d e r d r e i f o l g e n d e n B e z i e h u n g e n ( R e l a t i - o n e n ) :
a < b o d e r a = b o d e r a > b
(2) F ü r a , b , c a u s IR f o l g t a u s a < b u n d b < c s t e t s a < c .
D i e s e E i g e n s c h a f t n e n n t man T r a n s i t i v i t ä t . ( I s t P e t e r k l e i n e r a l s P a u l u n d d i e s e r w i e d e r u m k l e i n e r a l s H a n s , s o m u ß a u c h P e t e r k l e i n e r a l s Hans s e i n . )
(3) A u s a < b f o l g t a + c < b + c f ü r b e l i e b i g e s c a u s IR.
D e r G r ö ß e n v e r g l e i c h z w i s c h e n a u n d b b l e i b t u n v e r ä n - d e r t , wenn z u b e i d e n Z a h l e n d i e s e l b e Z a h l a d d i e r t o d e r s u b t r a h i e r t (c k a n n a u c h n e g a t i v s e i n l ) w i r d .
( I s t P e t e r k l e i n e r a l s P a u l , s o g i l t d i e s a u c h n o c h , wenn b e i d e a u f e i n e m T i s c h s t e h e n . ) D i e s e E i g e n s c h a f t h e i ß t M o n o t o n i e g e s e t z d e r A d d i t i o n .
(4) A u s a < b f o l g t a • c < b • c f ü r a l l e c a u s |R m i t c > 0
D i e s e E i g e n s c h a f t h e i ß t M o n o t o n i e g e s e t z d e r M u l t i p l i - k a t i o n . H i e r i s t d i e V o r a u s s e t z u n g c > 0 w e s e n t l i c h . F ü r n e g a t i v e c m u ß man d a s U n g l e i c h h e i t s z e i c h e n um- d r e h e n u n d e s g i l t :
A u s a < b f o l g t a • c > b . c f ü r c < 0
I n s b e s o n d e r e e r h ä l t man (c = -1 e i n g e s e t z t ) :
Aus a < b f o l g t - a > - b .
D a r a u s e r g i b t s i c h d i e b e r e i t s f r ü h e r e r w ä h n t e T a t - s a c h e , d a ß z w a r z.B. 10 < 15 g i l t , a b e r
-10 > - 1 5 .
D i e G e s e t z e (2) b i s (4) b e h a l t e n i h r e G ü l t i g k e i t , wenn man
"<" d u r c h "<" ( o d e r d u r c h ">" bzw. ">") e r s e t z t .
D i e E i g e n s c h a f t e n (1) b i s (4) d e r O r d n u n g s s t r u k t u r i m B e r e i c h d e r r e e l l e n Z a h l e n s p i e l e n n e b e n d e r O p e r a t i o n d e r A d d i t i o n i n R i n d e n S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n e i n e w e s e n t l i c h e R o l l e b e i
d e r M e s s u n g u n d S k a l i e r u n g v o n M e r k m a l e n . Man v e r g l e i c h e h i e r z u A b s c h n i t t 3.4.1.
Zum S c h l u ß d i e s e s A b s c h n i t t s w i r d n o c h k u r z a u f d e n B e g r i f f d e s A b s o l u t b e t r a g e s e i n e r r e e l l e n Z a h l e i n g e g a n g e n .
U n t e r |a| ( l i e s : a a b s o l u t o d e r A b s o l u t b e t r a g v o n a) v e r s t e h t man d e n r e i n z a h l e n m ä ß i g e n W e r t e i n e r r e e l - l e n Z a h l u n a b h ä n g i g v o n i h r e m V o r z e i c h e n . F o r m a l i s t
a l s o d i e Z a h l a s e l b s t , wenn a > 0 i s t , u n d d i e Z a h l - a , wenn a < 0 i s t .
B e i s p i e l e :
I 3 | = 3
|-5| = - ( - 5 ) = 5
|-20| = 20
F ü r d a s R e c h n e n m i t A b s o l u t b e t r ä g e n v o n r e e l l e n Z a h l e n g e l - t e n d i e f o l g e n d e n R e c h e n r e g e l n .
(1) |a| = 0 g e n a u d a n n , wenn a = 0
D e r A b s o l u t b e t r a g e i n e r Z a h l i s t n u r d a n n 0, wenn d i e Z a h l s e l b s t 0 i s t .
(2) | - a | = |a|
B e i s p i e l :
a = 3 =» | a | = 3 u n d | - a | = 3
a = -6 => | a I = - ( - 6 ) = 6 u n d - a = 6, [ a | = 6.
(3) a < | a i u n d - a < l a l
a f a l l s a > 0,
a f a l l s a < 0, a a u s R
J e d e r e e l l e Z a h l i s t h ö c h s t e n s s o g r o ß w i e i h r A b s o l u t b e - t r a g . F ü r p o s i t i v e Z a h l e n s t i m m e n a u n d |a| ü b e r e i n , d . h .
3. - | a | , für n e g a t i v e s a i s t |a| d e r p o s i t i v e W e r t v o n a , d. h . a < | a | .
B e i s p i e l r
a = - 7 => | a | = 7 und -7 < 7
(4) |a • b | = |a|-|b|
B e i s p i e l :
a = 1o, b = -3
|ab| = |10- (-3) | = l - 3 0 J = 30.
| a | • |b| = |10| . |— 31 = 10 • 3 = 30
(5) ' a1 |a| für a * 0
(6) !a + b | < |a| + |b|
D i e s e U n g l e i c h u n g w i r d a l s " D r e i e c k s u n g l e i c h u n g " b e z e i c h - n e t .
2.2 Lineare Gleichungen mit einer und zwei Unbekannten
D i e G l e i c h u n g i s t e i n f u n d a m e n t a l e r B e g r i f f d e r M a t h e m a t i k . W e r d e n z w e i a l g e b r a i s c h e A u s d r ü c k e d u r c h e i n G l e i c h h e i t s - z e i c h e n v e r b u n d e n , e n t s t e h t e i n e G l e i c h u n g . Man u n t e r s c h e i - d e t d r e i v e r s c h i e d e n e T y p e n v o n G l e i c h u n g e n :
I d e n t i s c h e G l e i c h u n g e n F u n k t i o n s g l e i c h u n g e n B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g e n
E i n B e i s p i e l für e i n e i d e n t i s c h e G l e i c h u n g i s t
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2.
S i e g i l t für b e l i e b i g e W e r t e d e r Z a h l e n s y m b o l e a und b . I d e n t i s c h e G l e i c h u n g e n s t e l l e n h ä u f i g n u r a l g e b r a i s c h e Um- f o r m u n g e n o d e r a n d e r e S c h r e i b w e i s e n d a r .
E i n e F u n k t i o n s g l e i c h u n g e n t h ä l t z w e i o d e r mehr v e r ä n d e r l i - c h e G r ö ß e n ( V a r i a b l e n ) , d i e e i n a n d e r z u g e o r d n e t w e r d e n . E i n B e i s p i e l i s t
H i e r d i e n t d i e G l e i c h u n g a l s Z u O r d n u n g s v o r s c h r i f t , d . h . j e d e m x - W e r t w i r d g e n a u e i n y - W e r t z u g e o r d n e t . S o m i t g i l t e i n e F u n k t i o n s g l e i c h u n g n u r f ü r b e s t i m m t e Z a h l e n p a a r e x u n d y , j e d o c h i n s g e s a m t f ü r u n e n d l i c h v i e l e . F u n k t i o n s g l e i c h u n - g e n s i n d G e g e n s t a n d d e r h ö h e r e n M a t h e m a t i k .
D a g e g e n s t e l l t d i e G l e i c h u n g
( x - 2 )2 = 16
e i n e B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g d a r . S i e g i l t n u r f ü r d i e b e i d e n W e r t e x = 6 u n d x = - 2 . I n e i n e r B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g t r e - t e n u n b e k a n n t e G r ö ß e n ( U n b e k a n n t e ) a u f , u n d man h a t d i e A u f g a b e , d i e s e U n b e k a n n t e n r e c h n e r i s c h z u b e s t i m m e n . Man h a t d i e G l e i c h u n g n a c h d e r U n b e k a n n t e n " a u f z u l ö s e n " . A l l e r - d i n g s k a n n e i n e G l e i c h u n g a u c h m e h r e r e " L ö s u n g e n " o d e r "Wur- z e l n " b e s i t z e n o d e r k a n n u n l ö s b a r s e i n , d . h . ü b e r h a u p t k e i - n e L ö s u n g h a b e n .
H a n d e l t e s s i c h um e i n e B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g m i t e i n e r U n b e k a n n t e n u n d kommt d i e U n b e k a n n t e n u r i n d e r e r s t e n P o t e n z v o r , s p r i c h t man v o n e i n e r l i n e a r e n G l e i c h u n g . B e i m e h r e r e n G l e i c h u n g e n m i t m e h r e r e n U n b e k a n n t e n , d i e a l l e n u r i n d e r e r s t e n P o t e n z vorkommen, s p r i c h t man v o n e i n e m l i n e a r e n G l e i c h u n g s s y s t e m .
D i e B e h a n d l u n g v o n l i n e a r e n G l e i c h u n g e n m i t e i n e r u n d z w e i U n b e k a n n t e n w i r d nun k u r z e r ö r t e r t . L i n e a r e G l e i c h u n g s s y s - teme m i t mehr a l s z w e i U n b e k a n n t e n w e r d e n i n e i n e m s p ä t e - r e n A b s c h n i t t i m Rahmen d e r " M a t r i z e n r e c h n u n g " d i s k u t i e r t . Man v e r g l e i c h e d a z u K a p . 6.
Z u e r s t w i r d d e r F a l l e i n e r G l e i c h u n g m i t e i n e r U n b e k a n n t e n b e t r a c h t e t . Man l ö s t e i n e B e s t i m m u n g s g l e i c h u n g m i t e i n e r U n b e k a n n t e n n a c h f o l g e n d e r a l l g e m e i n e n R e g e l :
D u r c h g e e i g n e t e s Umformen i s o l i e r t man d i e U n b e k a n n - t e a u f d e r e i n e n S e i t e d e r G l e i c h u n g u n d d i e r e i n e n Z a h l e n w e r t e u n d b e k a n n t e n A u s d r ü c k e a u f d e r a n d e r e n S e i t e d e r G l e i c h u n g .
F ü r d i e Umformung e i n e r G l e i c h u n g g e l t e n d i e f o l g e n d e n Re- g e l n :
(1) A d d i e r t o d e r s u b t r a h i e r t man a u f b e i d e n S e i t e n d e r G l e i c h u n g d e n s e l b e n A u s d r u c k , s o b l e i b t d i e G l e i c h u n g r i c h t i g .
(2) M u l t i p l i z i e r t o d e r d i v i d i e r t man b e i d e S e i t e n d e r G l e i c h u n g m i t d e m s e l b e n F a k t o r , s o b l e i b t d i e G l e i c h u n g r i c h t i g . Ausgenommen s i n d d i e M u l -
t i p l i k a t i o n m i t 0 u n d d i e D i v i s i o n d u r c h 0.
(3) E n t s p r e c h e n d e s g i l t f ü r R e c h e n o p e r a t i o n e n h ö h e - r e r S t u f e n , e t w a l o g a r i t h m i e r e n , r a d i z i e r e n o d e r p o t e n z i e r e n .
(4) E i n e G l e i c h u n g b l e i b t r i c h t i g , wenn man b e i d e S e i t e n d e r G l e i c h u n g v e r t a u s c h t .
D i e U m f o r m u n g s r e g e l n l a s s e n s i c h f o l g e n d e r m a ß e n zusammen- f a s s e n :
E i n e G l e i c h u n g b l e i b t g ü l t i g , wenn man a u f b e i d e n S e i t e n d e r G l e i c h u n g m i t d e n s e l b e n A u s d r ü c k e n g l e i - c h e R e c h e n o p e r a t i o n e n d u r c h f ü h r t .
Ok d a s e r m i t t e l t e E r g e b n i s a u c h t a t s ä c h l i c h e i n e L ö s u n g d e r G l e i c h u n g d a r s t e l l t , z e i g t d i e P r o b e d u r c h E i n s e t z e n des e r r e c h n e t e n W e r t s f ü r d i e U n b e k a n n t e i n b e i d e S e i t e n d e r A u s g a n g s g l e i c h u n g .
B e i s p i e l e :
1. 29x - 19 = 5x + 17 / S u b t r a k t i o n v o n 5x -5x -5x
24x - 1 9 = 0 + 1 7 / A d d i t i o n v o n +19 + 1 9 + 1 9
