Theoretishe Physik A WS 2000/01
Prof. Dr. J.Kuhn / Dr. W.Kilian Blatt 13 26. 1.2001
Abgabe:Mittwoh, 24.1. bis10:30
1. Fluhtbahnen (4 Punkte)
ZeigenSie: Fur>1 hat eine Planetenbahn
r()= p
1+os
dieForm einer Hyperbel
(x x
0 )
2
a 2
y 2
b 2
=1
Druken Sie a, b und x
0
durh p und aus. Wie sieht die Bahnkurve im Grenzfall
1 aus?
2. Komet(6 Punkte)
EinKomet (reduzierteMasse ) bewegt sih aufseiner Bahn imGravitationsfeld der
Sonne:
U(r)=
r
(1)
(a) Wie gro ist seine Geshwindigkeit v
0
im Abstand r
0
von der Sonne, wenn die
Bahn gerade nihtmehr geshlossen ist(Parabelbahn)?
(b) Wie gro ist dieGeshwindigkeit aufeiner Kreisbahn mit Radiusr
0
?
() Mit welher Relativgeshwindigkeit kann also ein Komet auf einer Parabelbahn
maximal auf dieErde auftreen?
[Die Erdbahn ist beinahe kreisformig mitRadius 1AE=15010 6
km.Ein Jahr
hat 10 7
s .℄
3. Planetenbewegung:Alternative Losung(6 Punkte)
Auf dem vorigen Blatt haben Sie gezeigt, da im Gravitationsfeld (1) der Lenzshe
Vektor
= _ rL
r 2
F(r) e
r
z-Ahse und der Lenzshe Vektor in Rihtung der x-Ahse zeigt.Stellen Sie dieGlei-
hungen furdieErhaltung vonDrehimpuls L=(0;0;L)und Lenz-Vektor =(;0;0)
in Polarkoordinaten auf, d.h. ausgedrukt durh r;;r;_ _
. Eliminieren Sie in diesen
Gleihungen alle Zeitableitungen und bestimmen Sie damit die Bahnkurve r() fur
einen Planeten im Gravitationsfeld, ohne eine Dierentialgleihung losen zu mussen
oder einIntegral zu berehnen.
4. Eulershe Formel (4 Punkte)
DieMatrix I ist durh
I =
0 1
1 0
gegeben.
(a) Berehnen Sie allePotenzen von I, alsoI 2
, I 3
, :::
(b) Fur quadratishe Matrizen kann man ebenso wie furreelle und komplexe Zahlen
Potenzreiheneinfuhren. Soist fur eine beliebigequadratishe MatrixA
expA= 1
X
n=0 1
n!
A n
:
Zeigen Sie, da
exp (I)=Eos+Isin
ergibt, also die Matrix einer Drehung um den Winkel . (E bezeihnet hier die
0