25.Juni2018 Vorlesung17:KürzestePfade(K24)Joost-PieterKatoen DatenstrukturenundAlgorithmen

(1)

Kürzeste Pfadalgorithmen

Datenstrukturen und Algorithmen

Vorlesung 17: Kürzeste Pfade (K24)

Joost-Pieter Katoen

Lehrstuhl für Informatik 2 Software Modeling and Verification Group

https://moves.rwth-aachen.de/teaching/ss-18/dsal/

25. Juni 2018

Joost-Pieter Katoen Datenstrukturen und Algorithmen 1/43

(2)

Kürzeste Pfadalgorithmen

Übersicht

1 Kürzeste Pfade

2 Single-Source Shortest Path Bellman-Ford

Dijkstra

3 All-Pairs Shortest Paths Transitive Hülle

Algorithmus von Warshall Der Algorithmus von Floyd

0am .⇒€oe \

in ¹ ^a ^Prim ^"

gieig

^"

O

(

Nl ^.

log

^Nl ⁺

LED

(3)

Kürzeste Pfadalgorithmen Kürzeste Pfade

Übersicht

1 Kürzeste Pfade

2 Single-Source Shortest Path Bellman-Ford

Dijkstra

3 All-Pairs Shortest Paths Transitive Hülle

Algorithmus von Warshall Der Algorithmus von Floyd

(4)

Das Rechenproblem: kürzeste Pfade

(5)

Das Rechenproblem: kürzeste Pfade

(6)

Andere Rechenprobleme: kürzester Weg

Beispiel (kürzester Weg)

Eingabe: 1. Eine Straßenkarte, auf der der Abstand zwischen jedem Paar benachbarter Kreuzungen eingezeichnet ist, 2. eine Startkreuzung s , und

3. eine Zielkreuzung t.

Ausgabe: Der kürzeste Weg von s nach t.

:

in

(7)

Kürzeste Pfade

Gegeben sei ein (kanten-)gewichteter Graph G = (V , E , W ).

Das Gewicht eines Pfades ist die Summe der Gewichte seiner Kanten. Ein kürzester Pfad von einem Knoten s œ V zu einem anderen Knoten v œ V ist ein Pfad von s nach v mit minimalem Gewicht.

Sei im Folgenden ” : (V ◊ V ) æ ( R ﬁ { +inf} ) eine Funktion, sodaß:

I ”(s , v) ist das Gewicht des kürzesten Pfades von s nach v , und

I ”(s , v) = +inf gdw. v von s nicht erreichbar ist.

W

:E→1R

/

(8)

Kürzeste Pfade

Gegeben sei ein (kanten-)gewichteter Graph G = (V , E , W ).

Das Gewicht eines Pfades ist die Summe der Gewichte seiner Kanten.

Ein kürzester Pfad von einem Knoten s œ V zu einem anderen Knoten v œ V ist ein Pfad von s nach v mit minimalem Gewicht.

Sei im Folgenden ” : (V ◊ V ) æ ( R ﬁ { +inf} ) eine Funktion, sodaß:

I ”(s , v) ist das Gewicht des kürzesten Pfades von s nach v , und

I ”(s , v) = +inf gdw. v von s nicht erreichbar ist.

0-7>01,0-22,0

÷

(9)

Kürzeste Pfade

Gegeben sei ein (kanten-)gewichteter Graph G = (V , E , W ).

Das Gewicht eines Pfades ist die Summe der Gewichte seiner Kanten.

Ein kürzester Pfad von einem Knoten s œ V zu einem anderen Knoten v œ V ist ein Pfad von s nach v mit minimalem Gewicht.

Sei im Folgenden ” : (V ◊ V ) æ ( R ﬁ { +inf} ) eine Funktion, sodaß:

I ”(s , v) ist das Gewicht des kürzesten Pfades von s nach v , und

I ”(s , v) = +inf gdw. v von s nicht erreichbar ist.

(10)

Kürzeste Pfade

Gegeben sei ein (kanten-)gewichteter Graph G = (V , E , W ).

Das Gewicht eines Pfades ist die Summe der Gewichte seiner Kanten.

Ein kürzester Pfad von einem Knoten s œ V zu einem anderen Knoten v œ V ist ein Pfad von s nach v mit minimalem Gewicht.

Sei im Folgenden ” : (V ◊ V ) æ ( R ﬁ { +inf} ) eine Funktion, sodaß:

I ”(s , v) ist das Gewicht des kürzesten Pfades von s nach v , und

I ”(s , v) = +inf gdw. v von s nicht erreichbar ist.

s V

o_0

0

U s (

gv )

-÷

(11)

Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t. Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

ie

- -

s - vev tuev

(12)

Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

(13)

Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

#

Bellman

^-

Ford

&

-

pyhstra

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Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

(15)

Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

.

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Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

(17)

Kürzeste Pfade

Es gibt verschiedene Varianten:

I Kürzeste Pfade von einem Startknoten s zu allen anderen Knoten:

Single-Source Shortest Paths (SSSP).

I Kürzeste Pfade von allen Knoten zu einem Zielknoten t.

Lässt sich auf SSSP zurückführen.

I Kürzeste Pfade für ein festes Knotenpaar u, v.

Es ist kein Algorithmus bekannt, der asymptotisch schneller als der beste SSSP-Algorithmus ist.

I Kürzeste Pfade für alle Knotenpaare.

All-Pairs Shortest Paths (zweiter Teil dieser Vorlesung).

o

(18)

Kürzeste Pfadalgorithmen Single-Source Shortest Path

Übersicht

1 Kürzeste Pfade

2 Single-Source Shortest Path Bellman-Ford

Dijkstra

3 All-Pairs Shortest Paths Transitive Hülle

Algorithmus von Warshall Der Algorithmus von Floyd

(19)

Single-Source Shortest Paths

Problem (Single-Source Shortest Path)

Für einen gegebenen Knoten s œ V (die Quelle / source), bestimme für jeden anderen Knoten t œ V , der aus s erreichbar ist, einen kürzesten Pfad von s zu t.

[ ]

(20)

Übersicht

1 Kürzeste Pfade

2 Single-Source Shortest Path Bellman-Ford

Dijkstra

3 All-Pairs Shortest Paths Transitive Hülle

Algorithmus von Warshall Der Algorithmus von Floyd

(21)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v ), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

(22)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v ), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

v_, vz S

(

^s, v_,) =3

sy

'

#

Owe ^oGvd=

^- ^,

0

^to

¥§fIqo_@

^or

^Is ^rays

^.vn

⁾

^. ^s

-2\qj@q%m{ ^5+6,5+16

⁼ ^k^{^^} ^>^.

^D. ^if

^he^,

5( ^s, v

7) Inn _-22-6,2+-3

^.

_k _|k7n _}

⁼ ^- a

(23)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v ), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

(24)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v ), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

(25)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

or Is

_,v

) ^E ^dist [

^v

]

(26)

Der Bellman-Ford Algorithmus

I Kürzeste Pfade bei einem einzigen Startknoten.

I Erlaubt negative Kantengewichte.

I Er zeigt an, ob es einen Zyklus mit negativem Gewicht gibt, der vom Startknoten aus erreichbar ist.

I Falls ein solcher Zyklus gefunden wird, gibt es keine Lösung

I

(da die Gewichte der kürzesten Pfade nicht mehr wohldefiniert sind).

I Sonst verbessert der Algorithmus iterativ für jeden Knoten v eine obere Grenze dist[v] an ”(s , v), bis das Minimum gefunden wird.

I Kürzeste Pfade können nach Terminierung mittels die im Array prev gespeicherten Vorgängerknoten entlang eines kürzesten Pfades konstruiert werden.

o

- ^d

'

-

if prevlsuz ]=v

,

SSSP ^- Baum ^•

\

_,

.

↳

•

y→ .Y

prev Tv _, ]=s

s

↳

_prev Ts

]=

^- ¹

(27)

Bellman-Ford: Idee

I Initialisierung: dist[v]=+inf , dist[start]=0 .

I Für alle Kanten (v , w ) œ E :

I

Relaxierung: Ist das bisher bekannte Gewicht dist[w] größer als dist[v] + W(v,w), dann verbessere dist[w] auf diesen Wert.

I Wiederhole den vorigen Schritt bis sich nichts mehr ändert, bzw. breche ab, falls ein negativer Zyklus gefunden wurde.

Korrektheit vom Bellman-Ford Algorithmus

Wenn nach | V |≠ 1 Iterationen noch Verbesserungen möglich sind, dann gibt es einen negativen Zyklus. Andernfalls dist[v] = ”(s, v ) für alle v œ V .

Beweis.

Beweisidee: Ein Pfad ohne Zyklen in (V , E , W ) hat eine Länge 6 | V |≠ 1.

5 (

^s ^,v

)

^E ^dist

^Tv ^]

(28)

Bellman-Ford: Idee

I Initialisierung: dist[v]=+inf , dist[start]=0 .

I Für alle Kanten (v , w ) œ E :

I

Relaxierung: Ist das bisher bekannte Gewicht dist[w] größer als dist[v] + W(v,w), dann verbessere dist[w] auf diesen Wert.

I Wiederhole den vorigen Schritt bis sich nichts mehr ändert, bzw. breche ab, falls ein negativer Zyklus gefunden wurde.

Korrektheit vom Bellman-Ford Algorithmus

Wenn nach | V |≠ 1 Iterationen noch Verbesserungen möglich sind, dann gibt es einen negativen Zyklus. Andernfalls dist[v] = ”(s, v ) für alle v œ V .

Beweis.

Beweisidee: Ein Pfad ohne Zyklen in (V , E , W ) hat eine Länge 6 | V |≠ 1.

start V W

• •

f.

WC

v. ^w

)

dist Eu

]

⁺ ^WG ^,w

)

- <

dist

[u]

_dist _I

_w]

÷ _tTw]

^→ ^Passe ^dist

^a)

^an

distIw]=distTu]+W(v=

(29)

Bellman-Ford: Idee

I Initialisierung: dist[v]=+inf , dist[start]=0 .

I Für alle Kanten (v , w ) œ E :

I

Relaxierung: Ist das bisher bekannte Gewicht dist[w] größer als dist[v] + W(v,w), dann verbessere dist[w] auf diesen Wert.

I Wiederhole den vorigen Schritt bis sich nichts mehr ändert, bzw.

breche ab, falls ein negativer Zyklus gefunden wurde.

Korrektheit vom Bellman-Ford Algorithmus

Wenn nach | V |≠ 1 Iterationen noch Verbesserungen möglich sind, dann gibt es einen negativen Zyklus. Andernfalls dist[v] = ”(s, v ) für alle v œ V .

Beweis.

Beweisidee: Ein Pfad ohne Zyklen in (V , E , W ) hat eine Länge 6 | V |≠ 1.

(30)

Bellman-Ford: Idee

I Initialisierung: dist[v]=+inf , dist[start]=0 .

I Für alle Kanten (v , w ) œ E :

I

Relaxierung: Ist das bisher bekannte Gewicht dist[w] größer als dist[v] + W(v,w), dann verbessere dist[w] auf diesen Wert.

I Wiederhole den vorigen Schritt bis sich nichts mehr ändert, bzw.

breche ab, falls ein negativer Zyklus gefunden wurde.

Korrektheit vom Bellman-Ford Algorithmus

Wenn nach | V |≠ 1 Iterationen noch Verbesserungen möglich sind, dann gibt es einen negativen Zyklus. Andernfalls dist[v] = ” (s, v ) für alle v œ V .

Beweis.

Beweisidee: Ein Pfad ohne Zyklen in (V , E , W ) hat eine Länge 6 | V |≠ 1.

(31)

Bellman-Ford in Pseudo-Code

1

bool bellmanFord(List adj[n], int n, int start,

2

int &dist[n], int &prev[n]) {

3

for (int v = 0; v < n; v++) { // für alle Knoten v

4

dist[v] = +inf; // +inf ist initiale Entfernung von start zu v

5

prev[v] = -1; // v hat noch kein Vorgänger

6

}

7

dist[start] = 0; // die Entfernung von start zu start ist 0

8

for (int i = 1; i < n; i++) // n-1 Durchläufe

9

for (int v = 0; v < n; v++) // für alle Knoten v

10

foreach (edge in adj[v]) // für jede aus v ausgehende Kante

11

if (dist[edge.target] > dist[v] + edge.weight) {

12

dist[edge.target] = dist[v] + edge.weight;

13

prev[edge.target] = v;

14

} // Relaxierung

15

for (int v = 0; v < n; v++) // für alle Knoten v

16

foreach (edge in adj[v]) // für jede aus v ausgehende Kante

17

if (dist[edge.target] > dist[v] + edge.weight)

18

return false; // es existiert Zyklus mit negativem Gewicht

19

return true;

20

}

I Zeitkomplexität: O(|V | · |E |).

s

.

•V=•W

:

ist LT

]

⁼ ^S

(

start _,v

)

prev speicher

diesen SP ^- Baum

(32)

Bellman-Ford in Pseudo-Code

1

bool bellmanFord(List adj[n], int n, int start,

2

int &dist[n], int &prev[n]) {

3

for (int v = 0; v < n; v++) { // für alle Knoten v

4

dist[v] = +inf; // +inf ist initiale Entfernung von start zu v

5

prev[v] = -1; // v hat noch kein Vorgänger

6

}

7

dist[start] = 0; // die Entfernung von start zu start ist 0

8

for (int i = 1; i < n; i++) // n-1 Durchläufe

9

for (int v = 0; v < n; v++) // für alle Knoten v

10

foreach (edge in adj[v]) // für jede aus v ausgehende Kante

11

if (dist[edge.target] > dist[v] + edge.weight) {

12

dist[edge.target] = dist[v] + edge.weight;

13

prev[edge.target] = v;

14

} // Relaxierung

15

for (int v = 0; v < n; v++) // für alle Knoten v

16

foreach (edge in adj[v]) // für jede aus v ausgehende Kante

17

if (dist[edge.target] > dist[v] + edge.weight)

18

return false; // es existiert Zyklus mit negativem Gewicht

19

return true;

20

}

I Zeitkomplexität: O(|V | · |E |).

(33)

Bellman-Ford – Beispiel

0 Œ

Œ Œ

Œ

Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15 y y ^dist

[ 5k¥ ^dist ^[

^.^.

^]

=P

stt

(34)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 Œ Œ

Œ

Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15 preu ID

^=s

a V S

(35)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 Œ Œ

6 Œ

Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(36)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 Œ Œ

6 Œ

Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(37)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 Œ

6 Œ

Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(38)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 Œ

6

24 Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(39)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 Œ

6

24 Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(40)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 27

6

24 Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(41)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 27

6

24 Œ Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(42)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(43)

Bellman-Ford – Beispiel

0

14 18 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(44)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 18 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15 relaxiemng

(45)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 18 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(46)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 18 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(47)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 17 27

6

24 15 Œ

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(48)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 17 27

6

24 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(49)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 17 27

6

24 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(50)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 17 27

6

24 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(51)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 17 27

6

24 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(52)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 27

6

24 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(53)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 27

6

19 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(54)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 27

6

19 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(55)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(56)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 15 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(57)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 10 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(58)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 10 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(59)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 10 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(60)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 13 22

6

19 10 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(61)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 30

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(62)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(63)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(64)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(65)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(66)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 22

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(67)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(68)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 10 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(69)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 9 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(70)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 9 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(71)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 9 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(72)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 12 21

6

19 9 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(73)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 25

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(74)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(75)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(76)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(77)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(78)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 21

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(79)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(80)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 9 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(81)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 8 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(82)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 8 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(83)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 8 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(84)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 11 20

6

19 8 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(85)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 10 20

6

19 8 24

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(86)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 10 20

6

19 8 23

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(87)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 10 20

6

19 8 23

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(88)

Bellman-Ford – Beispiel

0

9 10 20

6

19 8 23

14

6

4

10

9 -12 3

3 8

2

15

(89)

Theorem ( ^komektheit ^BF Algorithms ⁾

a.

Falls G Kaine Zyklen ^Mit negation ^Gewicht

eneichbar

^ons

SEV ^hat

_,

^damn ergibt ^den

Algorithms

^"

^the

^"

^und ^dist ^[v]= ^JCS ^,v )

fit all ^ve ^✓ ^and ^der Vozoingerteilgrgsh

prev ^ist ein Baum teurzeste Pfade Mit

Wurzel _s

.

b. Falls G ^hat neg

^.

Zyklen ^eneiclba

^ours

^S

^,

damn ezibt ^sicb ^" ^false ^"

^.

÷

eveis ( ^skizne ) ^:

a .

Nehme _as kein eneichban negative ^Zyklen

n

^.

wivzeigh ^dist [v]=5( ^s ^,v ⁾ ^beiteminie

mng

^.

Sei ^Vans ^s erreichbar and

p= ( _Vo

_,

₄

_, . - - . - - . .

,

Uk >

- in

=s

=✓

eiies azyklischenkurtesth ^Pfad

^von ^s

had v

^.

( Beni pexistiet _wegen ^Annohme )

(90)

Es folgt ^k ^E ^IVI

^-

^T

^,

^da p azyklisch

Jede ^der ^NI

^- ¹

^Iteration

^en

^der ^for ^Schleife

in den Zeier _11-73 relaxiet alle IEI Kates

.

Indo i

^-

te Iteration aneh vi.

,

→

Y

^.

Do

peinknr2estePfadist.giltiLdsth-distFvkJ-sCs.uk3-frCs@WennsYv.dannfo1gtdistLvT-D-sCs.v

)

2

.

Die Tatsache

,

dap prev ^ein ^Barm ^enthelt

Mit wurzels ^and

^nur

^kiirzeste ^Pfede

_,

fast

des 1

^-

+ die

Einfigwyesihprevimadeb

.

Sei Z= ( _Vo

,

. . .

;Vk ⁾ ^einen ^negative ^Zyklus

emeichb

^-

^and _s

.

Also

± ^Z i.

,

^WCV ^...

^,

^,y

^.

⁾ ^< ⁰

Widerspmchsbeweis

^.

^Nehme

^, ^an ^,

^DF gibt

3

the ^" ( ^stall

^"

^false

^'

) zurich

.

(91)

Wenn ^BF

^"

^the

^"

liefet

_;

(* ) ^dist ^Tv ;] ^E ^dist ^[ vi.

,

] ⁺ W ( _vi.

_,

_,ui )

Vociek

Summioesiuber Zykhis ^Z

⁼

^Go

^. ^...

^vk ⁾

^,

k ^he k

I ^dist ^To _;] ^E 2- ^dist ^[ ^vi.

^,

^] ⁺ I ^War

^,

,v ;)

it i=

,

= i.

_,

÷

^.

^Idt

^...

⁺ ^dist ^{Turk ]}

=

dist Tvk ]

k

§g ^dist ^Tv ^;] Ê §g ^dist Îi ^] ⁺ Ê ^Wlvi

^. ^,

^,v ;)

E in

# ^Widerspmch

|o

e KIZ

,

W( vi.

,

,vi ) ^zur

- Annahme

_,

dap ^Z

negativist

(92)

Übersicht

1 Kürzeste Pfade

2 Single-Source Shortest Path Bellman-Ford

Dijkstra

3 All-Pairs Shortest Paths Transitive Hülle

Algorithmus von Warshall Der Algorithmus von Floyd

(93)

Dijkstras Algorithmus

Annahme

Kantengewichte sind nicht-negativ, d. h. W (v , w ) > 0 für all (v, w ) œ E .

I Also: Kürzeste Pfade enthalten keine Zyklen.

Edsger Wybe Dijkstra (1930-2002), Turing Award 1972

IS ^- IS

f ^F os€)

-

EWD ⁰ ^. ^. ^- ^.

goto

^considered ^harmful

Tgsg

^: ^MST ^, ^SSSP

1 ^- ¹⁰ + ^^

DNF

Dykstra

^front

_semaphores

Volkswagen

^bus

Algol

⁶⁰

=

tinny

^machine

Tule

_, ^Austin

- -

.

(94)

Dijkstras Algorithmus: Übersicht

Wie beim Algorithmus von Prim ordnen wir die Knoten in drei Kategorien:

Baumknoten: Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind.

Randknoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum.

Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten.

Grundkonzept:

I Kein Knoten außerhalb des Baumes hat einen kürzeren Pfad als die Knoten im Baum.

I Jedem Knoten v ist ein Wert dist[v] zugeordnet. Dieser Wert ist:

I

für Baumknoten dist[v] = ”(s, v);

I

für Randknoten das Minimum der Gewichte aller Pfade vom Startknoten zu v, wobei die letzte Kante im Schnitt liegt;

I

für ungesehenen Knoten +inf.

"

gierige

^"

strategic

inkremestelle ^Barm konstnktsvn .

#\⇐•←r

• ^.

•

* # ⇐

(95)

Dijkstras Algorithmus: Übersicht

Wie beim Algorithmus von Prim ordnen wir die Knoten in drei Kategorien:

Baumknoten: Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind.

Randknoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum.

Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten.

Grundkonzept:

I Kein Knoten außerhalb des Baumes hat einen kürzeren Pfad als die Knoten im Baum.

I Jedem Knoten v ist ein Wert dist[v] zugeordnet. Dieser Wert ist:

I

für Baumknoten dist[v] = ”(s, v);

I

für Randknoten das Minimum der Gewichte aller Pfade vom Startknoten zu v, wobei die letzte Kante im Schnitt liegt;

I

für ungesehenen Knoten +inf.

(96)

Dijkstras Algorithmus: Übersicht

Wie beim Algorithmus von Prim ordnen wir die Knoten in drei Kategorien:

Baumknoten: Knoten, die Teil vom bis jetzt konstruierten Baum sind.

Randknoten: Nicht im Baum, jedoch adjazent zu Knoten im Baum.

Ungesehene Knoten: Alle anderen Knoten.

Grundkonzept:

I Kein Knoten außerhalb des Baumes hat einen kürzeren Pfad als die Knoten im Baum.

I Jedem Knoten v ist ein Wert dist[v] zugeordnet. Dieser Wert ist:

I

für Baumknoten dist[v] = ”(s, v);

I

für Randknoten das Minimum der Gewichte aller Pfade vom Startknoten zu v, wobei die letzte Kante im Schnitt liegt;

I

für ungesehenen Knoten +inf.

T.se#a

(97)

Dijkstras Kürzeste-Wege-Algorithmus – Grundgerüst

1

// ungerichteter Graph G mit n Knoten

2

void dijkstraSP(Graph G, int n) {

3

initialisiere alle Knoten als ungesehen (WHITE);

4

markiere s als Baum (BLACK) und setze d(s, s) = 0;

5

reklassifiziere alle zu s adjazenten Knoten als Rand (GRAY);

6

while (es gibt Randknoten) {

7

wähle von allen Kanten zwischen einem Baumknoten t und

8

einem Randknoten v mit minimalem d(s, t) + W (t, v);

9

reklassifiziere v als Baum (BLACK);

10

füge Kante (t, v) zum Baum hinzu;

11

setze d(s, v ) = d(s, t) + W (t, v);

12

reklassifiziere alle zu v adjazenten ungesehenen Knoten

13

mit Rand (GRAY);

14

}

15

}

Unterschiede zu Prim’s Algorithmus sind in rot gekennzeichnet.

⇐ IE

.I€*¥

s

•

(98)

Dijkstras Kürzeste-Wege-Algorithmus – Beispiel

0 Œ

Œ

Œ Œ

Œ 14

6 10 55

33

44

88

2 15 15 99

start

.

(99)

Dijkstras Kürzeste-Wege-Algorithmus – Beispiel

0

14

6

10 Œ

5 Œ

Œ 14

6 10 55

33

44

88

2 15 15 99

go IF ^- ^•

as

m

(100)

Dijkstras Kürzeste-Wege-Algorithmus – Beispiel

0

14

6

10

7 5 14

Œ 14

6 10 55

33

44

88

2 15 15 99

(101)