Quantentheorie I 7.8.2021

Quantentheorie I

7.8.2021 Photonen und Wärmestrahlung

Planksches Wir- kungsquantum

ℎ = 6,626 ∙ 10

⁻³⁴

𝐽𝑠 Reduz. Wir- kgsquantum: ℏ = ℎ

2𝜋 Ener-

gie: 𝐸

_{𝑝ℎ𝑜𝑡𝑜𝑛}

= ℎ𝑓 = ℏ𝜔 = 𝑝𝑐 Im- puls: 𝑝 =

^𝐸

𝑐

=

^ℎ𝑓

𝑐

=

^ℏ𝜔

𝑐

= ℏ𝑘 =

^ℎ

2𝜋 2𝜋

𝜆

=

^ℎ

𝜆

[ℎ] = [𝑊𝑖𝑟𝑘𝑢𝑛𝑔] = [𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 ∙ 𝑍𝑒𝑖𝑡] = [𝐼𝑚𝑝𝑢𝑙𝑠 ∙ 𝐿𝑎̈𝑛𝑔𝑒] = [∫ 𝐿 𝑑𝑡]; L… Lagrange-Funktion

Spektrale

Energiedichte ε(𝜔) =

^𝑑𝐸

𝑑𝑉 𝑑𝜔

= 〈𝐸〉 n(𝜔) Moden- dichte : n(𝜔) =

¹

𝑉 𝑑 N(𝜔)

𝑑𝜔

=

^𝜔2

𝜋²𝑐³

; n(𝑓) =

^8𝜋𝑓

𝑐³

… Dichte alle Moden ≤ 𝜔 bzw. ≤ 𝑓 Rayleigh-Jeans

(nur für kleine Frequenzen):

Bolzmannverteilung

Wahrsch.dichte: p(𝐸; 𝛽) =

^{𝑒−𝛽𝐸}

∫_−∞^∞𝑒^{−𝛽𝐸′}𝑑𝐸^′

; 𝛽 =

¹

𝑘𝐵𝑇

Erwartungs-

wert Energie 〈𝐸〉 = ∫ 𝐸 p(𝐸; 𝛽) 𝑑𝐸

₀^∞

= 𝑘

_𝐵

𝑇 ⟹ ε

𝑅𝐽

(𝜔) = 〈𝐸〉 n(𝜔) = 𝑘

𝐵

𝑇

^𝜔2

𝜋²𝑐³

ε

𝑅𝐽

(𝑓) = 𝑘

𝐵

𝑇 n(𝑓) = 𝑘

𝐵

𝑇

^8𝜋𝑓

𝑐³

Wiensch’es Ge-

setz f. große ω ε

𝑤

(𝜔) = 𝐴𝜔

³

𝑒

^−𝜌𝜔

Aus ε

_𝑝𝑙

(𝜔 → ∞): 𝐴 =

_𝜋^ℏ𝜔_2𝑐³₃

; 𝜌 =

^ℏ

𝑘_𝐵𝑇

Wiensches versch.ges.

𝜔_𝑚𝑎𝑥

𝑘𝐵𝑇

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡; λ

𝑚𝑎𝑥

(𝑇) =

^𝐶𝑤

𝑇

; 𝐶

𝑤

= 2,898 𝑚𝑚 ∙ 𝐾

Planck’sches Strahlungsges.

Bose-Einstein Wahrsch.

pro diskreter Energie P

𝑛

(𝐸

𝑛

; 𝛽) =

_∑^{𝑒−𝛽𝐸𝑛}

𝑒^{−𝛽𝐸𝑛}

∞𝑛=0

; 𝛽 =

¹

𝑘_𝐵𝑇

; 𝐸

𝑛

= ℏ𝜔𝑛 Erwartungs

wert Energie 〈𝐸〉 = ∑

^∞_𝑛=0

E

_𝑛

P

_𝑛

=

^ℏ𝜔

𝑒ℏ𝜔/(𝑘𝐵𝑇)−1

⟹ ε

𝑝𝑙

(𝜔) = 〈𝐸〉 n(𝜔) =

^ℏ𝜔3

𝜋²𝑐³ 1 𝑒ℏ𝜔/(𝑘𝐵𝑇)−1

Verschränkung

|𝛹⟩ = 𝛼

₁

|11⟩ + 𝛼

₂

|10⟩ + 𝛼

₃

|01⟩ + 𝛼

₄

|00⟩ = 𝛼

₁

( 1 0

0 0 ) + 𝛼

₂

( 0 1

0 0 ) + 𝛼

₃

( 0 0

1 0 ) + 𝛼

₄

( 0 0

0 1 ) = ( 𝛼

₁

𝛼

₂

𝛼

₃

𝛼

₄

) Wenn det(( 𝛼

1

𝛼

2

𝛼

3

𝛼

4

)) = 𝛼

1

𝛼

4

− 𝛼

2

𝛼

3

≠ 0 ⇒ vollst. bestimmt; verschränkt. Wenn 𝛼

1

𝛼

4

− 𝛼

2

𝛼

3

= 0 ⇒ nicht verschränkt Materiewellen

De-Broglie, klassisch

𝜆 =

^ℎ

𝑝

=

^ℎ

𝑚𝑣

=

^ℎ

√𝑚𝑚𝑣²

=

^ℎ

√2𝑚¹₂𝑚𝑣²

=

^ℎ

√2𝑚𝐸_𝑘𝑖𝑛

𝑣

𝑝ℎ

=

^𝜔

𝑘

=

^𝐸𝑘

ℏ𝑘

=

^𝑝2

2𝑚ℏ𝑘

=

^ℏ𝑘

2𝑚

; 𝑣

𝐺

=

^𝑑𝜔

𝑑𝑘

=

^ℏ𝑘

𝑚

𝑝 = ℏ𝑘 𝑘 =

^2𝜋

𝜆

𝐸

𝐾

=

^𝑝2

2𝑚

relati- vistisch

ℏ𝜔 = 𝐸 = 𝑚𝑐

²

= 𝛾𝑚

0

𝑐

²

ℏ𝑘 =

^ℎ

𝜆

= 𝑝 = 𝑚𝑣 = 𝛾𝑚

0

𝑣 𝜆 =

^ℎ

𝑝

; 𝑣 = 𝑐√1 − (

^𝐸0

𝐸0+𝐸_𝑘𝑖𝑛

)

²

𝑝 =

¹

𝑐

√2𝐸

0

𝐸

_𝑘𝑖𝑛

+ 𝐸

_𝑘𝑖𝑛²

Schrödingergleichung

Allgemein (1D):

𝐸̂ 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐻 ̂ 𝛹(𝑥, 𝑡) |𝐸̂ = 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

, 𝑤𝑒𝑖𝑙: 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝐴𝑒

^{𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)}

= ℏ𝜔𝛹 = 𝐸𝛹 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐻 ̂ 𝛹(𝑥, 𝑡)|𝐻 ̂ = 𝐸̂

_𝑘𝑖𝑛

= −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

, 𝑤𝑒𝑖𝑙: −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

𝐴𝑒

^{𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)}

=

^ℏ2𝑘2

2𝑚

𝛹 =

^𝑝2

2𝑚

𝛹 =

^𝑚2𝑣2

2𝑚

𝛹 =

^𝑚𝑣2

2

𝛹 = 𝐸

_𝑘𝑖𝑛

𝛹 ⇒ Freies Teilchen 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝛹(𝑥, 𝑡) = −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

𝛹(𝑥, 𝑡) mit Potential: 𝐻 ̂ = 𝐸̂

_𝑘𝑖𝑛

+ 𝐸̂

_𝑝𝑜𝑡

= −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

+ V(𝑥) ⇒ Teilch. im Pot. 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝛹(𝑥, 𝑡) = (−

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

+ V(𝑥)) 𝛹(𝑥, 𝑡) im konservativen System: 𝐸 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⇒ 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝜙(𝑥) 𝑒

^{−𝑖𝜔𝑡}

⇒ stationär 𝐸 𝜙(𝑥) = (−

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

+ V(𝑥)) 𝜙(𝑥) ; 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝜙(𝑥) 𝑒

^{−𝑖𝜔𝑡}

3D-Gleichung 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝛹(𝑟⃗, 𝑡) = [−

^ℏ2

2𝑚

(

^𝜕2

𝜕𝑥²

+

^𝜕2

𝜕𝑦²

+

^𝜕2

𝜕𝑧²

) + V(𝑟⃗)] 𝛹(𝑟⃗, 𝑡) = [−

^ℏ2

2𝑚

∆ + V(𝑟⃗)] 𝛹(𝑟⃗, 𝑡)

N Teilchen 𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑡

𝛹(𝑟⃗

1

, 𝑟⃗

2

, … , 𝑟⃗

𝑛

, 𝑡) = [∑ (−

^ℏ2

2𝑚

∆

⏟

𝐸_𝑘𝑖𝑛

+ V ⏟

1

(𝑟⃗

𝑖

)

𝐸_𝑝𝑜𝑡^𝑒𝑥𝑡

) +

¹

2

∑

^𝑁𝑖,𝑗,𝑖≠𝑗

V

2

(𝑟⃗

𝑖

− 𝑟⃗

𝑗

)

⏟

𝐸𝑝𝑜𝑡 𝑇𝑒𝑖𝑙𝑐ℎ𝑒𝑛−𝑊𝑊

𝑁𝑖=1

] 𝛹(𝑟⃗, 𝑡)

Anschluss- bedingungen

Potentialstufe bei 𝑥

₀

: (1) 𝜙(𝑥

₀⁻

) = 𝜙(𝑥

0+

) ; (2) 𝜙

^′

(𝑥

0−

) = 𝜙

^′

(𝑥

0+

)

Delta-Potential 𝑉

0

δ(𝑥 − 𝑥

0

): (1) 𝜙(𝑥

₀⁻

) = 𝜙(𝑥

0

) = 𝜙(𝑥

0+

) ; (wenn 𝑉

0

< 0: „attraktives Delta-Potential“) (2) lim

𝜀→0

∫

_𝑥^𝑥0+𝜀

𝐸 𝜙(𝑥) 𝑑𝑥

0−𝜀

= lim

𝜀→0

∫ (−

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

+ 𝑉

0

δ(𝑥 − 𝑥

0

)) 𝜙(𝑥) 𝑑𝑥

𝑥₀+𝜀

𝑥0−𝜀

⇒ 𝜙

^′

(𝑥

0+

) − 𝜙

^′

(𝑥

0−

) =

^2𝑚

ℏ²

𝑉

0

𝜙(𝑥

0

)

Eigenschaften

 SG ist partielle DGL

 SG ist linear in 𝛹, d.h. 𝛹 kommt nur in erster Potenz vor ⟹ Superpositionsprinzip anwendbar. Beliebige Linearkombinationen von Lösungen der SG sind wieder Lösungen der SG.

 SG ist eine homogene DGL, d.h. es ist kein Term vorhanden, der nicht mit 𝛹 behaftet wäre

 Keine Aussage über die Amplitude. Normierung notwendig.

 allg. SG ist parabolische partielle DGL, d.h. B

²

− 4𝐴𝐶 = 0 für DGL 𝐴𝛹

_𝑥𝑥

+ 𝐵𝛹

_𝑥𝑡

+ 𝐶𝐴𝛹

_𝑡𝑡

+ 𝐷𝐴𝛹

_𝑥

+ 𝐸𝛹

_𝑡

+ 𝐹𝛹 = 0

 stationäre SG ist elliptische partielle DGL, dh. B

²

− 4𝐴𝐶 < 0 Gaußsches Wellenpaket

Ansatz 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴

¹

√2𝜋

∫

_−∞^∞

𝑒

^{𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)}

𝑒

^{−(𝑘−𝑘0)2𝑑2}

𝑑𝑘 |𝜔 =

^𝐸

ℏ

=

^𝑝2

2𝑚ℏ

=

^ℏ2𝑘2

2𝑚ℏ

=

^ℏ𝑘2

2𝑚

⇒ 𝛹(𝑥, 𝑡) = 𝐴

¹

√2𝜋

∫ 𝑒

^{𝑖(𝑘𝑥−}

ℏ𝑘2 2𝑚𝑡)

𝑒

^{−(𝑘−𝑘0)2𝑑2}

𝑑𝑘

∞

−∞

Lösung 𝛹(𝑥, 𝑡) =

^𝐴

√𝑖_𝑚^ℏ𝑡+2𝑑²

𝑒

−𝑘₀²𝑑²+^(𝑖 𝑥 2+𝑘0𝑑2)2 𝑖ℏ

2𝑚𝑡+𝑑2

; |𝛹(𝑥, 𝑡)|

²

=

^𝐴2

√2𝜋𝑑²(1+∆²)

𝑒

⁻2𝑑2𝑑2(1+∆2)^{(𝑥−𝑣0𝑡)2}

; 𝑣

0

=

^ℏ𝑘0

𝑚

; ∆=

^ℏ𝑡

2𝑚𝑑²

Eigenschaften 〈𝑥〉

_𝑡

= ⟨𝜙|𝑥|𝜙⟩ = 𝑣

0

𝑡; 〈𝑝〉

𝑡

= ⟨𝜙|𝑝|𝜙⟩ = ℏ𝑘

0

= 𝑝

0

= 𝑚𝑣

0

= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ;

𝑣

_𝑔

=

^𝑑𝜔

𝑑𝑘

=

^𝑑

𝑑𝑘 ℏ𝑘² 2𝑚

=

^ℏ𝑘

𝑚

= 𝑣

_𝑔

(𝑘) ; 𝑣

𝑝ℎ

=

^𝜔

𝑘

=

¹

𝑘 ℏ𝑘² 2𝑚

=

^ℏ𝑘

2𝑚

=

^{𝑣𝑝ℎ(𝑘)}

2

< 𝑣

_𝑝ℎ

(𝑘)

Korrespondenz-Identitäten (Operatoren), Erwartungswerte und Eigenfunktionen

Sei A irgendeine mit Quantenunschärfe behaftete quantenphysikalische Messgröße („Observable“), z.B. Ort oder Impuls.

Erwartungswert 〈𝐴〉 =

¹

𝑛

∑

^𝑛_𝑛=1

𝐴

_𝑖

(Der Erwartungswert <A> ist der zu erwartende Mittelwert bei wiederholter Messung.) Operatoren 𝐴̂ 〈𝐴〉 = ⟨𝛹|𝐴̂|𝛹⟩ = ∫

_{𝐵𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ}

𝛹

^∗

𝐴̂ 𝛹 𝑑𝜏 (𝐴̂… Operator von 𝐴)

Korrespondenz- Identitäten (Operatoren)

Observable Operator 1-dimensional Operator 3-dimensional

Ortsvektor 𝑟⃗ bzw. Koordinate 𝑥 𝑥̂ = 𝑥 𝑟⃗̂ = 𝑟⃗

Potentielle Energie 𝐸

_𝑝𝑜𝑡

𝐸̂

𝑝𝑜𝑡

= 𝐸

𝑝𝑜𝑡

(𝑥) = V ̂(𝑥) 𝐸̂

𝑝𝑜𝑡

= 𝐸

𝑝𝑜𝑡

(𝑟⃗) = V ̂(𝑟⃗) kinetische Energie 𝐸

_𝑘𝑖𝑛

𝐸̂

𝑘𝑖𝑛

= −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

𝐸̂

𝑘𝑖𝑛

= −

^ℏ2

2𝑚

∆ Gesamtenergie 𝐸 = 𝐸

_𝑘𝑖𝑛

+ 𝐸

_𝑝𝑜𝑡

𝐻 ̂ = 𝑉̂ −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

(Hamilton-Operator 1D) 𝐻 ̂ = 𝑉̂ −

^ℏ2

2𝑚

∆ (Hamilton-Operator 3D)

Impuls 𝑝 bzw. 𝑝⃗ 𝑝̂ = −𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝑥

=

^ℏ

𝑖

𝜕

𝜕𝑥

𝑝⃗̂ = −𝑖ℏ∇ ⃗⃗⃗=

^ℏ

𝑖

∇ ⃗⃗⃗

Drehimpuls 𝐿 ⃗⃗ z-Komponente von 𝐿 ⃗⃗ : 𝐿̂

𝑧

= −𝑖ℏ

^𝜕

𝜕𝜑

𝐿 ⃗⃗̂ = −𝑖ℏ(𝑟⃗̂ × ∇⃗⃗⃗) = −𝑖ℏ (𝑒⃗

𝜑

𝜕

𝜕𝜗

− 𝑒⃗

_𝜗 ¹

sin(𝜗)

𝜕

𝜕𝜑

) Drehimpulsquadrat 𝐿 ⃗⃗

²

𝐿 ⃗⃗̂

²

= 𝐿̂

2𝑥

+ 𝐿̂

2𝑦

+ 𝐿̂

2𝑧

= −ℏ

²

[

¹

sin(𝜗)

𝜕

𝜕𝜗

(sin(𝜗)

^𝜕

𝜕𝜗

) +

¹

sin²(𝜗)

𝜕²

𝜕𝜑²

] Mittlere quadr.

Schwankung 〈𝐴

²

〉 =

¹

𝑛

∑

^𝑛_𝑛=1

(𝐴

𝑖

− 〈𝐴〉) = 𝐴̂

²

𝛹 = ∫ 𝛹

^∗

𝐴̂

²

𝛹 𝑑𝜏 Unschärfe: ∆𝐴 = √〈𝐴

²

〉 − 〈𝐴〉

²

Wahrscheinlich

keitsdichte: 𝑑 P(𝑥, 𝑡) = ρ(𝑥, 𝑡) = ||𝛹(𝑥, 𝑡)⟩|

²

= 𝛹(𝑥, 𝑡) 𝛹

^∗

(𝑥, 𝑡) Wahrsch. dass

Teilch in (a,b): P(𝑥, 𝑡) = ⟨𝛹

^∗

|𝛹⟩; ∫ ||𝛹⟩|

²

𝑑𝑥

𝑏 𝑎

; ∫ ||𝛹⟩|

²

𝑑𝑥

+∞

−∞

= 1

Eigenfunktion, Eigenwert

Wenn gilt: 𝐴̂𝛹 = 𝐴𝛹 ⇔ ∫ 𝛹

^∗

𝐴̂ 𝛹 𝑑𝜏 = 𝐴 ∫ 𝛹

^∗

𝛹 𝑑𝜏, dann ist 𝐴̂ eine Eigenfunktion und 𝐴 ein Eigenwert.

Es gilt: 〈𝐴〉 = 𝐴; 〈𝐴

²

〉 − 〈𝐴〉

²

= 0; d.h. die mittlere quadr. Schwankung von A=0, man misst immer denselben Wert von A.

Haben Operatoren 𝐴̂ und 𝐵̂ zu den Größen A und B dieselbe Eigenfunktion 𝜙, dann lassen sich die Größen 𝐴 und 𝐵 am Teilchen mit der Wellenfunktion 𝛹 gleichzeitig scharf messen. Die Operatoren sind vertauschbar. Es gilt: 𝐴̂𝐵̂𝛹 = 𝐵̂𝐴̂𝛹.

Fourier-Transformationen Hier: Konvention Faktor

¹

√2𝜋

bei Hin- und Rücktrafo. Etwas schlüssiger bei 𝛿-Funktion wäre Faktor 1 bei Hin- und

¹

2𝜋

bei Rücktransformation.

𝑘-Raum,

stationär, 1D 𝜙̃(𝑘) =

¹

√2𝜋

∫

_−∞^∞

𝜙(𝑥) 𝑒

^{−𝑖𝑘𝑥}

𝑑𝑥 Rücktrafo: 𝜙(𝑥) =

¹

√2𝜋

∫

_−∞^∞

𝜙̃(𝑘) 𝑒

^{+𝑖𝑘𝑥}

𝑑𝑘 𝑘

³

-Raum,

stationär, 3D 𝜙̃(𝑘⃗⃗) =

¹

√2𝜋³

∭ 𝜙(𝑟⃗) 𝑒

_ℝ3 ^{−𝑖𝑘⃗⃗∙𝑟⃗}

𝑑𝑟⃗ Rücktrafo: 𝜙(𝑟⃗) =

¹

√2𝜋³

∭ 𝜙̃(𝑘 ⃗⃗) 𝑒

^{+𝑖𝑘⃗⃗∙𝑟⃗}

𝑑𝑘 ⃗⃗

𝑘³

𝑘, 𝜔-Raum,

zeitabh., 1D 𝛹 ̃(𝑘, 𝜔) =

¹

√2𝜋

∫

_−∞^∞

∫

_−∞^∞

𝛹(𝑥, 𝑡) 𝑒

^{−𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)}

𝑑𝑥 𝑑𝑡 Rücktrafo: 𝛹(𝑥, 𝑡) =

¹

√2𝜋

∫

_−∞^∞

∫

_−∞^∞

𝛹 ̃(𝑘, 𝜔) 𝑒

^{+𝑖(𝑘𝑥−𝜔𝑡)}

𝑑𝑘 𝑑𝜔 𝑘

³

, 𝜔-Raum,

zeitabh., 3D 𝛹 ̃(𝑘⃗⃗, 𝜔) =

¹

√2𝜋³

∫

_−∞^∞

∭ 𝛹(𝑟⃗, 𝑡) 𝑒

_ℝ3 ^{−𝑖(𝑘⃗⃗∙𝑟⃗−𝜔𝑡)}

𝑑𝑟⃗ 𝑑𝑡 Rücktrafo: 𝛹(𝑟⃗, 𝑡) =

¹

√2𝜋³

∫ ∭ 𝛹 ̃(𝑘⃗⃗, 𝜔) 𝑒

^{+𝑖(𝑘⃗⃗∙𝑟⃗−𝜔𝑡)}

𝑑𝑘 ⃗⃗

𝑘³

𝑑𝜔

∞

−∞

𝑝-Raum,

stationär, 1D 𝜙̃(𝑝) =

¹

√2𝜋ℏ

∫

_−∞^∞

𝜙(𝑥) 𝑒

^{−𝑖𝑝ℏ𝑥}

𝑑𝑥 Rücktrafo: 𝜙(𝑥) =

¹

√2𝜋ℏ

∫

_−∞^∞

𝜙̃(𝑝) 𝑒

^{+𝑖𝑝ℏ𝑥}

𝑑𝑝 𝛿-Funktion 1D

_√2𝜋¹

=

¹

√2𝜋

∫

^∞

𝛿(𝑥 − 𝑥

0

)

−∞

𝑒

^{−𝑖𝑘(𝑥−𝑥0)}

𝑑𝑥 Rücktrafo: 𝛿(𝑥 − 𝑥

0

) =

¹

√2𝜋

∫

¹

√2𝜋

∞

−∞

𝑒

^{+𝑖𝑘(𝑥−𝑥0)}

𝑑𝑘 schlüssiger mit

1/

¹

2𝜋

-Konvent. 1 = ∫

_−∞^∞

𝛿(𝑥 − 𝑥

₀

) 𝑒

^{−𝑖𝑘(𝑥−𝑥0)}

𝑑𝑥 Rücktrafo: 𝛿(𝑥 − 𝑥

₀

) =

_2𝜋¹

∫

_−∞^∞

1 ∙ 𝑒

^{+𝑖𝑘(𝑥−𝑥0)}

𝑑𝑘 Transfer- und Streumatrix; Wahrscheinlichkeitsstromdichte

Geg.: Potentialstufe; links Bereich I, rechts Bereich II. Wellenfkt. zweigeteilt: 𝜙

𝐼

(𝑥) = 𝐴𝑒

^{𝜆𝐼𝑘1𝑥}

+ 𝐵𝑒

^{−𝜆𝐼𝑘1𝑥}

; 𝜙

𝐼𝐼

(𝑥) = 𝐶𝑒

^{𝜆𝐼𝐼𝑘2𝑥}

+ 𝐷𝑒

^{−𝜆𝐼𝐼𝑘2𝑥}

flussnorm. 𝜙

𝐼

(𝑥) = 𝐴̃√

_𝑘¹

1

𝑒

^{𝜆𝐼𝑘1𝑥}

+ 𝐵̃√

_𝑘¹

1

𝑒

^{−𝜆𝐼𝑘1𝑥}

; 𝜙

𝐼𝐼

(𝑥) = 𝐶̃√

_𝑘¹

2

𝑒

^{𝜆𝐼𝐼𝑘2𝑥}

+ 𝐷 ̃√

_𝑘¹

2

𝑒

^{−𝜆𝐼𝐼𝑘2𝑥}

⇒ 𝐴 = 𝐴̃√

_𝑘¹

1

; 𝐵 = 𝐵̃√

_𝑘¹

1

; 𝐶 = 𝐶̃√

_𝑘¹

2

; 𝐷 = 𝐷 ̃√

_𝑘¹

2

Transfer-

matrix: ( 𝐴 𝐵 ) = 𝑀 ̳ ( 𝐶

𝐷 ) = ( 𝑀

11

𝑀

12

𝑀

21

𝑀

22

) ( 𝐶

𝐷 ) ⇒ 𝐴 = 𝑀

11

𝐶 + 𝑀

12

𝐷

𝐵 = 𝑀

21

𝐶 + 𝑀

22

𝐷 ⇒ 𝑙ö𝑠𝑒 𝐴 = A(𝐶, 𝐷) = 𝐶𝑀

11

+ 𝐷𝑀

12

𝐵 = B(𝐶, 𝐷) = 𝐶𝑀

21

+ 𝐷𝑀

22

Streu-

matrix (unitär):

( 𝐵 𝐶 ) = 𝑆̳ ( 𝐴

𝐷 ) = ( 𝑆

11

𝑆

12

𝑆

₂₁

𝑆

₂₂

) ( 𝐴

𝐷 ) ⇒ 𝐵 = 𝑆

11

𝐴 + 𝑆

12

𝐷 𝐶 = 𝑆

₂₁

𝐴 + 𝑆

₂₂

𝐷 ⇒ 𝑆̳ = (

𝑀₂₁

𝑀₁₁

𝑀

₂₂

−

^𝑀12𝑀21

𝑀₁₁ 1

𝑀₁₁

−

^𝑀12

𝑀₁₁

) ; 𝑆̳̃ = (

𝑆

11

𝑆

12

√

^𝑘_𝑘¹

2

𝑆

₂₁

√

^𝑘_𝑘²

1

𝑆

₂₂

)

= (√𝑅 √𝑇

^′

√𝑇 √𝑅

^′

)

Wahrscheinl stromdichte

j[𝛹] = Re (𝛹

^{∗ 1}

𝑚

𝑝̂𝛹) = Re (𝛹

^{∗ 1}

𝑚 ℏ 𝑖

𝜕

𝜕𝑥

𝛹) ; 𝑗

_𝑖𝑛

= j[𝐴𝑒

^{𝜆𝐼𝑘𝑥}

] ; 𝑗

_{𝑟𝑒𝑓𝑙}

= j[B(𝐴) 𝑒

^{−𝜆𝐼𝑘𝑥}

] ; 𝑗

_𝑜𝑢𝑡

= j[𝐶𝑒

^{𝜆𝐼𝐼𝑘′𝑥}

] 𝑗

_𝐼

= j[𝐴𝑒

^{𝜆𝐼𝑘𝑥}

+ 𝐵𝑒

^{−𝜆𝐼𝑘𝑥}

] =

^ℏ𝑘_𝑚¹

(|𝐴|

²

− |𝐵|

²

); 𝑗

𝐼𝐼

= j[𝐶𝑒

^{𝜆𝐼𝐼𝑘′𝑥}

+ 𝐷𝑒

^{−𝜆𝐼𝐼𝑘′𝑥}

] =

^ℏ𝑘_𝑚²

(|𝐶|

²

− |𝐷|

²

)

Kontinuitätsbedingung

𝜕𝜌

𝜕𝑡

= −

^𝜕𝑗

𝜕𝑥

⟹ 𝑗 = 𝜌𝑣

T, R

𝑇

_𝑙𝑖

= |

^{𝑗𝑜𝑢𝑡}

𝑗_𝑖𝑛

| =

^|𝐶̃|2

|𝐴̃|²

=

^|𝐶|2

|𝐴|² 𝑘₂ 𝑘₁

=

¹

|𝑀11|² 𝑘₂

𝑘₁

= |𝑆

₂₁

|

^{2 𝑘2}

𝑘₁

𝑅

𝑙𝑖

= |

^{𝑗𝑟𝑒𝑓𝑙}

𝑗_𝑖𝑛

| =

^|𝐵̃|_|𝐴̃|²₂

=

^|𝐵|_|𝐴|²₂

= |𝑆

11

|

²

= |

^𝑀21

𝑀₁₁

|

²

𝑘

1

(|𝐴|

²

− |𝐵|

²

) = 𝑘

2

(|𝐶|

²

− |𝐷|

²

) Verschiebg.

Stufe/δ um L Sei 𝑀 ̳

₀

die Transfermatrix bei 𝑥 = 0, dann ist 𝑀 ̳

_𝐿

= 𝑀 ̳

_−𝐿^𝑘1

𝑀 ̳

₀

𝑀 ̳

_𝐿^𝑘2

; 𝑚𝑖𝑡 𝑀 ̳

_𝐿^𝑘2

= (𝑒

^𝑖𝑘𝐿

0

0 𝑒

^{−𝑖𝑘𝐿}

)

BraKet-Notation

Bra-Vektor: ⟨𝜓| ∈ ℋ

^∗

Ket-Vektor: |𝜓⟩ ∈ ℋ → darstellungsfrei, d.h. keiner Basis zugeordnet! ⟨𝜓| = |𝜓⟩

^†

; |𝜓⟩ = ⟨𝜓|

^†

Eigenschaften von Vektoren in ℋ

ℋ ist ein ∞-dimensionaler Hilbertraum isomorph zu ℂ

^∞

(∞-dimensional: es gibt unendlich viele LU Zustandsvektoren) Für |𝜓

₁

⟩, |𝜓

₂

⟩ ∈ ℋ gilt:

V1: |𝜓

₁

⟩ + (|𝜓

₂

⟩ + |𝜓

₃

⟩) = (|𝜓

₁

⟩ + |𝜓

₂

⟩) + |𝜓

₃

⟩ (Assoziativgesetz) V2: ∃0 ∈ 𝑉: |𝜓⟩ + 0 = 0 + |𝜓⟩ ∀|𝜓⟩ ∈ ℋ (neutrales Element 0) V3: |𝜓⟩ + (−|𝜓⟩) = 0 (inverses Element)

V4: |𝜓

₁

⟩ + |𝜓

₂

⟩ = |𝜓

₂

⟩ + |𝜓

₁

⟩ (Kommutativgesetz) Für |𝜓

₁

⟩, |𝜓

₂

⟩, |𝜓

₃

⟩ ∈ ℋund 𝛼, 𝛽 ∈ ℂ gilt:

S1: 𝛼(|𝜓

₁

⟩ + |𝜓

₂

⟩) = 𝛼|𝜓

₁

⟩ + 𝛼|𝜓

₂

⟩ S2: (𝛼 + 𝛽)|𝜓

1

⟩ = 𝛼|𝜓

₁

⟩ + 𝛽|𝜓

₂

⟩ S3: 𝛼(𝛽|𝜓

₁

⟩) = (𝛼𝛽)|𝜓

₁

⟩

S4: 1 ∙ |𝜓

1

⟩ = |𝜓

1

⟩ (neutrales Element 1)

Skalarprodukt

→ komplexe Zahl

Sesquilinear:

⟨𝜓

₁

|𝛼𝜓

₂

+ 𝛽𝜓

3

⟩ = 𝛼⟨𝜓

₁

|𝜓

₂

⟩ + 𝛽⟨𝜓

₁

|𝜓

₃

⟩ (Linearität im ersten Argument des Skalarprodukts) ⟨𝛼𝜓

₁

+ 𝛽𝜓

₂

|𝜓

₃

⟩ = 𝛼

^∗

⟨𝜓

₁

|𝜓

₃

⟩ + 𝛽

^∗

⟨𝜓

₂

|𝜓

₃

⟩ (Semilinearität im zweiten Argument des Skalarprodukts) ⟨𝜓

₁

|𝜓

₂

⟩ = ⟨𝜓

₂

|𝜓

₁

⟩

^∗

⟨𝜓

₁

|𝜓

₁

⟩ ≥ 0 ∀|𝜓

₁

⟩ ∈ ℋ ⟨𝜓

₁

|𝜓

₁

⟩ = 0 ⟺ |𝜓

₁

⟩ = 0 Schwarz’sche Ungleichung:

|⟨𝜓

₁

|𝜓

₂

⟩|

²

≤ ⟨𝜓

₁

|𝜓

₁

⟩ ∙ ⟨𝜓

₂

|𝜓

₂

⟩ Norm:

‖𝜓

1

‖ = √⟨𝜓

1

|𝜓

1

⟩

Regeln 𝛼 |𝜓

₁

⟩ + 𝛽 |𝜓

₂

⟩ ≙ 𝛼

^∗

⟨𝜓

₁

| + 𝛽

^∗

⟨𝜓

₂

| 𝛼 |𝜓⟩ = |𝛼𝜓⟩ ≙ ⟨𝜓|𝛼

^∗

= ⟨𝛼𝜓|

Operatoren

Entstehen aus äußerem (Tensor)produkt: 𝐴̂ = |𝜑⟩⟨𝜓| = (|𝜓⟩⟨𝜑|)

^†

𝐴̂|𝜓⟩ = |𝐴̂𝜓⟩ → ⟨𝐴̂𝜓| = ⟨𝜓|𝐴̂

^†

(𝐴̂𝐵̂)

^†

= 𝐵̂

^†

𝐴̂

^†

→ 𝐴̂𝐵̂|𝜓⟩ = ⟨𝜓|(𝐴̂𝐵̂)

^†

= ⟨𝜓|𝐵̂

^†

𝐴̂

^†

(𝛼𝐴̂)

^†

= 𝛼

^∗

𝐴̂

^†

⟨𝜑|𝐴̂|𝜓⟩ = ⟨𝐴̂

^†

𝜑|𝜓⟩ = ⟨𝜑|𝐴̂𝜓⟩

⟨𝜑|Â|𝜓⟩

^∗

= ⟨𝜓|Â

^†

|𝜑⟩ Projektionsoperator: 𝑃̂

_{𝑢}

= |𝑢⟩⟨𝑢| → 𝑃̂

_{𝑢}

|𝜓⟩ = |𝑢⟩⟨𝑢|𝜓⟩ = 𝛼|𝜓⟩, analog zu 𝑃

𝑒_𝑥

𝑎⃗ = 𝑒⃗

𝑥

(𝑒⃗

𝑥

∙ 𝑎⃗) Spektraldarst. 𝐴̂ = ∑ 𝐴

_{𝑖 𝑖}

|𝑎

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

| (mit 𝐴

_𝑖

…EW, |𝑎

_𝑖

⟩…EV) Vollst. der Basisprojektoren: ∑ |𝑎

_{𝑖 𝑖}

⟩⟨𝑎

_𝑖

| = 𝟙

Hermitesche Operatoren

𝐴̂

^†

= 𝐴̂ ⟺ 𝐴

𝑛𝑚∗

= 𝐴

𝑚𝑛

⟹ EW 𝜆 ∈ ℝ ⟨𝜓

₁

|(𝐴̂|𝜓

2

⟩)⟩ = ⟨(⟨𝜓

1

|𝐴̂)|𝜓

2

⟩ = ⟨𝜓

₁

|𝐴̂|𝜓

2

⟩ (Klammern unnötig) Messwerte ⟺ EW von Â: 𝐴̂|𝜓⟩ = 𝜆|𝜓⟩ ⟹ ⟨𝜓|Â|𝜓⟩ = 𝜆⟨𝜓|𝜓⟩ ⟹ 𝜆 =

^{⟨𝜓|Â|𝜓⟩}_{⟨𝜓|𝜓⟩}

wenn: ⟨𝜓|𝜓⟩ = 1 ⟹ 𝜆 = ⟨𝜓|Â|𝜓⟩

𝐴̂|𝜓⟩ = 𝜆

2

|𝜓

₂

⟩ ⟹ ⟨𝜓

1

|Â|𝜓

2

⟩ = ⟨𝜓

1

|𝜆

₂

𝜓

2

⟩ = 𝜆

₂

⟨𝜓

₁

|𝜓

₂

⟩ Kommutieren-

de Operatoren

Wenn 𝐴̂𝐵̂ = 𝐴̂𝐵̂ ⟹ (1) 𝐴̂ und 𝐵̂ bilden einen vollst. Satz kommutierender Observablen, (2) besitzen gem. Eigenfkt. (EV), und (3) sind gleichzeitig scharf messbar (∆𝐴̂∆𝐵̂ = 0)

Projektion auf OGB (Vektor/Matrix Darstellung)

Eigenbasis von  𝐴

𝑖

…Eigenwerte

|𝑎

_𝑖

⟩…Eigenvek- toren (Basis)

𝐴̂|𝑎

_𝑖

⟩ = 𝐴

_𝑖

|𝑎

_𝑖

⟩ ⟹ |𝜓⟩ = ∑ P

_{𝑖 i}^{a}

|𝜓⟩ = ∑ |𝑎 ⏞

_𝑖

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

𝟙

|𝜓⟩ = ∑ |𝑎 ⏞

_𝑖

⟩

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠

⟨𝑎 ⏞

_𝑖

|𝜓⟩

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓.

𝑖

⟹

Ket: |𝜓⟩

^{𝑎}

= (

⟨𝑎

1

|𝜓⟩

⟨𝑎

₂

|𝜓⟩

…

) Bra: ⟨𝜓|

^{𝑎}

= (⟨𝑎

₁

|𝜓⟩

^∗

, ⟨𝑎

₂

|𝜓⟩

^∗

, … ) Operator: 𝐴̂

_𝑖𝑗^{𝑎}

= ⟨𝑎

𝑖

|𝐴̂|𝑎

𝑗

⟩ Basiswechsel

von Basis {|𝑎

1

⟩, |𝑎

₂

⟩, …}

zu Basis {|𝑏

1

⟩, |𝑏

₂

⟩, …}

|𝑏

_𝑖

⟩ = 𝑈 ̂|𝑎

_𝑖

⟩|∙ ⟨𝑎

_𝑖

| ⇒ |𝑏

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

| = 𝑈 ̂|𝑎

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

||∑ ⇒ ∑|𝑏

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

| = 𝑈 ̂ ∑|𝑎

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

| ⇒ 𝑈 ̂ = ∑ |𝑏

_{𝑖 𝑖}

⟩ ⟨𝑎

_𝑖

| = (

| | |

|𝑏

1

⟩

^{𝑎}

|𝑏

2

⟩

^{𝑎}

…

| | |

)

Trafo Basisvektoren |𝑏

𝑖

⟩ = 𝑈 ̂|𝑎

𝑖

⟩ Trafo Vektoren: |𝜓⟩

^{𝑏}

= 𝑈 ̂

⁻¹

|𝜓⟩

^{𝑎}

= 𝑈 ̂

^†

|𝜓⟩

^{𝑎}

Trafo Operatoren: 𝐴̂

^{𝑏}

= 𝑈 ̂

^†

𝐴̂

^{𝑎}

𝑈 ̂ Wahrscheinlich-

keit, Erwartungs wert

Operator 𝐴̂ („Observable“) mit EW 𝐴

₁

… 𝐴

_𝑛

(entspr. „Messwerten“) und EV |𝑎

₁

⟩, |𝑎

₂

⟩, … , |𝑎

_𝑛

⟩;

𝐴̂ wirkt auf Zust. |𝜓⟩ („Messung“) ⇒ 𝐴̂|𝜓⟩ ⇒ dann ist die Wahrscheinlichkeit 𝑊

𝑖

des Auftretens von EW (Messwert) 𝐴

𝑖

: 𝑊

_𝑖

= 〈𝑃̂

_𝑖

〉 = ⟨𝜓|P ̂

_𝑖

|𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝑎

_𝑖

⟩⟨𝑎

_𝑖

|𝜓⟩ = ⟨𝑎

_𝑖

|𝜓⟩

^∗

⟨𝑎

_𝑖

|𝜓⟩ = |⟨𝑎

_𝑖

|𝜓⟩|

²

. Erwartungswert: 〈𝐴̂〉 = ⟨𝜓|A ̂|𝜓⟩ = ∑ 𝑊

_𝑛 𝑖

𝐴

_𝑖

Wahrscheinlichkeit 𝑊

₀

, das System in Zustand 𝜓

₀

zu finden: 𝑊

₀

= 〈𝑃̂

₀

〉 = ⟨𝜓|P ̂

₀

|𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝜓

₀

⟩⟨𝜓

₀

|𝜓⟩ = |⟨𝜓

₀

|𝜓⟩|

²

Erweiterter

Hilbertr. mit Diracvektoren

bisher: abzählbare Basis {𝜑

1

(𝑥) , 𝜑

2

(𝑥) … }: ⟨𝜑

_𝑛

|𝜑

_𝑚

⟩ = 𝛿

_𝑛𝑚

jetzt: kontinuierliche Basis 𝜑

_𝑘

(𝑥) 𝑘 ∈ ℝ: ⟨𝜑

_𝑘

|𝜑

_𝑘′

⟩ = δ(𝑘

^′

− 𝑘) Projektion auf

VONS 𝜑

_𝑘

(𝑥) 𝑘 ∈ ℝ

bisher: abzählbare Basis {𝜑

1

(𝑥) , 𝜑

2

(𝑥) … }: |𝜓⟩ ⏞

𝑎𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡

= ∑ |𝜑 ⏞

_𝑖

⟩

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠

⟨𝜑 ⏞

_𝑖

|𝜓⟩

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓.

𝑘

; 𝜓(𝑥) ⏞

𝑘𝑜𝑛𝑘𝑟𝑒𝑡

= ∑ ⟨𝑥|𝜑 ⏞

_𝑖

⟩

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠 𝜑_𝑖(𝑥)

⟨𝜑 ⏞

_𝑖

|𝜓⟩

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓 c(𝑖)=𝑐_𝑖

𝑖

= ∑

_𝑘

𝜑

_𝑖

(𝑥) 𝑐

_𝑖

jetzt: kontinuierliche Basis 𝜑

𝑖

(𝑥) , 𝑖 ∈ ℝ: |𝜓⟩ ⏞

𝑎𝑏𝑠𝑡𝑟𝑎𝑘𝑡

= ∫ |𝜑 ⏞

_𝑖

⟩

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠

⟨𝜑 ⏞

_𝑖

|𝜓⟩

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓.

∞

𝑑𝑖

−∞

; 𝜓(𝑥) ⏞

𝑘𝑜𝑛𝑘𝑟𝑒𝑡

= ∫ ⟨𝑥|𝜑 ⏞

_𝑖

⟩

𝐵𝑎𝑠𝑖𝑠 𝜑_𝑖(𝑥)

⟨𝜑 ⏞

_𝑖

|𝜓⟩

𝐾𝑜𝑒𝑓𝑓 𝜓(𝑖)

𝑑𝑖 = ∫

_−∞^∞

𝜑

_𝑖

(𝑥)𝜓(𝑖) 𝑑𝑖

∞

−∞

z.B. Eigenfkt. d.

Ortsoperators

𝜓(𝑥) = |𝜓

_𝑥

⟩ = ⟨𝑥|𝜓⟩ = ⟨𝑥|𝟙̂ |𝜓⟩ = ∫ ⟨𝑥|

_−∞^∞

𝑥

^′

⟩⟨𝑥

^′

|𝜓⟩𝑑𝑥

^′

= ∫

_−∞^∞

⟨𝑥|𝑥

^′

⟩⟨𝑥

^′

|𝜓⟩𝑑𝑥

^′

= ∫

_−∞^∞

δ(𝑥 − 𝑥

^′

) 𝜓(𝑥

^′

)𝑑𝑥

^′

= 𝜓(𝑥) 𝜓(𝑥) = |𝜓

𝑥

⟩ = ⟨𝑥|𝜓⟩ = ⟨𝑥|𝟙̂|𝜓⟩ = ∫ ⟨𝑥|𝑝⟩⟨𝑝|𝜓⟩𝑑𝑝

_−∞^∞

= ∫

_−∞^∞

⟨𝑥|𝑝⟩⟨𝑝|𝜓⟩ 𝑑𝑝 = ∫

_−∞^∞ _√2𝜋ℏ¹

𝑒

^{𝑖𝑝ℏ𝑥}

𝜓(𝑝)𝑑𝑝 = 𝜓(𝑥)

Umformungen:

⟨𝑥|𝜓⟩ = 𝜓(𝑥) ; ⟨𝑝|𝜓⟩ = 𝜓(𝑝) ; ⟨𝑥|𝑥̂|𝜓⟩ = (𝑥̂𝜓)(𝑥) ; ⟨𝑥|𝑝̂|𝜓⟩ = (𝑝̂𝜓)(𝑥) ; 𝑎𝑙𝑙𝑔: ⟨𝑖|𝐴̂|𝜓⟩ = (𝐴̂𝜓)(𝑖)

⟨𝑥|𝑥

^′

⟩ = 𝜑

_𝑥

(𝑥) = δ(𝑥 − 𝑥

^′

) ; ⟨𝑥|𝑝⟩ = 𝜑

𝑝

(𝑥) =

_√2𝜋ℏ¹

𝑒

^{+𝑖𝑝ℏ𝑥}

; ∫

¹

2𝜋ℏ

𝑒

^{𝑖𝑝ℏ(𝑥−𝑥′)}

𝑑𝑝

∞

−∞

= δ(𝑥 − 𝑥

^′

) ;

⟨𝑝|𝑝

^′

⟩ = 𝜑

_𝑝

(𝑝) = δ(𝑝 − 𝑝

^′

) ; ⟨𝑝|𝑥⟩ = 𝜑

𝑥

(𝑝) =

¹

√2𝜋ℏ

𝑒

^{−𝑖𝑝ℏ𝑥}

; ∫

¹

2𝜋ℏ

𝑒

^{𝑖𝑝−𝑝′ℏ 𝑥}

𝑑𝑥

∞

−∞

= δ(𝑝 − 𝑝

^′

) ;

Zeitentwicklung

Rezept 1:

(1) Geg.: Wellenfunktion Ψ(t = 0), ausgedrückt in Basis 𝐵, so dass Ψ(0) = ∑ 𝛽

_{𝑖 𝑖}

|𝑏

_𝑖

⟩ . (2) Berechne die Eigenenergiebasis, also Eigenwerte (Eigenenergien) 𝐸

_𝑛

und Eigenvektoren |𝐸

_𝑛

⟩ des Hamiltonoperators 𝐻 ̂ . (3) Transformiere Ψ(0) in die Eigenenergie- basis (z.B. mit |𝜓⟩

^{𝐻}

= 𝑈 ̂

^†

|𝜓⟩

^{𝐵}

), so dass Ψ(0) = ∑ 𝛾

_{𝑖 𝑖}

|𝐸

_𝑖

⟩ . (4) Ψ(t) = ∑ 𝑒

_𝑛 ^{−𝑖𝐸𝑛ℏ𝑡}

𝛾

_𝑛

|𝐸

_𝑛

⟩

Rezept 2: (1) Zeitentwicklungsoperator 𝑈 ̂ = 𝑒

^{−𝑖𝐻ℏ̂𝑡}

. (2) Berechne die Eigenenergiebasis, 𝐸

𝑛

und |𝐸

_𝑛

⟩ des Hamiltonoperators 𝐻 ̂ . (3) Spektralzerlegung 𝑈 ̂ = ∑ |𝐸

_{𝑛 𝑛}

⟩⟨𝐸

_𝑛

|𝑒

^{−𝑖𝐸𝑛ℏ𝑡}

(4) Ψ(t) = 𝑈 ̂ Ψ(0)

Harmonischer Oszillator 1D Potential,

Hamilton 𝑉 =

¹

2

𝑚𝜔

²

𝑥

²

⟹ 𝐻 ̂ = −

^ℏ2

2𝑚

𝜕²

𝜕𝑥²

+

¹

2

𝑚𝜔

²

𝑥

²

Eigen-

zust.: ⟨𝑥|𝑛⟩ = u

𝑛

(𝑥) = (

^𝑚𝜔

𝜋ℏ

)

1 4 1

√2^𝑛𝑛!

𝑒

^{−12𝑚𝜔ℏ𝑥2}

H

𝑛

(√

^𝑚𝜔_ℏ

𝑥) ; 𝐸

𝑛

= ℏ𝜔 (𝑛 +

¹

2

) Reduz.

Koord.: 𝑥

₀

= √

^ℏ

𝑚𝜔

; 𝑝

₀

= √𝑚ℏ𝜔; 𝑦 =

_𝑥^𝑥

0

; 𝜀

_𝑛

=

^𝐸𝑛

ℏ𝜔

; 𝑉 =

¹

2

ℏ𝜔𝑦

²

⟹ 𝐻 ̂

_𝑦

= −

^𝜕2

𝜕𝑦²

+

¹

2

𝑦

²

; u

_𝑛

(𝑥) =

¹

√𝑥₀√𝜋2^𝑛𝑛!

𝑒

^−12𝑦2

H

_𝑛

(𝑦) ; 𝜀

𝑛

= 𝑛 +

¹

2

Aufsteiger 𝑎̂

^†

=

¹

√2

√

^𝑚𝜔_ℏ

−

¹

√2

√

^ℏ

𝑚𝜔

𝜕

𝜕𝑥

=

¹

√2 𝑥 𝑥₀

−

^𝑥0

√2

𝜕

𝜕𝑥

=

¹

√2

𝑦 −

¹

√2

𝜕

𝜕𝑦

𝑎̂

^†

|u

_𝑛

⟩ = √𝑛 + 1|u

𝑛+1

⟩ 𝑎̂ ≠ 𝑎̂

^†

⟹ nicht hermitesch [𝑎̂, 𝑎̂

^†

] = 1 ⟹ 𝑎̂𝑎̂

^†

= 1 + 𝑎̂

^†

𝑎̂ ⟹

⟨𝜓|𝑎̂

^†

𝑎̂|𝜓⟩ = ⟨𝑎̂𝜓|𝑎̂𝜓⟩

⟨𝜓|𝑎̂𝑎̂

^†

|𝜓⟩ = ⟨𝜓|𝜓⟩ + ⟨𝑎̂𝜓|𝑎̂𝜓⟩

Absteiger 𝑎̂ =

¹

√2

√

^𝑚𝜔_ℏ

+

¹

√2

√

^ℏ

𝑚𝜔

𝜕

𝜕𝑥

=

¹

√2 𝑥 𝑥₀

+

^𝑥0

√2

𝜕

𝜕𝑥

=

¹

√2

𝑦 +

¹

√2

𝜕

𝜕𝑦

𝑎̂|u

𝑛

⟩ = √𝑛|u

𝑛−1

⟩; 𝑎̂|u

0

⟩ = 0 Orts-

operator 𝑥̂ =

¹

√2

√

^ℏ

𝑚𝜔

(𝑎̂ + 𝑎̂

^†

) =

^𝑥0

√2

(𝑎̂ + 𝑎̂

^†

) 〈x̂〉 =

^𝑥0

√2

⟨𝜓|𝑎̂ + 𝑎̂

^†

|𝜓⟩ =

^𝑥0

√2

(⟨𝜓|𝑎̂|𝜓⟩ + ⟨𝜓|𝑎̂

^†

|𝜓⟩) =

^𝑥0

√2

(⟨𝜓|𝑎̂𝜓⟩ + ⟨𝑎̂𝜓|𝜓⟩) Impuls-

operator 𝑝̂ =

¹

√2 ℏ 𝑖

√

^𝑚𝜔

ℏ

(𝑎̂ − 𝑎̂

^†

) =

¹

√2 ℏ 𝑖 1

𝑥0

(𝑎̂ − 𝑎̂

^†

) 〈p̂〉 =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

⟨𝜓|𝑎̂ − 𝑎̂

^†

|𝜓⟩ =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

(⟨𝜓|𝑎̂|𝜓⟩ − ⟨𝜓|𝑎̂

^†

|𝜓⟩) =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

(⟨𝜓|𝑎̂𝜓⟩ − ⟨𝑎̂𝜓|𝜓⟩) Besetz.-

operator 𝑁 ̂ = 𝑎̂

^†

𝑎̂; 𝑁 ̂|u

𝑛

⟩ = 𝑛|u

𝑛

⟩ Hamilton

operator 𝐻 ̂ = ℏ𝜔(𝑎̂𝑎̂

^†

+ 𝑎̂

^†

𝑎̂) = ℏ𝜔 (𝑎̂

^†

𝑎̂ +

¹

2

) = ℏ𝜔 (𝑁 ̂ +

¹

2

) Zeitent-

wicklung 𝜓(𝑥, 𝑡) = ∑ 𝑐

𝑛 𝑛

𝑢

𝑛

(𝑥) 𝑒

^{−𝑖𝐸𝑛ℏ𝑡}

= ∑ 𝑐

𝑛 𝑛

𝑢

𝑛

(𝑥) 𝑒

^{−𝑖(𝑛+12)𝜔𝑡}

„Kohärente“ Glauberzustände

Glauberzustände |𝜑

_𝛼

⟩ sind Eigenzust. von 𝑎̂: 𝑎̂|𝜑

_𝛼

⟩ = 𝛼|𝜑

_𝛼

⟩; 𝛼𝜖ℂ α(𝑡) = 𝛼𝑒

^{−𝑖𝜔𝑡}

= |𝛼|𝑒

^−𝑖𝛿

𝑒

^{−𝑖𝜔𝑡}

⟨𝜑

_𝛼

|𝜑

_𝛼

⟩ = 1; ⟨𝜑

_𝛼

|𝜑

_𝛼′

⟩ ≠ δ(𝛼 − 𝛼

^′

)

|𝜑

_𝛼

(0)⟩ = 𝑒

^−|𝛼|22

∑

¹

√𝑛!

𝛼

^𝑛

∞𝑛=0

|𝑢

_𝑛

⟩; |𝜑

_𝛼

(𝑡)⟩ = 𝑒

^{−𝑖𝜔𝑡2}

𝑒

^−|𝛼|22

∑

¹

√𝑛!

∞𝑛=0

𝛼

^𝑛

(𝑡) |𝑢

𝑛

⟩ =

¹

√𝑥0√𝜋

𝑒

^−|𝛼|22

𝑒

^{−−𝑖𝜔𝑡2}

𝑒

⁻

𝑥2 2𝑥02

𝑒

2 α(𝑡)𝑥

√2𝑥0

𝑒

^{−α(𝑡)22}

〈𝑥〉 =

^𝑥0

√2

⟨𝜑

_𝛼

|𝑎̂ + 𝑎̂

^†

|𝜑

_𝛼

⟩ =

^𝑥0

√2

(⟨𝜑

𝛼

| ∙ 𝑎̂|𝜑

_𝛼

⟩ + ⟨𝜑

_𝛼

|𝑎̂

^†

∙ |𝜑

𝛼

⟩) =

^𝑥0

√2

(⟨𝜑

𝛼

| ∙ 𝛼|𝜑

_𝛼

⟩ + ⟨𝜑

_𝛼

|𝛼

^∗

∙ |𝜑

𝛼

⟩) =

^𝑥0

√2

(𝛼⟨𝜑

𝛼

|𝜑

_𝛼

⟩ + 𝛼

^∗

⟨𝜑

_𝛼

|𝜑

_𝛼

⟩) =

〈𝑥〉 =

^𝑥0

√2

(𝛼 + 𝛼

^∗

) =

^𝑥0

√2

2 Re(𝛼) ; analog: 〈𝑥

²

〉 =

^𝑥0

√2

((𝛼 + 𝛼

^∗

)

²

+ 1); ∆𝑥

²

= 〈𝑥

²

〉 − 〈𝑥〉

²

=

^𝑥02

2

〈𝑝〉 =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

(𝛼 − 𝛼

^∗

) =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

2 Im(𝛼) ; 〈𝑝

²

〉 =

^ℏ2

2𝑥₀²

((𝛼 − 𝛼

^∗

)

²

− 1); ∆𝑝

²

= 〈𝑝

²

〉 − 〈𝑝〉

²

=

^ℏ2

2𝑥₀²

⟹ ∆p∆x =

^ℏ2

2

〈x(𝑡)〉 =

^𝑥0

√2

(𝛼(𝑡) + 𝛼

^∗

(𝑡)) = √2𝑥

0

|𝛼| cos(𝜔𝑡 − 𝛿) ; 〈p(𝑡)〉 =

^ℏ

𝑖√2𝑥0

(𝛼(𝑡) + 𝛼

^∗

(𝑡)) =

^ℏ

𝑥0

√2 sin(𝜔𝑡 − 𝛿) Drehimpuls

Operator 𝐿 ⃗⃗̂ : 𝐿 ⃗⃗̂ = 𝑟⃗̂ × 𝑝⃗̂ = 𝑟⃗ × (

^ℏ

𝑖

∇ ⃗⃗⃗) =

^ℏ

𝑖

(𝑟⃗ × ∇ ⃗⃗⃗) = 𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝑥

_𝑗 ^𝜕

𝜕𝑥_𝑘

𝐿̂

𝑥

=

^ℏ

𝑖

(𝑦

^𝜕

𝜕𝑧

− 𝑧

^𝜕

𝜕𝑦

) ; 𝐿̂

𝑦

=

^ℏ

𝑖

(𝑧

^𝜕

𝜕𝑥

− 𝑥

^𝜕

𝜕𝑧

) ; 𝐿̂

𝑧

=

^ℏ

𝑖

(𝑥

^𝜕

𝜕𝑦

− 𝑦

^𝜕

𝜕𝑥

) =

ℏ 𝑖

𝜕

𝜕𝜑

Vektoroperator Ein Operator 𝐴⃗ ̂

ist nur dann ein Vektoroperator, wenn gilt: [𝐿

𝑖

, 𝐴

𝑗

] = 𝑖ℏ𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝐴

𝑘

. 𝑟⃗̂, 𝑝⃗̂, 𝐿 ⃗⃗̂ sind Vektoroperatoren ⟹ Kommutatoren: [𝐿

𝑖

, 𝑥

_𝑗

] = 𝑖ℏ𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝑥

_𝑘

; [𝐿

_𝑖

, 𝑝

_𝑗

] = 𝑖ℏ𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝑥

_𝑘

; [𝐿

_𝑖

, 𝐿

_𝑗

] = 𝑖ℏ𝜀

𝑖𝑗𝑘

𝐿

_𝑘

Operator 𝐿̂

²

: 𝐿̂

²

= 𝐿̂

²_𝑥

+ 𝐿̂

²_𝑦

+ 𝐿̂

_𝑧²

Kompat. zu 𝐿

𝑖

: 𝐻 ̂, 𝐿̂

²

, 𝑆̂

²

, 𝑟⃗̂

²

, 𝑝⃗̂

²

kompat. zu 𝐿̂

²

: 𝐻 ̂, 𝐿

_𝑖

, 𝑆̂

²

, 𝑆̂

_𝑖

, 𝑟⃗̂

²

, 𝑝⃗̂

²

Erwartungswerte: 〈𝐿

_𝑥

〉 = 〈𝐿

_𝑦

〉 = 0; 〈𝐿

²_𝑥

〉 = 〈𝐿

_𝑦²

〉 ≥

¹

4

ℏ

²

Eigenzustände 𝐿̂

²

|𝑙𝑚

𝑙

⟩ = 𝑙(𝑙 + 1)ℏ

²

|𝑙𝑚

𝑙

⟩

𝐿̂

𝑧

|𝑙𝑚

𝑙

⟩ = 𝑚

𝑙

ℏ|𝑙𝑚

𝑙

⟩

Bahndrehimpulsquan- tenz. 𝑙 zu Operator 𝐿̂

²

𝑙 = 0, … , 𝑛 − 1 𝑙 = 𝑠, 𝑝, 𝑑, 𝑓, 𝑔, …

Magn. Drehimp.-QZ 𝑚

𝑙

zu Operator 𝐿̂

𝑧

: 𝑚

𝑙

=

^𝐿𝑧

ℏ

= {−𝑙, … , +𝑙}

Leiteropera- toren

𝐿̂

±

= 𝐿̂

𝑥

± 𝑖𝐿

𝑦

; nicht hermit.: 𝐿̂

₊^†

= 𝐿̂

−

; 𝐿̂

−†

= 𝐿̂

+

Auf- Absteiger: 𝐿̂

_±

|𝑙𝑚

𝑙

⟩ = √(𝑙 ∓ 𝑚

𝑙

)(𝑙 ± 𝑚

𝑙

+ 1)ℏ|𝑙, 𝑚

_𝑙

± 1⟩

𝐿̂

𝑥

=

¹

2

(𝐿̂

+

+ 𝐿̂

−

); 𝐿̂

𝑦

= −𝑖

¹

2

(𝐿̂

+

− 𝐿̂

−

); 𝐿̂

²

=

¹

2

(𝐿̂

+

𝐿̂

−

+ 𝐿̂

−

𝐿̂

+

) + 𝐿̂

𝑧 2

Gyromag. Verh 𝛾 =

^|𝜇|_|𝐿|

=

^|𝑞|

2𝑚𝑞

Bohrsches

Magneton 𝜇

_𝐵^𝑐𝑔𝑠

=

^|𝑒|

2𝑚_𝑒𝑐

ℏ; 𝜇

_𝐵^𝑆𝐼

=

^|𝑒|

2𝑚_𝑒

ℏ allgemeines

Magneton 𝜇⃗

𝑧

= sign(𝑞) 𝜇

𝐵 𝐿⃗⃗_𝑧

ℏ

= sign(𝑞) 𝜇

𝐵

𝑚 = sign(𝑞) 𝛾𝐿 ⃗⃗

Entartung n,l Entartung = ∑

^𝑛−1_𝑙=0

(2𝑙 + 1) = 𝑛

²

(ohne Spin)

Eigenzust. allg. Seien 𝐴̂

²

, 𝐴̂

_𝑧

irgendwelche Drehimpuls-oder Spinoperatoren. Dann gilt: 𝐴̂

²

|𝜓⟩ = 𝑎(𝑎 + 1)ℏ

²

|𝜓⟩; 𝐴̂

_𝑧

|𝜓⟩ = 𝑚

_𝑎

ℏ|𝜓⟩