§ 7 Adjungierte Operatoren 7.1. Definition.

§ 7 Adjungierte Operatoren

7.1. Definition. Es seien X, Y Banachräume und T ∈ L(X, Y). Der zu T adjungierter Operator T⁰ : Y⁰ →X⁰ ist definiert durch

(T⁰y⁰)(x) :=y⁰(T x), x∈X, y⁰∈Y⁰, d.h. T⁰y⁰ =y⁰◦T gilt füry⁰ ∈Y⁰.

Beispiel:

(a) SeiX=c₀ und L=Linksshift, d.h.,

L(x₁, x₂, x₃, . . .) = (x₂, x₃, . . .).

Dannϕ(T x) =y₁x₂+y₂x₃+· · · fürϕ= (yn)∈`². Also

L⁰(y₁, y₂, y₃, . . .) = (0, y₁, y₂, y₃, . . .) =R(y₁, y₂, y₃, . . .) (Rechtsshift).

(b) Auf L²([0,1]) seiT durch

(T f)(x) :=

Z1

0

k(x, y)f(y) dy,

wobeik∈L²([0,1]×[0,1]). Dann ist T⁰ von der Form

(T⁰f)(x) :=

Z1

0

k⁰(x, y)f(y) dy,

wobeik⁰(x, y) =k(y, x).

Beweis. (a) Später wirL² betrachtet. Seix∈`<sup>p</sup> und y∈`^q. Dann gilt:

y⁰(T x) = X∞ i=1

y_ix_i+1= (T⁰y⁰)(x).

(b) Wähle f, g⁰ ∈L²([0,1]). Dann gilt:

g⁰(T f) = Z1

0

g⁰(x) Z1

0

k(x, y)f(y) dydx= Z1

0

f(y) Z1

0

k(x, y)g⁰(x) dxdy= (T⁰g⁰)f.

Bemerkung: Es gelten:

(a) (αT₁+βT₂)⁰=αT₁+βT₂,T₁, T₂∈L(X, Y) undα, β ∈K. (b) (T₂T₁)⁰ =T₁⁰T₂⁰,T₁∈L(X, Y),T₂∈L(Y, Z).

(c) T⁰⁰ι_X =ι_YT,T ∈L(X, Y).

Beweis. (a) und (b) sind klar. (c) folgt aus

(T⁰⁰ι_X(x))(y⁰) =ι_X(x)(T⁰y⁰) =T⁰y⁰(x) =y⁰(T x) =ι_Y(T x)(y).

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§7. ADJUNGIERTE OPERATOREN 31

7.2. Satz. Die Abbildung L(X, Y)→L(Y⁰, X⁰),T 7→T⁰ ist linear und isometrisch.

Beweis. Linearität ist klar. Die Gleichheit der Normen ergibt sich aus dem Satz von Hahn-Banach:

kTk= sup

kxk≤1

kT xk= sup

kxk≤1

sup

ky⁰k≤1

|y⁰(T x)|= sup

ky⁰k≤1

sup

kxk≤1

|y⁰(T x)|

= sup

ky⁰k≤1

kT⁰y⁰k=kT⁰k.

Bemerkung: Die Abbildung L(`<sup>1</sup>, c<sub>0</sub>)→L(`¹, `^∞),T 7→T⁰ ist nicht surjektiv.

Beweis. Offenbar kann jedes T ∈ L(`<sup>1</sup>, C<sub>0</sub>) durch eine unendliche Matrix A = (aij) und jedes S ∈ L(`¹, `<sup>∞</sup>) durch eine Matrix B = (b<sub>ij</sub>) auf c<sub>00</sub> dargestellt werden. Hierzu verwende, dass c<sub>00</sub> sowohl in c<sub>0</sub> als auch in`¹ dicht ist.

Nach Definition der Adjungierten erhalten wir a_ij = b_ji (vgl. lineare Algebra). Insbesondere wird durch b_ij = 1,i, j ∈N ein stetiger Operator S ∈L(`<sup>1</sup>, `^∞) definiert. Falls es ein T ∈L(`<sup>1</sup>, c<sub>0</sub>) mit T<sup>0</sup> =S gäbe, müsste b<sub>ij</sub> = 1,i, j= 1 sein, was aber ein Widerspruch zuT ∈L(`₁, c₀) ist.

7.3. Satz [Satz von Schauder]. Es seien X, Y Banachräume und T ∈L(X, Y). Dann gilt die Äqui- valenz

T kompakt ⇐⇒ T⁰ kompakt.

Beweis. “⇒”: Sei T kompakt und(y_n⁰)⊆Y⁰ beschränkt. Es ist zu zeigen ist, dass (T⁰y_n⁰) eine konvergente Teilfolge besitzt. SeiK :=T B_X(0,1). Dann istK ein kompakter, metrischer Raum. Betrachte f_n:=y_{n K}⁰ ∈ C(K). Die Folge(fn)ist beschränkt und gleichgradig stetig, denn

|f_n(y)−f_n(˜y)| ≤ ky⁰_nkky−yk ≤˜ Cky−yk,˜ n∈N, y,y˜∈K.

Der Satz von Arzelà–Ascoli gibt die Existenz einer konvergenten Teilfolge (fnk). Es folgt:

kT⁰y_n⁰_l−T⁰y_n⁰_mk= sup

x∈BX(0,1)

ky⁰_nl(T x)−y_n⁰_m(T x)k ≤ kf_nl−f_nmk_∞,

d.h. T⁰y⁰_nk ist eine Cauchyfolge in X⁰. Somit folgt die Behauptung.

“⇐”: Sei T⁰ kompakt. Dann folgt aus dem ersten Beweisteil, dass T⁰⁰ kompakt ist. Bemerkung §7 liefert T⁰⁰ι_X = ι_YT, d.h. der Wertebereich von T⁰⁰ι_X ist im abgeschlossenen Unterraum imι_Y enthalten, also T =ι⁻¹_Y T⁰⁰ι_X. Daraus folgt die Kompaktheit vonT.