Ubungsblatt 1 – Differenzial- ¨ und Integralrechnung, WS 09/10
1. Aquivalenzumformungen und logisches Schließen: ¨ (a) Finden Sie den Fehler in folgender Rechnung:
1 = x
· x
x = x
2− 1 x − 1 = x
2− 1
x − 1 = (x + 1) · (x − 1) |/(x − 1) x − 1
x − 1 = (x + 1) (x − 1) x − 1
1 = x + 1
x = 1 1 = 2
(b) Ist der folgende Schluss logisch richtig?
( ” Wer von der Quantenmechanik nicht schockiert ist, der hat sie nicht verstanden“
[Niels Bohr] und
” Niemand versteht die Quantenmechanik“ [Richard Feynman]) ⇒
” Niemand ist von der Quantenmechanik schockiert“
2. Eigenschaften von Zahlenmengen:
Klassifizieren Sie die folgenden Mengen M
i⊆ R nach den Kriterien offen, abgeschlossen, nach oben/unten beschr¨ ankt und kompakt. Bestimmen Sie außerdem, falls sie existieren, inf M
iund sup M
i. Sind diese Elemente der Menge M
i?
M
1= (−1, 1), M
2= [−1, 1), M
3= (−1, 1], M
4= [−1, 1], M
5= (−∞, 0), M
6= (0, ∞) M
7= M
5∪ M
6, M
8= M
4\ {0}
M
9= Z, M
10= Z ∪ (−1, 1), M
11= Z ∪ (−
32,
32), M
12= [−10, 10] \ Z, M
13=
∞
\
n=1
(−
1n,
1n) = (−1, 1) ∩ (−
12,
12) ∩ (−
13,
13) ∩ . . .
3. Rechnen mit Ungleichungen und Betr¨ agen:
Bestimmen Sie jeweils alle x ∈ R , die die folgenden Ungleichungen erf¨ ullen:
(a) |x − 2| · (x + 2) x < |x|
(b) x
2− 4
− |x + 2| x
2+ x − 6
> 0
4. Einige spezielle Metriken:
Zeigen Sei jeweils, dass in den folgenden F¨ allen (M, d) ein metrischer Raum ist. Veran- schaulichen Sie sich die Bedeutung von d (soweit m¨ oglich) geometrisch.
(a) diskrete Metrik: In einer beliebigen Menge M definieren wir d(x, y) =
( 0 wenn x = y 1 sonst.
(b) Manhattan-Metrik: In M = R
2definieren wir den Abstand zwischen zwei Punkten x = (x
1, x
2) und y = (y
1, y
2) als
d(x, y) = |x
1− y
1| + |x
2− y
2| .
(c) Euklidische Metrik: In M = R
2definieren wir den Abstand zwischen zwei Punkten x = (x
1, x
2) und y = (y
1, y
2) nun als
d(x, y) = d
E(x, y) = kx − yk = p
(x
1− y
1)
2+ (x
2− y
2)
2.
(Hinweis: Setzen Sie im Beweis der Dreiecksungleichung kx − zk ≤ kx − yk+ky − zk zur Vereinfachung der Notation a = x − y und b = y − z.)
(d) Franz¨ osische Eisenbahnmetrik: Wir setzen in M = R
2den Euklidischen Abstand d
E(x, y) = kx − yk als bekannt voraus. Nun w¨ ahlen wir einen festen Punkt p (=Paris) und definieren den Abstand d als
d(x, y) =
( d
E(x, y) wenn x, y und p auf einer Geraden liegen d
E(x, p) + d
E(p, y) sonst.
5. Ungleichungen mit Kehrwerten:
(a) Zeigen Sie f¨ ur beliebige positive Zahlen x und y die Ungleichung x
y + y x ≥ 2 .
(b) Die Zahlen a
kmit k ∈ N seien alle positiv. Zeigen Sie f¨ ur n ∈ N
n
X
k=1
a
k!
·
n
X
k=1
1 a
k!
≥ n
2.
6. Schaltung von Widerst¨ anden:
F¨ ur zwei in Serie geschaltete Widerst¨ ande R
1und R
2gilt R
ges= R
1+ R
2, bei Parallelschaltung erh¨ alt man
1 R
ges= 1 R
1+ 1 R
2.
Beweisen Sie, dass f¨ ur eine beliebige Zahl n von Widerst¨ anden bei serieller Schaltung R
ges=
n
X
k=1
R
k, und bei Parallelschaltung
1 R
ges=
n
X
k=1
