Klausur
GrundlagenderStatistik
(WS2001/02)
Bemerkungen:
DieKlausurbestehtaus5Aufgaben,dieallezulösensind.
LösenSiedieAufgabennuraufdenausgeteiltenLösungsbögen.
VermerkenSieaufjedemBlattIhrenNamenundIhreMatrikelnummer.
ShreibenSiebittelesbar.
AhtenSiedarauf,dassIhrLösungswegnahvollziehbarist.
Aufgabe1 (10 Punkte)
BewertenSiejededieserfünfAussagenmitRICHTIGoderFALSCHundbegründenSieIhre
Entsheidung.Für(rihtige)BewertungenohneBegründunggibteskeinePunkte.
1.FallsfürdieZufallsvariablenXundY gilt: Var(X)=Var(Y)=1,sofolgtdaraus,dass
ihreKorrelationgleihihrerKovarianzist.
2.DasKondenzintervallzumNiveau=0;01fürdenunbekanntenParametersei[3;7℄.
DanngiltmiteinerWahrsheinlihkeitvon99%,dass37ist.
3.DiezufälligeVariableXseibinomialverteilt(XB(n;)):DannwirdVar( X)umso
gröÿer,jegröÿerderParameterist(2[0;1℄).
4.BeimDurhführeneinesstatistishen(Hypothesen-)TestsdarfmanH0undH1erstnah
RealisationderStihprobeaufstellen.
5.LikelihoodfunktionengebendieWahrsheinlihkeitdafüran,dassein(unbekannter)Para-
metereinenbestimmtenWertannimmt. DabeiistsiemaximalfürdenwahrenWertdes
Parameters.
Fotogran F.lässtseitdreiJahren ihreBilderbeieinemFotolaborentwikeln. Von diesem
bekommtsiemonatliheineRehnungSieerteiltIhnendenAuftrag,dieLabor-KostenderJahre
1999-2001statistishauszuwerten.
DieJahresabrehnungfürdasJahr2001(inDM)liegtIhnendazuinfolgenderFormvor:
Monat(i) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Betrag(x
i
) 353 209 203 125 126 244 179 215 150 283 237 217
1. GebenSiedasarithmetisheMittel,dieempirisheStandardabweihung,denMedianund
denInterquartilsabstandderDatenfürdasJahr2001an.
Rehenhilfe: P
12
i=1 x
2
i
=584649
2. FertigenSie denBoxplotderMonatsbeträgefürdas Jahr2001an. CharakterisierenSie
danahdieFormderVerteilung.
3. ErmittelnSiedasarithmetisheMittelunddieempirisheStandardabweihungbezogenauf
dieAnzahlderentwikeltenBilderfürdasJahr2001.
DieEntwiklungeinesBildeskostete0,12DM.JedenMonatwurdezusätzliheinePaushale
von24,60DMfürdieEntwiklungallerFilmeerhoben(diebereitsimMonatspreisenthalten
ist).
FürdieJahre1999und2000liegendiemonatlihenRehnungsbeträge(inDM)nuringruppierter
Formvor:
Gruppej Beobahtungenhj
von... -unter...
50-150 8
150-200 8
200-250 2
250-500 4
500-800 2
4. FügenSiedieDatenfürdasJahr2001hinzuunderstellenSiedasgemeinsameHistogramm
überalledreiJahre. CharakterisierenSiedieFormderVerteilungundvergleihenSieIhr
ErgebnismitdemausAufgabenteil2.
AssistentA.solldas SkriptdesProfessorsGrundlagenderStatistik aufFehler prüfen. Da
A.shonlangefürdenProfessorarbeitetweiÿer,dasserbeidenihmvorgelegtenTextenmit
durhshnittlih1FehlerjeSeiterehnenmuss.Manweiÿ,dassdieFehlerunabhängigvoneinander
auftreten.
1.DiezufälligeVariableXseidieAnzahlderTippfehleraufeinerbeliebigenSeitedesSkripts.
GebenSieihreVerteilungundParameteran.
2.StellenSiedieLikelihood-FunktionfürdenErwartungswertderAnzahlFehlerproSeiteauf
undleitensieallgemeinfüreineStihprobevonnSeitendenML-Shätzerher.
3.ZeigenSie,dassdieserML-Shätzererwartungstreuist.
4.BerehnenSiedieWahrsheinlihkeit,dassaufeinerbeliebigenSeitedieA.liestmindestens
einTippfehlerenthaltenist.
5.ImvorliegendenSkriptwurdenfolgendeFehlerzahlengefunden:
FehlerproSeite 0 1 2 3 4
AnzahlderSeiten 20 10 15 40 15
BerehnenSiedenML-Shätzwert.
6.InterpretierenSieIhrErgebnis.
7.Wie groÿistdie Wahrsheinlihkeit,dassimneuenSkript zurVorlesungBayesianishe
Statistik,welhesderProfessorgeradeshreibtunddas 100Seitenumfassen soll,kein
Fehlerenthaltenist.WelheZufallsvariablehabenSieverwendet.
Aufgabe4 (20Punkte)
Wissenshaftler W. ist stolz, dass er nun shon seit mehreren Jahren sein Idealgewiht
von
=85kghaltenkann.Alseram1.FebruarvoneinerlängerenForshungsreiseausIsland
zurükkehrt,vermuteter,dassdiedortigenErnährungsgewohnheitenEinussaufseinGewiht
hatten.
ZudiesemZwekmissterandenfolgenden5TagenseinGewiht.DabeierhälterfolgendeWerte:
Datum Gewihtinkg
2.2. 89
3.2. 88
4.2. 88
5.2. 89
6.2. 90
Hinweis:NehmenSiean,dassWstäglihermitteltesGewiht(G
i
)zufälligumseinwahresGewiht
(
W
)shwankt:
Gi=w+"imit"i i:i:d:
N 0; 2
1. ShätzenSieWsmittleresGewihtunddieVarianzderMessungenausdengegebenenDaten.
MitHilfeeinesstatistishenTestswillWentsheiden,obervoneinersignikantenVeränderung
seinesGewihtsausgehenmuss.DerTestsolldabeieinNiveauvon=0,01haben.
2. StellenSiedieHypothesenzudiesemTestaufundbegründenSiedieHypothesenwahl.
3. FührenSiedenTestdurh.ErmittelnSiedazudiePrüfgröÿeundderenVerteilung.Fällen
SieanshlieÿenddieTestentsheidung.InterpretierenSieIhreTestentsheidung.
4. VergleihenSiedieKonstruktiondesAnnahmebereihsdesobendurhgeführtenTestsmit
derKonstruktioneinesKondenzintervallsfürWsGewiht.WelheGemeinsamkeiten,welhe
AnderGauÿ-UniversitätmusseinStudentderInformatikeineKlausurinMathematikundeine
imFahStatistikshreiben.DieResultatedesletztenSemesterergaben,dass63%derStudenten
dieStatistik-Klausur bestandenhaben, 58%dieMathematik-Klausurund68% derStudenten
wenigstenseinederbeidenKlausurenbestandenhaben.
1.WiegroÿistdieWahrsheinlihkeit,dasseinzufälligbefragterStudentinbeidenKlausuren
erfolgreihwarundwiegroÿ,dasserinkeinerderbeidenKlausurenerfolgreihwar.
2.WiegroÿistdieWahrsheinlihkeit,dasseinbefragterStudent,derinderStatistik-Klausur
keinenErfolghatte,dieMathematik-Klausurerfolgreihbestandenhat?
3.IndiesemSemesterhaben73%derzurStatistik-KlausurangemeldetenStudentendieÜbung
zurStatistikbesuht. AusErfahrungweiÿman,dasseinStudentderdieÜbungbesuht
hatmiteinerWahrsheinlihkeitvon81%dieKlausurbesteht,einStudent,derdieÜbung
nihtbesuhthatjedohnurmit31%igerWahrsheinlihkeiterfolgreihist. Mitwelhem
AnteilanbestandenenStatistik-KlausurenkanndieGauÿ-UniversitätindiesemSemester
rehnen?
