Höhere Mathematik 3: Stochastik WS12/13 Prof. Dr. I. Veseli´c
Übungsblatt 4
1. Bei der abgebildeten Schaltung funktionieren die jeweiligen Bauelemente unabhängig von- einander mit den angegebenen Wahrscheinlichkeiten. Der Ausfall eines Bauelementes hat die Unterbrechung des Stromes an der entsprechenden Stelle zur Folge. Berechnen Sie die Wahr- scheinlichkeit dafür, dass zwischen den PunktensundtStrom fließen kann.
(a)
0,8 0,8 0,9 0,7
0,8
0,7
s t
(b)
0,8
0,8 0,9
0,8
0,8
s t
Lösung:
(a) Wir berechnen die Funktionswahrscheinlichkeit des Schaltkreises. Dazu gruppieren wir die ein- zelnen Blöcke geeignet. Wir befolgen die Regeln: „Bei Reihenschaltung müssen alle Bauteile funktionieren, bei Parallelschaltung müssen muss mindestens ein Bauteil funktionieren“. Damit erhalten wir folgende Kette:
0,8 0,8 0,9 0,7
0,8
0,7
0,8 0,72 0,7 0,8
0,7
0,8 0,9832 0,7
0,550592
Es fließt also mit Wahrscheinlichkeit0,550592Strom.
(b) Ereignisse:F: Stromfluss zwischensundt,M: Mittelstück fällt aus.
P(F) =P(F |M)P(M) +P(F |M¯)P( ¯M) = 91,648%
Die Wahrscheinlichkeit, dass Strom fließen kann, istP(F) = 91,648%.
2. Bei einem kontinuierlichem Fertigungsprozess treten nacheinander die Arbeitsgänge Dre- hen, Fräsen und Schleifen auf. Zur Sicherung eines gleichmäßigen Erzeugnisdurchlaufs wer- den dabei drei Drehmaschinen, zwei Fräsmaschinen und eine Schleifmaschine eingesetzt. Die benutzten Maschinen seien voll ausgelastet und fallen innerhalb einer Schicht unabhängig von- einander mit folgenden Wahrscheinlichkeiten aus.
Maschine Drehmaschine Fräsmaschine Schleifmaschine
Ausfallwahrscheinlichkeit 0.3 0.2 0.1
(a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass innerhalb einer Schicht durch Maschi- nenausfälle der betrachteten Maschinen der Erzeugnisdurchlauf gestoppt wird.
(b) Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass innerhalb einer Schicht durch Maschi- nenausfälle der Erzeugnisdurchlauf verlangsamt wird, ohne dass es zu einem Stopp bei den betrachteten Arbeitsgängen kommt.
Lösung:Wir bezeichnen Ereignisse.
D1: Drehmaschine 1 fällt aus, F1: Fräsmaschine 1 fällt aus, D2: Drehmaschine 2 fällt aus, F2: Fräsmaschine 2 fällt aus, D3: Drehmaschine 3 fällt aus, S: Schleifmaschine fällt aus.
(a) Für einen TotalausfallT muss eines der drei Ereignisse
• D:=D1∩D2∩D3: alle Drehmaschinen fallen aus
• F :=F1∩F2: alle Fräsmaschinen fallen aus
• S: die Schleifmaschine fällt aus
eintreten:T =D∪F ∪S. Es gilt
P(D) = 0.33= 0.027, P(F) = 0.22 = 0.04, P(S) = 0.1, und
P(T) = 1−P( ¯D∩F¯∩S) = 1¯ −(1−P(D))(1−P(F))(1−P(S)) = 0.159
(b) Das Ereignis VerlangsamungV tritt ein, wenn sowohl kein TotalausfallT vorliegt als auch nicht alle Maschinen intakt sind. Mit dem EreignisB := ¯D1∩D¯2∩D¯3∩F¯1∩F¯2∩S¯istV = ¯T∩B.¯ Vorsicht:T¯undB¯sind nicht unabhängig:P(T∩B) = 06=P(T)P(B)!
P(V) = 1−P(T ∪B) = 1−P(T)−P(B) +P(T ∩B)
= 1−0.159−0.33·0.22·0.1 = 0.841
3. Es seiX eine diskrete Zufallsgröße mit Wahrscheinlichkeitsfunktion p(x) =
((x+ 1)c fallsx∈ {0,1,2},
0 sonst.
(a) Bestimmen Sie den Wert der Konstantenc.
(b) Ermitteln Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:P(X <2),P(X ≤2),P(0< X <2) undP(X = 1|X <2).
(c) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz vonX.
(d) Bestimmen Sie den kleinsten Wertx∈R, für denP(X ≤x)>0.5gilt.
Lösung:
(a) c= 1/6
(b) P(X <2) = 1/2,P(X≤2) = 1,P(0< X <2) =P(X = 1) = 1/3 undP(X = 1|X <2) =P(X= 1)/P(X <2) = (1/3)/(1/2) = 2/3.
(c) E(X) = 4/3,Var(X) = 5/9 (d) x= 2, das ist nicht der Median!
4. Eine ZufallsgrößeXbesitze folgende Verteilungsfunktion.
FX(x) =
0 x <0, 0.5 0≤x <1, 0.7 1≤x <2, 0.8 2≤x <3, 1 x≥3.
(a) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion, den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.
(b) Skizzieren Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktion und die Verteilungsfunktion.
Lösung:
(a) Werte vonXsind0,1,2,3. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion ist
k 0 1 2 3
p(k) =P(X =k) 0.5 0.2 0.1 0.2 E(X) = 1,Var(X) = 1.4,σX =√
1.4≈1.18 (b) to do
