Ubung zur Vorlesung¨
Multiples Testen
Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik Sommersemester 2010
Jun.-Prof. Dr. Thorsten Dickhaus RUD25, Raum 1.203 www.math.hu-berlin.de/~dickhaus/
dickhaus@math.hu-berlin.de Tel.: 030/2093-5841
Blatt 4 Aufgaben
16. Vergleich des Abschlusstests mit Bonferroni-Holm Nehmen Sie Modell 3.10 mit k= 3 an.
(a) Geben Sie die Testvorschrift des Bonferroni-Holm Tests f¨ur H= (Hij,1≤i < j ≤3) unter Verwendung der t-StatistikenTij,1≤i < j≤3, an.
(b) Bilden Sie den Abschlusstest f¨ur H, wobei der Test f¨ur die Schnitthypothese durch Bonferroni-Adjustierung gebildet werde.
(c) Welcher der unter (a) und (b) konstruierten multiplen Tests f¨ur H ist (hinsichtlich G¨ute) besser? Geben Sie ein Beispiel an, in dem sich einer der beiden Tests (bez¨uglich der Anzahl abgelehnter Hypothesen) als ¨uberlegen erweist.
(d) Betrachten Sie das Hypothesensystem ˜H= (Hi, i= 1,2,3) mitHi:{µi= 0}. Was l¨asst sich jetzt zum Vergleich von Bonferroni-Holm Test und Abschlusstest mit Bonferroni- Adjustierung aussagen?
17. Verbesserung von Bonferroni-Holm durch logische Restriktionen
Sei (Ω,A,P,H= (Hi, i∈I={1, . . . , m})) ein endliches multiples Testproblem mitm∗≤m Elementarhypothesen. Betrachten Sie den step-down Test, der analog zu Bonferroni-Holm arbeitet, aber die kritischen Werte
α`= α t`
, `= 1, . . . , m∗,
verwendet, wobei t` die maximal m¨ogliche Anzahl wahrer Hypothesen, gegeben, dass`−1 Hypothesen falsch sind, bezeichnet.
(a) Begr¨unden Sie, warum diese Prozedur ein multipler Test zum multiplen Niveauαist.
(b) Zeigen Sie, dass diese Prozedur (hinsichtlich G¨ute) besser als Bonferroni-Holm ist.
(c) Geben Sie unter Modell 3.10 mit k= 4 f¨ur H= (Hij,1≤i < j≤4) die Werte dert`
an.
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18. LSD-Test von Fisher und Bonferroni-Holm Test in Handrechnung
Betrachten Sie noch einmal die Problemstellung aus Aufgabe 14 (D¨ungemittelvergleiche).
(a) F¨uhren Sie alle paarweisen Mittelwertvergleiche zwischen den D¨ungemittelgruppen mit dem LSD-Test von Fisher f¨urα= 0.01 durch.
(b) F¨uhren Sie alle paarweisen Mittelwertvergleiche zwischen den D¨ungemittelgruppen mit dem Bonferroni-Holm Test f¨urα= 0.01 durch.
(c) Vergleichen Sie die unter (a) und (b) gewonnenen Aussagen mit denen, die der Tukey- Test aus Aufgabe 14.(b) geliefert hat.
19. Multiple range-Test nach Newman und Keuls in Handrechnung
Unter Modell 3.10 mit balanciertem Design undk=n= 5 seien die Gruppenmittel
¯
x1.= 20.7, x¯2.= 17.0, x¯3.= 16.1, x¯4.= 21.1, x¯5.= 26.5
beobachtet worden. Der Sch¨atzwert f¨ur die gepoolte Stichproben-Standardabweichung seis= 2.683. F¨uhren Sie zum Vergleich der Gruppenmittel den multiple range-Test nach Newman und Keuls mitα= 0.05 durch.
20. Programmieraufgabe
Betrachten Sie noch einmal das Beispiel von Notterman et al. aus Aufgabe 5.
(a) F¨uhren Sie unter Zuhilfenahme der R-Software alle 7457 gepaarten t-Tests mit dem Bonferroni-Holm Test zum multiplen Niveauα= 0.05 durch.
(b) Verifizieren Sie mit Hilfe derR-Software, dass ein step-up Test mit kritischen Werten αi =α/(10i), i= 1, . . . ,7457, ein multipler Test zum multiplen Niveauα= 0.05 f¨ur die Fragestellung unter (a) ist.
(c) F¨uhren Sie den unter (b) vorgeschlagenen step-up Test am Computer durch und ver- gleichen Sie ihn mit dem Bonferroni-Holm Test hinsichtlich der Anzahl abgelehnter Hypothesen.
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