cA und es gilt cA∈sA (Def.) t1

SS 05

Prof. Dr. K. Madlener L¨osungshinweise zu ¨Ubungsblatt 3 Aufgabe 3.1. ad 1: (Strukturelle Induktion im Termkalk¨ul) h

X i

: X ist Variable vom Typ s. Nach Definition ist val_A,z(X) =z(X). Der Zustand z ¨uberAund V ordnet der Variablen X einen Wert z(X) in der Menge s_A zu (Definition).

c

: c :→ s Konstante. Es ist val_A,z(c) = c_A und es gilt c_A∈s_A (Def.)

t1, . . . , tn

f(t1, . . . , tn)

: Sei Behauptung f¨urt1, . . . , tn erf¨ullt. Dann ist nach De- finition:

val_A,z(f(t₁, . . . , t_n)) =f_A(val_A,z(t₁), . . . , val_A,z(t_n)).

Wegen f_A:s¹_A× · · · ×sⁿ_A→s_A und Ind. Vor. gilt f_A(val_A,z(t₁), . . . , val_A,z(t_n))∈s_A. q. e. d.

ad 2: (Strukturelle Induktion im Termkalk¨ul).

h X

i

: val_A,z(X) =z(X)

=z⁰(X)

=val_A,z⁰(X)

c

: val_A,z(c) =c_A=val_A,z⁰(c) t₁, . . . , t_n

f(t₁, . . . , t_n)

: Sei Behauptung f¨ur t₁, . . . , t_n erf¨ullt. Dann gilt val_A,z(f(t₁, . . . , t_n)) =f_A(val_A,z(t₁), . . . , val_A,z(t_n))

=f_A(val_A,z⁰(t₁), . . . , val_A,z⁰(t_n))

=val_A,z⁰(f(t₁, . . . , t_n)) q. e. d.

Aufgabe 3.2. L¨osung L¨osung zu Aufgabenteil (1)

Sei V ⊇ {X, Y, Z, X⁰, Y⁰, Z⁰ :nat} eine Variablenmenge.

(1) 0 + 0

(2) ∃X⁰∃Y⁰¬X⁰ =Y⁰

(3) ∃X⁰(X⁰ = 0∧succ(Y)< X⁰) (4) ∀Y⁰(∃X⁰X⁰ = 0∧Y⁰ <0) L¨osung zu Aufgabenteil (2)

[1 ] Wir zeigen zun¨achst die Existenz einer solchen Substitution.

Sei σ ={X_i/s_i |i= 1, . . . , m} und ρ={Y_i/t_i |i= 1, . . . , n}.

Definiere

1

γ := {X_i/(s_iρ)|i= 1, . . . , mund X_i 6=s_iρ} ∪ {Y_i/t_i |i= 1, . . . , n und Y_i 6∈ {X₁, . . . , X_m}}

[1.1 ] Mit strukturellen Induktion im Termkalk¨ul zeigen wir nun tγ = (tσ)ρ f¨ur alle Termet ¨uber (S,Σ) undV. [1.1.1 ] t=X: Wir unterscheiden drei F¨alle:

[1.1.1.1 ]X =X_i f¨ur ein i∈ {1, . . . , m}.

Dann ist X_iγ =

(s_iρ fallsX_i 6=s_iρ X_i fallsX_i =s_iρ

=s_iρ

= (X_iσ)ρ

[1.1.1.2 ]X =Y_i f¨ur ein i∈ {1, . . . , n}.

Dann ist Y_iγ =

(t_i falls Y_i 6∈ {X₁, . . . , X_m}

s_jρ falls Y_i =X_j f¨ur ein j ∈ {1, . . . , m}

=

(Y_iρ fallsY_i 6∈ {X₁, . . . , X_m}

(X_jσ)ρ fallsY_i =X_j f¨ur ein j ∈ {1, . . . , m}

= (Y_iσ)ρ

[1.1.1.3 ]X 6∈ {X_i |i= 1, . . . , m} ∪ {Y_i |i= 1, . . . , n}.

Dann ist Xγ =X = (Xσ) = (Xσ)ρ

[1.1.2 ] t=c: Behauptung folgt unmittelbar aus Definition 4.10.

[1.1.3 ] t=f(t₁, . . . , t_n): Sei Behauptung f¨urt₁, . . . , t_n erf¨ullt.

Dann ist

f(t₁, . . . , t_n)γ =f(t₁γ, . . . , t_nγ) (Definition 4.10)

=f((t₁σ)ρ, . . . ,(t_nσ)ρ) (Vor.)

=f(t₁σ, . . . , t_nσ)ρ (Definition 4.10)

= (f(t₁, . . . , t_n)σ)ρ (Definition 4.10)

Also existiert eine (!) Substitution mit der geforderten Eigenschaft.

q.e.d. [[1.1]]

[2 ] Es muss noch die Eindeutigkeit der Substitution gezeigt werden.

Sei also γ⁰ weitere Substitution mit tγ⁰ = (tσ)ρ f¨ur alle t ¨uber (S,Σ) und V. Dann gilt insbesondere Xγ⁰ = (Xσ)ρ=Xγ f¨ur alle X ∈V.

[2.1 ] Wir zeigen

τ =τ⁰ gdw Xτ =Xτ⁰ f¨ur alle X ∈V

[2.1.1 ] Aus τ =τ⁰ folgt unmittelbar Xτ =Xτ⁰ f¨ur alle X ∈V. [2.1.2 ] Sei umgekehrt Xτ =Xτ⁰ f¨ur alleX erf¨ullt.

Seiτ ={X_i/s_i |i= 1, . . . , m}undX_j/s_j ∈τ f¨ur einj ∈ {1, . . . , m}.

Dann gilt

X_jτ =s_j (nach Definition 4.10)

=X_jτ⁰ (nach Vor.)

Da X_j 6= s_j folgt X_jτ⁰ 6= X_j. Somit ist X_j/s_j ∈ τ⁰ und insgesamt τ ⊆τ⁰. Analog folgert man τ⁰ ⊆τ und damit τ =τ⁰.

q.e.d.

Aufgabe 3.3. L¨osung zu (1)

Wir zeigen die G¨ultigkeit der Formel ϕ ≡ ∀XX + 0 = X in N at (siehe 4.4) unter Ver- wendung der Definitionen 4.17 und 4.18. Sei dazu V ⊇ {X : N at, Y : N at} eine geeignet gew¨ahlte Variablenmenge.

Es gilt: N at|=ϕ gdw f¨ur alle Zust¨ande z uber¨ V und N atgilt N at|=z ϕ.

Zeige: N at|=z ∀XX+ 0 =X N at|=_z ∀XX+ 0 =X

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at}(=N) gilt N at|=_z(X/n) X+ 0 = X

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at} gilt valN at,z(X/n)(X+ 0) = valN at,z(X/n)(X)

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at} gilt valN at,z(X/n)(X) +_{N at}valN at,z(X/n)(0) = valN at,z(X/n)(X)

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at} gilt z(X/n)(X) +_{N at}0_{N at}=z(X/n)(X) gdw

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at} gilt n+_{N at}0_{N at}=n

⇔ f¨ur allen ∈nat_{N at} gilt n=n

⇔ true

Verwende Definition 4.17 und 4.18 um zu zeigen, dass die Formel ¬(X = Y) → X ≤ Y nicht inN at g¨ultig ist. Verwende ein ’Gegenbeispiel’, etwa gilt 16= 0, aber nicht 1≤_{N at} 0.

Sei also z ein Zustand ¨uberV und N atmit z(X) = 1 und z(Y) = 0.

Widerlege: N at|=_z ¬(X =Y)→X ≤Y N at|=_z ¬(X=Y)→X ≤Y

⇔ N at6|=_z ¬(X=Y) oder N at|=_z X ≤Y

⇔ N at|=_z X =Y oder N at|=_z X ≤Y

⇔ val_{N at,z}(X) = val_{N at,z}(Y) oder val_{N at,z}(X)≤_{N at} val_{N at,z}(Y)

⇔ z(X) = z(Y) oder z(X)≤_{N at} z(Y)

⇔ 1 = 0 oder 1 ≤_{N at}0

⇔ f alse oder f alse

⇔ f alse L¨osung zu (2)

Sei ϕ ≡X = 0∨(∃Y X = succ(Y)). Das ϕ zugeordnete Induktionsprinzip lautet:

(ϕ₀∧ϕ_X→succ(X))→ϕ∀X

mit

ϕ₀ ≡(0 = 0∨ ∃Y0 = succ(Y))

ϕ_X→succ(X) ≡ ∀X(ϕ →(succ(X) = 0∨(∃Ysucc(X) = succ(Y)))) ϕ∀X ≡ ∀Xϕ

L¨osung zu (3)

Sei ϕ_{P rimzahl} definiert durch

∀Y∀Z((X =Y ·Z →(Y = succ(0)∨Z = succ(0)))∧X 6= succ(0))

Es muss gezeigt werden, dass ϕ_{P rimzahl} die Menge P der Primzahlen innat definiert. Ver- wende hierzu wieder Definitionen 4.17 und 4.18.

Sei n ∈nat_{N at}, z Zustand ¨uber V und N at.

Zeige: N at|=_z(X/n)ϕ_{P rimzahl}⇔n ist Primzahl.

N at|=_z(X/n)ϕ_{P rimzahl}

⇔ {Definition 4.17}

f¨ur alle a, b∈nat_{N at} gilt

N at|=z(X/n)(Y /a)(Z/b)((X =Y ·Z →(Y = succ(0)∨Z = succ(0)))∧X 6= succ(0))

⇔ {Definition 4.17 wiederholt anwenden}

f¨ur alle a, b∈nat_{N at} gilt (n6=a·b oder a= 1 oder b= 1) und n 6= 1

⇔ {Algebra}

n ist Primzahl L¨osung zu (4)

Sei ϕ_ggT definiert durch

((Z|X∧Z|Y)∧ ∀Z⁰((Z⁰|X∧Z⁰|Y)→Z⁰|Z))

Die Formel ϕ_ggT besitzt drei freie Variablen, n¨amlich X, Y, Z. Anschaulich sagt die Formel ϕ_ggT, dass Z ein gemeinsamer Teiler vonX und Y ist (Z|X∧Z|Y), und dass jeder weitere gemeinsame Teiler Z⁰ von X und Y ein Teiler vonZ ist. Die Teilbarkeitsrelation | ⊆Nat² ist ebenfalls in N at definierbar. Sie l¨asst sich durch folgende Formel definieren:

ϕ_|≡ ∃Z Y =Z·X,

d.h. X|Y (X teilt Y), wenn es eine FaktorisierungY =Z·X gibt.

Es muss gezeigt werden, dass ϕ_ggT die dreistellige Relation ggT⊆Nat³ definiert. Verfahre hierbei analog zu vorherigem Aufgabenteil.

Aufgabe 3.4. Sei α folgendes Programm ¨uber einer beliebigen Signatur und einer Varia- blenmenge V mit V ⊇ {X, Y, T}:

T :=X; X :=Y; Y :=T; Dabei seien T, X, Y verschiedene Variablen.

ad (1) Zeige: Es gibt eine Algebra A und Zust¨ande z, z⁰, so dass z[[α]]z⁰ mit z⁰ =z(X/val_A,z(Y), Y /val_A,z(X)) nicht gilt.

W¨ahle z.B. die Algebra N at und einen Zustand z : V → N at mit z(T) = 3, z(X) = 4, z(Y) = 5. Dann gilt z[[α]]z(X/5, Y /4, T /4), aber nichtz[[α]]z(X/5, Y /4).

ad (2) F¨ur alle Algebren A und Zust¨ande z gilt

z[[α]]z(X/valA,z(Y), Y /valA,z(X), T /valA,z(X)) Beweis:

Unter Verwendung der Definition 4.27 ergibt sich:

(1) z[[T :=X; ]]_Az⁰ mit z⁰ =z(T /val_A,z(X)) (2) z⁰[[X :=Y; ]]_Az⁰⁰ mit

z⁰⁰ =z⁰(X/val_A,z⁰(Y))

=z(T /val_A,z(X))(X/val_{A,z(T /valA,z(X))}(Y))

=z(T /val_A,z(X))(X/val_A,z(Y))

=z(T /val_A,z(X), X/val_A,z(Y)) (3) z⁰⁰[[Y :=T; ]]_Az⁰⁰⁰ mit

z⁰⁰⁰ =z⁰⁰(Y /valA,z⁰⁰(T))

=z(T /valA,z(X), X/valA,z(Y))(Y /val_{A,z(T /valA,z(X),X/valA,z(Y))}(T))

=z(T /val_A,z(X), X/val_A,z(Y), Y /val_A,z(X))

(4) Mit obigen Ergebnissen ergibt sich insgesamt (vergl. Definition 4.27, Komposition) die Behauptung.

Informationen zur Vorlesung:

http://www-madlener.informatik.uni-kl.de/ag-madlener/teaching/ss2005/gdp/gdp.html