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Proseminar Analysis I, SS 11

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Academic year: 2021

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Proseminar Analysis I, SS 11

1. Klausur

1. Seien a, b ∈ R mit a, b ≥ 0. Zeigen Sie

a + b

2 ≥ √

ab .

2. Bestimmen Sie (falls m¨ oglich) Minimum, Maximum, Infimum, Supremum der Menge { 3n + 1

5n − 1 | n ∈ N } .

3. Gegeben ist die rekursiv definierte Folge (x

n

)

n≥1

mit

x

1

= 3, x

n+1

= 1

2 (x

n

+ 3 x

n

) f¨ ur n ≥ 1 .

(a) Zeigen Sie x

n

≥ √

3 f¨ ur alle n ≥ 1.

(b) Zeigen Sie, dass (x

n

)

n≥1

konvergent ist und bestimmen lim

n→∞

x

n

.

4. Es seien (a

n

)

n∈N

eine beschr¨ ankte Folge und (b

n

)

n∈N

eine konvergente Folge in R . Zeigen Sie lim inf

n→∞

(a

n

+ b

n

) = lim inf

n→∞

a

n

+ lim

n→∞

b

n

.

5. Konstruieren Sie eine Folge, sodass 1, 2, 3, 4 H¨ aufungswerte dieser Folge sind.

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