Die Integralrechnung Die Integralrechnung
Flächen, Volumen, Weglängen Flächen, Volumen, Weglängen
Die Integralrechnung löst das Flächenproblem Die Integralrechnung löst das
Flächenproblem
Gegeben: k: y = f(x), Grenzen a und b Gesucht: I
Gegeben: k: y = f(x), Grenzen a und b Gesucht: I
Die Integralrechnung bestimmt eine
Stammfunktion I(x) zur Funktion f(x) mit der Eigenschaft:
Die Integralrechnung bestimmt eine
Stammfunktion I(x) zur Funktion f(x) mit der Eigenschaft:
y = f x ( ) = dI x ( )
y = f x ( ) = dI x dx ( )
dx
f x ( )
∫ ∫ f x ( ) ⋅ ⋅ dx dx = = I x I x ( ) + ( ) + C C
Zu einer Funktion f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen I(x), weil die
Ableitung von C Null ergibt.
Unbestimmt ist ein Integral, wenn die
Integrationsgrenzen a und b nicht bekannt sind.
Beispiel:
Zu einer Funktion f(x) gibt es unendlich viele Stammfunktionen I(x), weil die
Ableitung von C Null ergibt.
Unbestimmt ist ein Integral, wenn die
Integrationsgrenzen a und b nicht bekannt sind.
Beispiel:
Das unbestimmte Integral
x
2∫ ∫ x
2⋅ ⋅ dx dx = =
xx3333+ + C C
Das bestimmte Integral Das bestimmte Integral
Das bestimmte Integral liefert eine
Masszahl I(b)-I(a), welche als Integral bezeichnet wird.
Bestimmt ist das Integral, wenn die Grenzen a und b bestimmt sind.
Beispiel:
Das bestimmte Integral liefert eine
Masszahl I(b)-I(a), welche als Integral bezeichnet wird.
Bestimmt ist das Integral, wenn die Grenzen a und b bestimmt sind.
Beispiel:
f x( )dx
a b
∫
= ⎡⎣I x( )⎤⎦ba = I b( ) −I a( )x2dx
2
∫
= ⎡⎣ ⎤⎦x33 2 = 83 −13 = 73Spezialfall
I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = xn ⋅dx
a b
∫
I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = xn+1 n+ 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
a b
I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = bn+1
n+ 1 −an+1 n+ 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥ I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = xn ⋅dx
a b
∫
I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = xn+1 n+ 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
a b
I x( )
⎡⎣ ⎤⎦ab = bn+1
n+ 1 −an+1 n+ 1
⎡
⎣⎢ ⎤
⎦⎥
I x( ) = xn+1
n + 1 + C
y = f x( ) = xn
⇓
Bestimmtes Integral
⇓
Grenzen :a und b bekannt
Unbestimmtes Integral
Grenzen :a und b unbekannt
