Merkzettel „Integralrechnung“

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Merkzettel „Integralrechnung“

10.2.2016

Grundlagen:

1. HS: Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig. Dann ist F(𝑥) = ∫ f(𝜉) 𝑑𝜉

_𝑎^𝑥

auf [a,b] stetig differenzierbar, und es gilt: F

^′

(𝑥) =

_𝑑𝑥^𝑑

∫ f(𝜉) 𝑑𝜉

_𝑎^𝑥

= f(𝑥) 2. HS: Sei 𝑓: 𝐼 → ℝ stetig, und F sei eine Stammfunktion von f. Dann gilt für 𝑎, 𝑏 ∈ 𝐼: ∫ f(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

= F(𝑏) − F(𝑎) = F(𝑥) |

^𝑏_𝑎

1. MWS: Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig. Dann ∃𝜉[𝑎, 𝑏]: ∫ f(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

= f(𝜉) (𝑏 − 𝑎)

2. MWS: Sei 𝑓: [𝑎, 𝑏] → ℝ stetig und 𝜔: [𝑎, 𝑏] → ℝ integrierbar, und ω(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], ∫ ω(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

> 0.

Dann ∃𝜉[𝑎, 𝑏]: ∫ f(𝑥) ω(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

= f(𝜉) ∫ ω(𝑥) 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

Grundintegrale:

∫ 𝑥

^𝑛

𝑑𝑥 =

^𝑥𝑛+1

𝑛+1

+ 𝐶 ∫

¹_𝑥

𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶 ∫ 𝑒

^𝑥

𝑑𝑥 = 𝑒

^𝑥

+ 𝐶 ∫ 𝑎

^𝑥

𝑑𝑥 =

^𝑎𝑥

ln 𝑎

+ 𝐶 ∫

_√𝑥¹₂₊₁

𝑑𝑥 = arsinh 𝑥 + 𝐶 = ln(𝑥 + √𝑥

²

+ 1) + 𝐶

∫ sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶 ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝐶 ∫

_{cos² 𝑥}¹

𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝐶 ∫

_{sin² 𝑥}¹

𝑑𝑥 = − cot 𝑥 + 𝐶

∫ sinh 𝑥 𝑑𝑥 = cosh 𝑥 + 𝐶 ∫ cosh 𝑥 𝑑𝑥 = sinh 𝑥 + 𝐶 ∫

_{cosh² 𝑥}¹

𝑑𝑥 = tanh 𝑥 + 𝐶 ∫

_{sinh² 𝑥}¹

𝑑𝑥 = − coth 𝑥 + 𝐶

∫

_√1−𝑥¹ ₂

𝑑𝑥 = arcsin 𝑥 + 𝐶 (|𝑥| < 1) ∫

_1+𝑥²¹

𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝐶 ∫

_√𝑥¹₂₋₁

𝑑𝑥 = arcosh 𝑥 + 𝐶 = ln |𝑥 + √𝑥² − 1| + 𝐶 (|𝑥| > 1)

∫

_1−𝑥²¹

𝑑𝑥 = artanh 𝑥 + 𝐶 =

¹

2

ln

^1+𝑥

1−𝑥

+ 𝐶 (|𝑥| < 1) ∫

_1−𝑥²¹

𝑑𝑥 = arcotanh 𝑥 + 𝐶 =

¹

2

ln

^𝑥+1

𝑥−1

+ 𝐶 (|𝑥| > 1) ∫ ln 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝐶 Integrationsmethoden:

a) ∫ 𝑓′𝑔 = 𝑓𝑔 − ∫ 𝑓𝑔

^′

b) ∫ 𝑓

^𝑛

𝑓

^′

𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑓 c) ∫

^f_f(𝑥)^′(𝑥)

𝑑𝑥 … 𝑢 = f(𝑥) d) ∫ R(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑎𝑥 + 𝑏 e) ∫ R(𝑒

^𝑎𝑥

) 𝑑𝑥 … 𝑢 = 𝑒

^𝑎𝑥

f) ∫ R (𝑥, √

^{𝑘𝑎𝑥+𝑏}_{𝑐𝑥+𝑑}

𝑑𝑥) … 𝑢 = √

^{𝑎𝑥+𝑏}

𝑐𝑥+𝑑

𝑘

g) ∫ 𝑅(sin 𝑥 , cos 𝑥 , tan 𝑥 , cot 𝑥) … tan

^𝑥₂

= 𝑢; 𝑑𝑥 =

_1+𝑢²₂

; sin 𝑥 =

_1+𝑢²^2𝑢

; cos 𝑥 =

^1−𝑢²_1+𝑢²

h) ∫ R(𝑥, √𝑎

²

+ 𝑥

²

) 𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 sinh 𝑢 i) ∫ R(𝑥, √𝑥

²

− 𝑎

²

)𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 cosh 𝑢 j) ∫ R(𝑥, √𝑎

²

− 𝑥

²

)𝑑𝑥 … 𝑥 = 𝑎 sin 𝑢 ˅ 𝑥 = 𝑎 cos 𝑢 → g) k) ∫ R (𝑥, √𝑎

²

+ (𝑏𝑥

²

)) 𝑑𝑥 … 𝑥 =

^𝑏_𝑎

tan 𝑢 l) ∫ R(𝑥, √𝑎𝑥

²

+ 𝑏𝑥 + 𝑐) 𝑑𝑥 … 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑠𝑐ℎ𝑒 𝐸𝑟𝑤𝑒𝑖𝑡𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 → h), i) oder j)

m) ∫ p(𝑥) 𝑒

^𝑎𝑥

𝑑𝑥 → a) mit 𝑓

^′

= 𝑒

^𝑎𝑥

; 𝑔 = p(𝑥) n) ∫ p(𝑥) sin(𝑎𝑥) 𝑑𝑥 → a) mit 𝑓

^′

= sin(𝑎𝑥) ; 𝑔 = p(𝑥) o) wie n) mit cos(𝑎𝑥) p) ∫

_𝑐𝑜𝑠¹_𝑚𝑥

𝑑𝑥 =

^{sin 𝑥}

(𝑚−1) 𝑐𝑜𝑠^𝑚−1𝑥

+

^𝑚−2

𝑚−1

∫

_{𝑐𝑜𝑠𝑚−2}¹ _𝑥

𝑑𝑥 q) ∫ 𝑠𝑖𝑛

^𝑚

𝑥 𝑑𝑥 = −

^{cos 𝑥 𝑠𝑖𝑛}_𝑚^𝑚−1𝑥

+

^𝑚−1_𝑚

∫ 𝑠𝑖𝑛

^𝑚−2

𝑥 𝑑𝑥 r) ∫ f

⁻¹

(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑥 f

⁻¹

(𝑥) − F(f

⁻¹

(𝑥)) + 𝐶; 𝑚𝑖𝑡 F(𝑥) = ∫ f(𝑥) 𝑑𝑥 s) ∫ f(g(𝑥)) g

^′

(𝑥) 𝑑𝑥 … 𝑢 = g(𝑥) Koordinatentransformation:

Jacobi: 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝑢, 𝑣, 𝑤) = (

𝜕𝑥

𝜕𝑢

𝜕𝑥

𝜕𝑣

𝜕𝑥

𝜕𝑦 𝜕𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑦

𝜕𝑣

𝜕𝑦

𝜕𝑧 𝜕𝑤

𝜕𝑢

𝜕𝑧

𝜕𝑣

𝜕𝑧

𝜕𝑤)

Polar: ( 𝑥 = 𝑟 cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 sin 𝜑) ; det ( 𝜕(𝑥, 𝑦)

𝜕(𝑟, 𝜑) ) = 𝑟 Zylinder: (

𝑥 = 𝑟 cos 𝜑 𝑦 = 𝑟 sin 𝜑

𝑧 = 𝑧 ) ; det (

^{𝜕(𝑥,𝑦,𝑧)}

𝜕(𝑟,𝜑,𝑧)

) = 𝑟

²

Kugel: ( 𝑥 = 𝑟 sin 𝜗 cos 𝜑

𝑦 = 𝑟 sin 𝜗 sin 𝜑 𝑧 = 𝑟 cos 𝜗

) ; det ( 𝜕(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝜕(𝜗, 𝜑, 𝑟) ) = 𝑟

²

sin 𝜗

Sonstiges:

Bogenlänge

von r⃗(𝑡): 𝑠 = ∫ |𝑟⃑′(𝑡)| 𝑑𝑡

^𝑡𝑏

𝑡𝑎

= ∫ √𝑥̇(𝑡)

^{𝑡𝑏 2}

+ 𝑦̇(𝑡)

²

+ 𝑧̇(𝑡)

²

𝑑𝑡

𝑡𝑎

Bogenl.

von y=y(x) 𝑠 = ∫ √1 + 𝑦′² 𝑑𝑥

𝑏 𝑎

Bogenl.

v. r=r(ϕ) 𝑠 = ∫ √𝑟² + ( 𝑑𝑟 𝑑𝜑 )

2

𝑑𝜑

𝜑𝑏

𝜑𝑎

Kurvenintegral des Skalarfeldes ρ(𝑟⃗)

entlang d. Kurve 𝐶 = {r⃗(𝑡) ; 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏}: ∫ ρ 𝑑𝑠

𝐶

= ∫ ρ(r⃗(𝑡))|r⃗

^{𝑏 ′}

(𝑡)| 𝑑𝑡

𝑎

Kurvenintegral des Vektor-

feldes F⃗⃗(𝑟⃗) entl. d. Kurve C: ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑟⃗

𝐶

= ∫ F⃗⃗(r⃗(𝑡)) ∙ r⃗

^{𝑏 ′}

(𝑡) 𝑑𝑡

𝑎

Kurvenintegral Gradientenfeld: Wenn F⃗⃗(r⃗(𝑡)) = ∇ 𝜙(r⃗(𝑡)), dann ist ∫ 𝐹⃗ 𝑑𝑟⃗

_𝐶

= 𝜙(r⃗(𝑏)) − 𝜙(r⃗(𝑎)) Notw. Bed. in ℝ

²

: 𝜕

𝜕𝑦 𝐹

_𝑥

= 𝜕

𝜕𝑥 𝐹

_𝑦

Komplanation y=y(x)

(Drehung um x-Achse) 𝑂

_𝑥

= 2𝜋 ∫ 𝑦√1 + 𝑦′² 𝑑𝑥

_𝑎^𝑏

Komplanation r⃗(𝑡) ∈ ℝ

²

(Drehung um x-Achse) 𝑂

_𝑥

= 2𝜋 ∫ 𝑦√𝑥̇² + 𝑦̇² 𝑑𝑡

𝑡𝑏

𝑡𝑎

Volumen y=y(x)

(Drehung um x- und y-Achse) 𝑉

_𝑥

= 𝜋 ∫ 𝑦² 𝑑𝑥

_𝑥^𝑥₁²

; 𝑉

_𝑦

= 𝜋 ∫ 𝑥² 𝑑𝑦

_𝑦^𝑦₁²

= 𝜋 ∫ 𝑥²𝑦′ 𝑑𝑥

_𝑥^𝑥₁²

Volumen

r⃗(𝑡) ∈ ℝ

²

𝑉

_𝑥

= 𝜋 ∫ 𝑦²𝑥̇ 𝑑𝑡

_𝑡^𝑡𝑏

𝑎

; 𝑉

_𝑦

= 𝜋 ∫ 𝑥²𝑦̇ 𝑑𝑡

_𝑡^𝑡𝑏

𝑎

Volumsintegral allg.: 𝐼 = ∫ ∫ ∫ ρ(𝑥, 𝑦, 𝑧)

_𝑎^𝑏𝑥

𝑥

𝑑𝑥

𝑏𝑦

𝑎𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑧

𝑏𝑧

𝑎𝑧

=∫ ∫ ∫ 𝑟

_𝑎^{𝑏𝑟 2}

sin 𝜗 ρ(𝑟, 𝜑, 𝜗)

𝑟

𝑑𝑟

𝑏𝜑

𝑎𝜑

𝑑𝜑 𝑑𝜗

𝑏𝜗

𝑎𝜗

= ∫ ∫ ∫ 𝑟

_𝑎^{𝑏𝑟 2}

ρ(𝑟, 𝜑, 𝑧)

𝑟

𝑑𝑟

𝑏𝜑

𝑎𝜑

𝑑𝜑 𝑑𝑧

𝑏𝑧 𝑎𝑧

𝐼

_{𝐾𝑒𝑝𝑙𝑒𝑟}

= 𝑥

_𝑒

− 𝑥

_𝑎

6 (𝑦

𝑎

+ 4𝑦

_𝑚

+ 𝑦

_𝑒

) 𝐼

_{𝑆𝑖𝑚𝑝𝑠𝑜𝑛}

= 𝑥

_𝑒

− 𝑥

_𝑎

6𝑛 [𝑦

0

+ 4(𝑦

₁

+ 𝑦

₃

+ ⋯ ) + 2(𝑦

₂

+ 𝑦

₄

+ ⋯ ) + 𝑦

_2𝑛

] Ansatz bei doppelt komplexer NST

eines Nenners (x²+px+q)²: ∫ 𝑃(𝑥)

(𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞)² 𝑑𝑥 = 𝐴𝑥 + 𝐵

𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 + 𝐶 ∫ 1

𝑥² + 𝑝𝑥 + 𝑞 𝑑𝑥 → 𝑏𝑒𝑖𝑑𝑒 𝑆𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑎𝑏𝑙𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛 𝑛𝑎𝑐ℎ 𝑥