(4 Punkte) Seir >0 undg∈C0(∂Br),Br⊂Rn

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Wintersemester 2012/2013 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Theorie partieller Differentialgleichungen¨ Blatt 6

Aufgabe 6.1. (4 Punkte)

Seir >0 undg∈C⁰(∂Br),Br⊂Rⁿ. Definiere u(x) :=

Z

∂B_r

K(x, y)g(y)dy

mit

K(x, y) := r²− |x|² nω_nr

1

|x−y|ⁿ f¨urx∈Brundy∈∂Br. Dann gelten

(i) u∈C^∞(B_r), (ii) ∆u= 0 inB_r,

(iii) ul¨asst sich stetig auf∂B_rfortsetzen und die Fortsetzung ˜uerf¨ullt dort ˜u=g.

Aufgabe 6.2. (4 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ offen, beschr¨ankt und zusammenh¨angend. Seien u, v ∈ C⁰ Ω

. Sei ueine C⁰-subharmonische Funktion und v eineC⁰-superharmonische Funktion. Gelte u=v auf ∂Ω. Dann gilt entweder u < v in Ω oderu≡v. Im zweiten Fall sind beide Funktionen harmonisch.

Aufgabe 6.3. (4 Punkte)

Definition:Sei Ω⊂Rⁿ offen,u∈C⁰(Ω). Dann erf¨ullt udie Ungleichung ∆u≥0 im Viskosit¨atssinne, falls f¨ur jeden Punktx0∈Ω, jede KugelBr(x0)⊂Ω,r∈R+, und jede Funktionϕ∈C²(Br(x0)) mit

u(x0) =ϕ(x0) und

u(x)≤ϕ(x) f¨urx∈Br(x0) folgt, dass

∆ϕ(x0)≥0.

Analog definiert man ∆u≤0 im Viskosit¨atssinne. Falls ∆u≥0 und ∆u≤0 im Viskosit¨atssinne gelten, so heißtuim Viskosit¨atssinne harmonisch oder eine Viskosit¨atsl¨osung von ∆u= 0.

Sei Ω ⊂Rⁿ offen, u∈C⁰(Ω). Zeige, dass ugenau dann im Viskosit¨atssinne harmonisch ist, wenn u(nach bisheriger Definition) harmonisch ist.

Tipp:Zeige, dass eine Viskosit¨atsl¨osung von ∆u= 0 auchC⁰-subharmonisch sowieC⁰-superharmonisch ist.

Aufgabe 6.4. (4 Punkte)

Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschr¨ankt,∂Ω∈C².

(i) Zeige, dass es ein m∈Nund offene, beschr¨ankte MengenU_i, V_i⊂Rⁿ f¨ur i∈ {1, . . . , m} gibt, so dass U_i bV_i ist,∂Ω⊂Sm

i=1U_i gilt und so dass∂Ω∩V_i Graph einerC²-Funktionu_i ist und Ω∩V_i jeweils auf einer Seite dieses Graphen liegt. Zeige, dass man die Mengen (V_i)i∈{1,...,m} so w¨ahlen kann, dassu_i die Gradientenabsch¨atzungkDuik ≤ ¹₈ erf¨ullt.

(ii) Zeige, dass Ω eine gleichm¨aßige ¨außere (und innere) Kugelbedingung erf¨ullt.

Hinweis: Sei i ∈ {1, . . . , m} fest. Dann ist ∂Ω∩Vi Graph einer C²-Funktion u. Sei x = (ˆx, u(ˆx)) ∈

∂Ω∩U_i. Seir∈R+ klein. Bestimme ¯x∈Rⁿ⁻¹, so dass die Funktion v:Bⁿ⁻¹_r (ˆx)→R, y7→p

r²− |y−xˆ−x|¯²−p

r²− |¯x|²+u(ˆx)

die Bedingung Dv(ˆx) = Du(ˆx) erf¨ullt. Zeige dann mit Hilfe der Taylorentwicklung, dass f¨ur kleine r >0 die Funktion u−v:B_rⁿ⁻¹(ˆx)\ {ˆx} →Rpositiv ist.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen1213.html#PDE Abgabe:Bis Montag, 03.12.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.