1 Anzahl der möglichen Ziehungen im Lotto (6 aus 49):

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Fakultät Wahrscheinlichkeitsrechnung: Fakultät

Eine Anzahl von Studenten wird zum Testat nach vorne geholt.

Wie viele Möglichkeiten gibt es , diese aufzustellen?

1

1 (A) A

n ·(n-1) ·…·2 ·1 3 ·2 = 6 CAB; CBA;

ACB; BCA;

ABC; BAC

2 AB; BA

3 (A, B, C)

Anzahl der Möglichkeiten Möglichkeiten

Anzahl der Studenten

2 (A, B)

n

M M M

Fakultät

0! := 1 1! = 1 2! = 1·2 = 2 3! = 1·2 ·3 = 6

n! = 1·2 ·3 · …·n

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialkoeffizient Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialkoeffizient

Anzahl der möglichen Ziehungen im Lotto (6 aus 49):

49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44 Möglichkeiten 49 · 48 Möglichkeiten

Erste und zweite Kugel:

48 Möglichkeiten Zweite Kugel (kein Zurücklegen):

49 Möglichkeiten Erste Kugel:

Erste bis sechste Kugel:

M

Ist das das interessierende Ergebnis? Nein! – Warum?

1. Ziehung: {7; 18; 5; 43; 1; 22}

2. Ziehung: {18; 7; 5; 43; 1; 22}

Beide Ziehungen sind gleich,

(Reihenfolge der Zahlen interessiert nicht)

Wie viele Reihenfolgen gibt es für sechs Kugeln? 6!

Also ist das richtige Ergebnis:

1 2 3 4 5 6

44 45 46 47 48 49

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

(

49 6

)

!

! 6 1 2 3 4 5

6 = ⋅ −

⋅

⋅

⋅

⋅

Behauptung: ⋅ = 6!⋅

(

43⋅42⋅ ⋅2⋅1

)

K

Definition:

( )

^

 



= 

−

⋅ 6

: 49

! 6 49

! 6

! 49

(

n k

)

!

! k

! : n k n

−

= ⋅







 gibt die Anzahl der Möglichkeiten an, aus einer Menge mit n Elementen k Elemente auszuwählen, wobei die Reihenfolge der ausgewählten Elemente nicht berücksichtigt wird.

Binomialkoeffizient

n 1 n 0 n =



 



=



 



 n

1 n

n 1

n =



 





= −



 



 n

k für k 0

n= >

















= −









k n

n k n

S:

w m

w m

m m

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung

Phänotyp: krank

gesund

PKU ist eine rezessiv autosomal vererbte monogene Krankheit.

Wie sehen die Genotypen im Stammbaum aus?

m: mutantes Allel w: Wildtyp Vererbung von Phenylkentonurie (PKU)

(

KindkrankS

)

P

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung



 



= 

w :m M w; :m V krank Kind P



 



= 

w :m M w; :m m V P m

4 1 2

1 2

1 ⋅ =

= w

m

w m

? S:

(

Kindgesund S

)

P

( )

4 3 4 1 1 S krank Kind P

1− = − =

=

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung

S:

w m

w

m P

(

1.Kindkrank,2.Kindgesund S

)

16 3 4

3 4

1 ⋅ =

=

S:

? ?

w m

w

m P

(

1Kindkrank,1Kindgesund S

)



 



 ⋅

= 4

3 4

⋅ 1

2 8

= 3

(

2Kinderkrank,3Kinder gesund S

)

S: P w m

w m

? ? ? ? ?

Reihenfolge

⋅



 



 2 5

gesundes Kind

4⋅ 3

krankes Kind

4⋅ 1

gesundes Kind

4⋅ 3

gesundes Kind

4 3

3 2

4 3 4

1 2

5 



 



⋅ 



 



⋅ 







= 

krankes Kind

4⋅

= 1

p: Wahrscheinlichkeit für den Einzelerfolg n: Zahl der unabhängigen Experimente k: Zahl der Erfolge

( )

p^k

(

1 p

)

^{n k}

k p n , k , n

B ⋅ ⋅ − ⁻







=

Binomialverteilung:

0.10 0.20 0.30 0.40

W'keit

Dichtefunktion

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung

S:

w m

w m

? ? ? ? ?

p = 1/4 (W. für krankes Kind)

⇒(1-p) = 3/4 (W. für gesundes Kind)

( ) (

14

) (

34

)

0,237

0 S 5 Kinder kranke 0

P ⋅ ⁰⋅ ⁵ =







=

( ) (

14

) (

34

)

0,396

1 S 5 Kind krankes 1

P ⋅ ¹⋅ ⁴ =







=

( ) (

14

) (

34

)

0,264

2 S 5 Kinder kranke 2

P ⋅ ²⋅ ³ =







=

( ) (

14

) (

34

)

0,088

3 S 5 Kinder kranke 3

P ⋅ ³⋅ ² =







=

( ) (

14

) (

34

)

0,015

4 S 5 Kinder kranke 4

P ⋅ ⁴⋅ ¹ =



 



=

5



0.00 0.10 0.20 0.30 0.40

0 1 2 3 4 5

Anzahl der kranken Kinder f Dichtefunktion

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung

Verteilungsfunktion

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1 2 3 4 5

Anzahl der kranken Kinder F

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable

x

y

z

Wahrscheinlichkeitsmodell S

Wahrscheinlichkeit P

Menge der reellen Zahlen

1

2

3

4

5

R Zuordnung

Abbildung X

X angewendet auf ein Element aus S hat als Ergebnis eine Zahl

X: Zufallsgröße / Zufallsvariable

?

20 P= 1

Definition einer Zufallsvariablen X Definition einer Zufallsvariablen X

X: Anzahl der Ecken

( )

=

X 3

4

( )

=

X 0

( )

=

X

Y: rot →1 blau →2

1

( )

= 2 Y

( )

=

Y

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable

S

20 P= 1

Frage:

P(X = 3) = ?

X: Anzahl der Ecken

(Schlamperei)

korrekte Schreibweise:

P( {a∈S | X(a) = 3}) = 20

5

Oft wird die „schlampige“ Schreibweise benutzt.

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable

S

20 P=1

X: Anzahl der Ecken

P(X = 4) = P(X = 0) = P(X = 2) = P(X = 3) =

P(X = 5) = 5 2 20

8 =

0 4 1 20

5 =

20 7 0

P(X ≤4) = P(X ≤0) = P(X ≤2) = P(X ≤3) =

P(X ≤5) = 5 2

20 13

1 1 P(X < 0) = 0

5 2

Verteilungsfunktion: F(a) = P(X ≤≤≤≤a)

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 3 4 5 X

f

Dichtefunktion

der Zufallsvariablen X auf dem Wahrscheinlichkeitsmodell (S, P)

2 1

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0 3 4 5 X

F

Verteilungsfunktion

1 2

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable

Lageparameter Lageparameter

Stichprobe

Stichprobe ModellModell

∑

= h_jw_j

x µ⁼

∑

piwi

Erwartungswert

Beispiel Beispiel

7/20 4

1/4 3

2/5 0

pi

wi

∑

=_n¹ x_i x

Mittelwert

15 . 2 4 3

0⋅²₅+ ⋅¹₄+ ⋅⁷₂₀=

= µ

( )

∑

⁻

= −

2 1 i

n

2 1 x x

s

Empirische Varianz

=+s² s

Emp. Standardabweichung

( )

∑

⁻

= ²

2 µ

σ piwi

Varianz

=+σ² σ

Standardabweichung

( ) ( )

(4 2.15)2 3.23 720

152 . 2 4 3 2 1 15 . 2 5 0 2 2

=

−

⋅ +

−

⋅ +

−

⋅

= σ

80 . 1 σ=

Nachtrag zur Binomialverteilung Nachtrag zur Binomialverteilung

( )

p^k

(

1 p

)

^{n k}

k p n , k , n

B _⋅ ⋅ − ⁻







=

Erwartungswert: µ=n⋅p Varianz: σ²=n⋅p⋅

(

1−p

)

Standardabweichung: σ=⁺n⋅p⋅

(

1−p

)

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

0^° Zufallsvariable: gemessener Winkel W P: alle Winkel gleichwahrscheinlich

P(W = 180°) = ?

Messgenauigkeit: 1° ⇒ 360 Möglichkeiten mit P=1/360 Messgenauigkeit: 0.1° ⇒ 3600 Möglichkeiten mit P=1/3600 Messgenauigkeit: 0.01° ⇒ 36000 Möglichkeiten mit P=1/36000

M

n Möglichkeiten mit P=1/n n 0 n→∞ ⇒ 1→

P(W = 180°) = 0

0 90 180 270 360 X 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 F

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

0^° Zufallsvariable: gemessener Winkel W P: alle Winkel gleichwahrscheinlich

Verteilungsfunktion: F(a) = P(W ≤a)

F(0) = P(W ≤0°) = 0 F(90) = P(W ≤90°) = ₄¹ F(180) = P(W ≤180°) = ₂¹

F(360) = P(W ≤360°) = 1 F(270) = P(W ≤270°) = ₄³

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

Wahrscheinlichkeitsrechnung:

stetige Zufallsvariable

0 90 180 270 360 X

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 F

Verteilungsfunktion F

0 90 180 270 360 X

f

Dichtefunktion f

360 1

1

F f= ′

Lage

Lage-- und Streuungsparameter und Streuungsparameter

Diskrete Zufallsvariable

Diskrete Zufallsvariable Stetige ZufallsvariableStetige Zufallsvariable

∑

^⋅

= pi wi

Erwartungswert µ ⁺

∫

^∞

( )

∞

−

⋅

= x fxdx µ

Varianz ^σ2=

∑

pi^⋅

(

wi^−µ

)

^{2 +}

∫

^∞

( ) ( )

∞

−

⋅

−

= x ² fxdx

2 µ

σ

IMBIE

Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable Wahrscheinlichkeitsrechnung: Zufallsvariable

0 90 180 270 360 X

f

Dichtefunktion f

360

1 Wie groß ist der Erwartungswert?

Vermutung: 180

∫

^∞

( )

+

∞

−

⋅

= x fx dx

µ ⁼³⁶⁰

∫

^⋅

( )

0

dx x f

x ^{= ⋅360}

∫

0

dx 360 x

1 ³⁶⁰

0 2

2 x 360

1













⋅

=

2 180 0 360 2 360 360

1 ²

=

=













−

⋅

=