Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer an! Ist dieser eindeutig?

Technische Universit¨ at Chemnitz Mathematische Statistik, WS 14/15 Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Dr. M. Tautenhahn

Ubungsblatt 5 ¨

Aufgabe 1 (Sch¨ atzung der Zusammensetzung einer Urne). Eine Urne enthalte eine gewisse Anzahl gleichartiger Kugeln in verschiedenen Farben, und zwar sei E die endliche Menge der verschiedenen Farben. Es werde n mal mit zur¨ ucklegen gezogen. Es soll (simultan f¨ ur alle Farben a ∈ E) der Anteil der Kugeln der Farbe a gesch¨ atzt werden.

Geben Sie einen Maximum-Likelihood-Sch¨ atzer an! Ist dieser eindeutig?

Aufgabe 2 (Der Gl¨ ucksspieler I). Bei einer Razzia findet die Polizei bei dem Gl¨ ucksspieler Fabian eine M¨ unze, von der ein anderer Spieler behauptet, daß “Zahl” mit einer Wahr- scheinlichkeit von p = 0.75 statt mit p = 0.5 erscheint. Aus Zeitgr¨ unden kann die M¨ unze nur n = 10 Mal ¨ uberpr¨ uft werden. W¨ ahlen Sie ein statistisches Modell, Nullhypothese und Alternative gem¨ aß dem Rechtsgrundsatz “In dubio pro reo” und bestimmen Sie ein kleinstm¨ ogliches c ∈ N , so dass φ : {0, 1}

→ [0, 1],

φ(X) =

( 1 falls P

i=1

X

≥ c, 0 falls P

i=1

X

< c.

ein Test zum Irrtumsniveau α = 0.01 ist. Hier ist X

∈ {0, 1} und X

= 1 (X

= 0) bedeutet, dass die M¨ unze im i-ten Wurf “Zahl” (“Kopf”) gezeigt hat. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Fehler zweiter Art.

Aufgabe 3 (Der Gl¨ ucksspieler II). Wir betrachten die Situation von Aufgabe 1. Geben Sie einen zugeh¨ origen besten Test zum Irrtumsniveau α = 0.01 an.

Zusatz: Geben sie die Wahrscheinlichkeit f¨ ur einen Fehler zweiter Art an.

Aufgabe 4 (Einseitiger Test beim Lotto). Anhand von n Ziehungen des Samstags- lotto “6 aus 49” soll getestet werden, ob die “13” eine Ungl¨ uckszahl ist, weil sie sel- tener gezogen wird als zu erwarten w¨ are. Formulieren Sie ein einseitiges Testproblem und geben Sie (mit Hilfe der Normalapproximation, Chebyshev-Ungleichung oder der Berstein-Ungleichung) einen Test zum Niveau α = 0.01 an.

Wie lautet Ihre Entscheidung f¨ ur die 2682 Ziehungen vom 9.10.1955 bis zum 3.3.2007, bei denen die “13” nur 264 mal gezogen wurde und mit Abstand am unteren Ende der H¨ aufigkeitsskala stand?

Zusatzaufgabe 1 (Test im Gleichverteilungsmodell). Bestimmen Sie im statistischen Produktmodell ( R

, B

, U

: ϑ > 0) die G¨ utefunktion des (nichtrandomisierten) Tests mit Annahmebereich {1/2 < max{X

, . . . , X

} ≤ 1} f¨ ur das Testproblem H

: ϑ = 1 gegen H

: ϑ 6= 1.

Hinweis: Das Komplement vom Ablehnungsbereich nennt man Annahmebereich.