Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden Mathematik 31
10. Klasse: Trigonometrie
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Marco Bettner/Erik Dinges
Vertretungsstunden Mathematik 9./10. Klasse
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VORSC
HAU
Tangens an recht winkligen Dreiecken 1
Trigonometrie
1. In verschiedenen recht- winkligen Dreiecken mit γ = 90° und α = 33°
wurde die Größe
der Gegenkathete und der Ankathete in die Tabelle eingetragen.
Was fällt dir auf?
Tipp: Beachte den Quotienten.
2. Den Quotienten aus Gegenkathete und Ankathete nennt man Tangens.
Abkürzung: tan.
Notiere den Tangens von a und b beim angegebenen Dreieck.
Gegenkathete Ankathete Gegenk./Ank.
4,3 6,6
8,6 13,2
2,2 3,4
3 4,6
12 18,5
5 7,7
α β
b a
c
ck.
Notier beim an
zung: tan e den Tan ngegeb
n aus Gege ennt man Tan
kath
VORSC
HAU
Tangens an recht winkligen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Notiere den Tangens für α, β, ε und φ an den beiden Dreiecken.
a) b)
2. Betrachte das Dreieck bei Aufgabe 1a. b = 7 cm und α = 35°. Jonas hat mithilfe von Tangens für a = 4,9 cm berechnet. Diese Rechnung soll von dir überprüft werden.
a) Notiere eine passende Tangens-Gleichung.
b) Setze die gegebenen Werte in die Gleichung ein und löse entsprechend auf.
3. Berechne die gesuchte Größe im Dreieck ABC mithilfe des Tangens.
a) b) c)
4. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben: γγ = 90°; a = 5 cm;
b = 6 cm. Erik versucht, den Winkel β mit Tangens zu berechnen. Bringe die Vorgehensweise zur Berechnung von β in die richtige Reihenfolge.
Setze die gegebenen Zahlenwerte in die Gleichung ein. Ermittle mit dem Taschenrechner β. Stelle eine passende Tangensgleichung auf. Löse die Gleichung nach „tan β“ auf.
5. Berechne die fehlenden Winkelgrößen im Dreieck ABC (γ = 90°) mit dem Tangens.
a) a = 20 cm; b = 30 cm; ges.: β b) a = 5 cm; b = 11 cm; ges.: α c) a = 145 mm; b = 111 mm; ges.: α d) a = 3,8 cm; b = 5,7 cm; ges.: β e) a = 44 dm; b = 20 dm; ges.: β f ) a = 85,5 cm; b = 85,5 cm; ges.: α
y ε
φ x α z
β b
c
a
10 cm a
A B
C
45° β β
b
A B
25 cm C
30°
b
A B
4 cm C
α 51°
etze die g lle eine
rsuch von
nun ββ
gebenen Z gen Dr
t, den n die
BC s ββ
β B 25 cm
c) b
C
A 45°
e im
a
m Dreieck ABC b)
hung
mit
und löse e
prüft w
ntsprechen
hat mithilfe rden
VORSC
HAU
s an rechtwinkligen Dreiecken 1Tangens an rechtwinkligen Dreiecken 2
Lösungen
Trigonometrie
rschiedenen recht- ligen Dreiecken γ = 90° und α = 33° öße egenkathete und nkathete in die agen. eachte den ten. en sind alle gleich. t aus Gegenkathete und thete nennt man Tangens. zung: tan. e den Tangens von a und b eieck.
GegenkatheteAnkatheteGegenk./Ank. 4,36,60,65 8,613,20,65 2,23,40,65 34,60,65 1218,50,65 57,70,65 βα
ab c tan αα = a b
1. Notiere den Tangens für α, β, ε und φ an den beiden Dreiecken. a) b) tan α =a b; tan ββ =b a tan εε =x y; tan φφ = y x 2. Betrachte das Dreieck bei Aufgabe 1a. b = 7 cm und αα = 35°. Jonas hat mithilfe von Tangens für a = 4,9 cm berechnet. Diese Rechnung soll von dir überprüft werden. a) tan α =a b b) tan 35° =a 7; a = 7 · tan 35° = 4,9 cm 3. Berechne die gesuchte Größe im Dreieck ABC mithilfe des Tangens. a) b) c) a = 10 cm b = 43,3 cm b = 4,94 cm 4. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind folgende Größen gegeben: γγ = 90°; a = 5 cm; b = 6 cm. Erik versucht, den Winkel β mit Tangens zu berechnen. Bringe die Vorgehensweise zur Berechnung von β in die richtige Reihenfolge. Stelle eine passende Tangensgleichung auf. Setze die gegebenen Zahlenwerte in die Gleichung ein. Löse die Gleichung nach „tan β“ auf. Ermittle mit dem Taschenrechner β. 5. Berechne die fehlenden Winkelgrößen im Dreieck ABC (γγ = 90°) mit dem Tangens. a) β = 56,3° b) αα = 24,4° c) αα = 52,6° d) ββ = 56,3° e) ββ = 24,4° f) αα = 45°
y ε φx zα
β
b c
a 10 cma AB
C 45°ββ
b AB
25 cm
C 30°
b AB
4 cm
C α51°
atheteAnka 6,6 13,2 3,4 4,6 18,5 7,7 a β Setzeg Löse die Glei Ermittle mit d Berechne die )ββ=5ββ
4. In e b = 6 fehlende 52,6°° 24,4°°
Ank. ta rachte für a = 4,9 a)tan αα =ααa b b5° =a 7; Berechnee gesuchte Grö cma β igen Dreieck ABC cht, den Winkel ββ ββ in die richtige Tangensglechung a werte in die Gleichung ein nβ“ auf.
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Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
Trigonometrie
Gegeben ist das abgebildete Dreieck ABC.
a = 7 cm; α = 50°; β = 40°
Gesucht ist b.
a) Stelle unten eine passende Gleichung mit dem Sinussatz auf.
Tipp: Achte darauf, dass die gegebenen Größen (a, α und β ) und die gesuchte Größe (b) in der Gleichung vorkommen.
b) Setze die gegebenen Zahlenwerte in die aufgestellte Gleichung unten ein.
c) Löse die Gleichung nach b auf.
β γ
α
a b
c C
A
B
eichung unten ei llte
Gleichu
en Zahle ung nach b a
Gleic nwerte in d
ung bene
hung
t dem S Größen (a
vorkomm
nussatz a α un
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Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Sinussatzes.
a) b) c)
2. In einem Dreieck sind die Länge a = 50 cm, c = 70 cm und der Winkel γ = 52° gegeben.
Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an.
3. Berechne die fehlenden Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck.
a) a = 49 cm; b = 42 cm; α = 62°; β = 70° b) c = 5,2 cm; a = 3,9 cm; γ = 29°; α = 85°
c) b = 2,8 dm; c = 3,9 dm; β = 18°; γ = 70° d) c = 160 mm; a = 98 mm; α = 70°, γ = 55°
e) b = 0,5 m; c = 0,9 m; β = 78°; γ = 60° f ) a = 22,4 cm; b = 28 cm; β = 36°; α = 80°
4. Berechne den Umfang des Vierecks.
c C
A
B 22 cm
51°
42°
10 cm
a
A c
B C
35°
55°
b
8 cm
A c
B C
40°
60°
40°
7,2 cm
C D
100°
55°
a
c = cos α cos γ 50
70 = cos α cos 52°
50
70 · cos 52° = cos α 0,44 ≈ cos α, α ≈ 63,9°
a
c = sin α sin γ 50
70 = sin α sin 52°
50
70 · sin 52° = sin α 0,56 ≈ sin α, α ≈ 34,3°
a
c = sin γ sin α 50
70 = sin 52°
sin α 50
70 · sin α = sin 52°
sin α= 70
50 · sin 52°
sin α ≈ 1,1, d. h. α kann nicht berechnet werden.
Ein Dreieck mit solchen Maßen existiert nicht.
b
hne den
c = 0,9 m dm;β
β = 7
w. Winkelgr 70° b
= 70°
ößen
70
,44 ≈ cosα,α
= cosα
≈ 63,9°
3. Berechne a) a =
n existier
nn t werden.
mit solchen nicht.
7 0,5
0 70 = 50 · sin
≈ sin α 52°
52° = sinα
= 52°
weg an.
a c = cos
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Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 1Sinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Lösungen
Trigonometrie
Gegeben ist das abgebildete Dreieck ABC. a = 7 cm; α = 50°; β = 40° Gesucht ist b. a) Stelle unten eine passende Gleichung mit dem Sinussatz auf. Tipp: Achte darauf, dass die gegebenen Größen (a, α und β) und die gesuchte Größe (b) in der Gleichung vorkommen. b) Setze die gegebenen Zahlenwerte in die aufgestellte Gleichung unten ein. c) Löse die Gleichung nach b auf.
β
γ α
a b c
C A
B a) a b = sin αα sin ββ b) 7 b = sin 50° sin 40° c) 7 · sin 40° = b · sin 50° 7 · sin 40° sin 50° = b = 5,87 cm
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Sinussatzes. a) b) c) c = 12,26 cm; b = 10,78 cm a= 7 cm; c = 12,21 cm c = 25,56 cm; b = 32,83 cm 2. In einem Dreieck sind die Länge a = 50 cm, c = 70 cm und der Winkel γ = 52° gegeben. Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an. 3. Berechne die fehlenden Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck. a) γ = 48°; c = 41,24 cm b) β = 66°; b = 3,58 cm c) α = 92°; a = 9,06 dm d) β = 55°; b = 85,43 mm e) α = 42°; a = 0,34 m f) γ = 64°; c = 20,44 cm 4. Berechne den Umfang des Vierecks. Das Viereck besitzt einen Umfang von 23,07 cm.
c
C A
B
22 cm51° 42°
10 cma cA
B
C 35°55°
b8 cm cA
B
C 40°60° 40° 7,2 cm 5,5 cmAB
C
D 100° 55°
a c = cos α cos γ 50 70 = cos α cos 52° 50 70 · cos 52° = cos α 0,44 ≈ cos α, α ≈ 63,9°
a c = sin α sin γ 50 70 = sin α sin 52° 50 70 · sin 52° = sin α 0,56 ≈ sin α, α ≈ 34,3°
a c = sin γ sin α 50 70 = sin 52° sin α 50 70 · sin α = sin 52° sin α= 70 50 · sin 52° sin α ≈ 1,1, d. h. α kann nicht berechnet werden. Ein Dreieck mit solchen Maßen existiert nicht
b
γC auf d unten ein. 3. a) e) αα 4.hne den Umf Das Viereck bes
Berech γγγγ
c = 12,26 2I
A40°4 em Dre er Winkelαα ain γγ in α 0 70 = sin 52° sin α 50 70·s= sin 52° α=70 50 · sin 5 ≈d. h. α kann chnet werden. ck mit solchen istier n Seiten bzw. Wi cks. 23,07 cm.
D
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HAU
Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 1
Trigonometrie
Gegeben ist das abgebildete
Dreieck ABC. a = 8 cm; ββ = 40°; c = 9 cm Gesucht ist b.
a) Wähle unten eine passende Gleichung mit dem Kosinus- satz aus.
Tipp: Achte darauf, dass die gegebenen Größen (a, c und β ) und die gesuchte Größe (b) in der Gleichung vorkommen.
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α b2 = c2 + a2 – 2 · c · a · cos β c2 = a2 + b2 – 2 · a · b · cos γ
b) Setze die gegebenen Zahlenwerte in die aufgestellte Gleichung unten ein.
c) Löse die Gleichung nach der gesuchten Größe auf.
β γ
α
a b
c C
A
B
Größe auf.
e G eichung g unten e llte
e Gleichu
en Zahle ng nac
γ
werte in
VORSC
HAU
Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Trigonometrie
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes.
a) b) c)
2. In einem Dreieck sind die Längen b = 9 cm, c = 6 cm und a = 8 cm gegeben.
Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an.
3. Berechne die fehlenden Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck.
a) a = 7 cm; b = 10 cm; c = 8 cm; ges.: α b) a = 13 cm; b = 14 cm; c = 17 cm; ges.: α c) a = 14 cm; b = 20 cm; c = 9 cm; ges.: β d) a = 144 mm; b = 190 mm; c = 120 mm; ges.: β e) a = 2,9 m; b = 4,1 m; c = 3,5 m; ges.: γ f ) a = 623 mm; b = 550 mm; c = 611 mm; ges.: γ g) a = 20 cm; b = 17 cm; γ = 65°; ges.: c h) b = 9 cm; c = 14 cm; α = 25°; ges.: a
i) a = 55 cm; c = 61 cm; β= 40°; ges.: b j) a = 10 cm; c = 7 cm; β = 33°; ges.: b
4. Berechne den Umfang des Dreiecks.
b
6 cm
A
B C
40°
8 cm
50 cm b
A
B C
36°
47 cm
55 cm C
B 40 cm
47°
c C
A
B 4,7 dm 80°
3,5 dm
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 9 · cos α
7,11 = cos α, d. h. der Winkel α kann nicht berechnet werden. Ein Dreieck mit solchen Maßen existiert nicht.
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 117 – 108 · cos α –53 = -108 · cos α 0,49 = cos α, α = 60,6°
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 117 – 108 · cos α –53 = 108 · cos α
–0,49 = cos α, α = 119,4°
7 cm a = 14 c
2,9 m; b 20
e fehlend
; b = 10 cm; c b = 20 cm
en Sei
= 8 c
4 = –53 = -1 0,49 = co
+ 62 – 17 – 108 ·
8 · cos b ·
· 9 · 6 osα
· cos cosα 2
–53 –0,49
117 – 108 ·
= 108 · cosα cos
c · cosα 2 · 9 · 6 · cosα
osα
nn nic en Maßen e
t bere xistier
chnet
ben.
weg an.
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HAU
satz an beliebigen Dreiecken 1Kosinunssatz an beliebigen Dreiecken 2
Lösungen
Trigonometrie
ββ = 40°; c = 9 cm t ist b. en eine passende . chte darauf, dass die ößen (a, c und β) e Größe (b) in orkommen. os α os β os γ werte in die aufgestellte Gleichung unten ein. en Größe auf.
β
γ α
a b c
C A
B b) b2 = 92 + 82 – 2 · 9 · 8 · cos 40° b2 = 81 + 64 – 110,31 b2 = 34,69 b = 5,89 cm
1. Berechne die gesuchten Längen im Dreieck ABC mithilfe des Kosinussatzes. a) b) c) b = 5,14 cm b = 30,11 cm c = 5,35 cm 2. In einem Dreieck sind die Längen b = 9 cm, c = 6 cm und a = 8 cm gegeben. Der Winkel α soll berechnet werden. Kreuze den richtigen Rechenweg an. 3. Berechne die fehlenden Seiten bzw. Winkelgrößen im Dreieck. a) α = 44,05° b) α = 48,4° c) β = 119,22° d) β = 91,6° e) γ = 56,95° f) γ = 62,42° g) c = 20,04 cm h) a = 6,97 cm i) b = 40,07 cm j) b = 5,62 cm 4. Berechne den Umfang des Dreiecks. Der Umfang des Dreiecks beträgt 135,3 cm.b6 cm A
B
C 40° 8 cm
50 cm b A
B
C 36° 47 cm 55 cm
C A
B
40 cm 47°
c
C A
B
4,7 dm80° 3,5 dm a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 9 · cos α 7,11 = cos α, d. h. der Winkel α kann nicht berechnet werden. Ein Dreieck mit solchen Maßen existiert nicht. a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 117 – 108 · cos α –53 = -108 · cos α 0,49 = cos α, α = 60,6°
a2 = b2 + c2 – 2 · b · c · cos α 82 = 92 + 62 – 2 · 9 · 6 · cos α 64 = 117 – 108 · cos α –53 = 108 · cos α –0,49 = cos α, α = 119,4°
γC ten ein. a) c) ββ=ββ γγ = γγ95 c = 20,04 cm i) b = 40,07 Berechnn Umfang de fang des Dreiec cm.
2. In einem De
A ink a2 = b2 + 92 + 6 64 = 9 · co 7,11 = wα, d. h. der W n. Ein Dreieck m a2 = b2 + – 2 · b · c + 62 – 2 · 9 · 6 · co 7 – 10α 08 · co osα,α= 119,4 en Seiten bzw. β= f)γγ = 62γγ h) a=