Mathe an Stationen Geometrische Abbildungen - Zentrische Streckung

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Jan-Christoph Frühauf

Mathe an Stationen SPEZIAL

Geometrische Abbildungen

Zentrische Streckung

www.auer-verlag.de

Auer macht Schule Mit Stationentraining gezielt üben –

Anforderungen der Bildungsstandards erfüllen

Mit der Stationen-Reihe trainieren Ihre Schüler gleichzeitig methodische und inhalt liche Lernziele. Die handlungsorien

tierte Arbeit an Stationen fördert

das selbst ständige Lernen jedes einzelnen Schülers. Durch die Vielfalt der Aufgabenstellungen und damit auch der Lösungswege lernen alle Schüler

trotz unterschiedlichster

Lern voraus setzungen besonders nachhaltig.

Die einzelnen Stationen decken alle Inhalte zu den Geometrischen Abbildungen aus den Lehrplänen Mathematik für die Sekundarstufe I ab. So

gelingt es Ihnen, Methoden lernen sinnvoll in Ihren Unterricht zu integrieren!

Die Materialien sind auch für fachfremd unterrichtende Lehrer geeignet. Die Themen:

Achsenspiegelung – Verschiebung – Punktspiegelung / Drehung – Zentrische Streckung – Gemischte Übungen

Der Band enthält:

8 Stationen pro Themenbereich eine Lernzielkontrolle pro Themenbereich

insgesamt über 40 Arbeitsblätter als Kopiervorlagen einen umfangreichen Lösungsteil

Der Autor:

Jan-Christoph Frühauf – ^Lehrkraft^{für Haupt}

- und Realschulen

mit den Fächern

Mathematik und katholische Religion Weitere Titel aus dieser Reihe:

Mathe an Stationen SPEZIAL: Grundrechenarten Mathe an Stationen – Klasse 5 Bestell-Nr. 06910

Bestell-Nr. 04924

Mathe an Stationen SPEZIAL: Pythagoras Mathe an Stationen – Klasse 6 Bestell-Nr. 06967

Bestell-Nr. 06244

Mathe an Stationen SPEZIAL: Bruchrechnen Mathe an Stationen – Klasse 7 Bestell-Nr. 06776

Bestell-Nr. 06418

Jan-Christoph Frühauf Sekundarstufe I

Mathe

an Stationen

ISBN 978-3-403-07151-8

Geometr ische Abb ildungen

SPEZIAL

4 5 °

Mit Kopiervorlagen

18.04.13 10:21

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Mathe an Stationen SPEZIAL

Geometrische Abbildungen

Zentrische Streckung

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Dieser Download ist ein Auszug aus dem Originaltitel Mathe an Stationen SPEZIAL Geometrische Abbildungen

Übungsmaterial zu den Kernthemen der Bildungsstandards

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Neben Übungen zu zentrischen Streckungen und deren Konstruktion gehen die Stationsblätter zur zentrischen Streckung auch besonders auf den Streckungsfaktor ein und lassen diesen gezielt un- tersuchen, z. B. wie dieser sich auf Längen, Flächen und Volumen auswirkt bzw. was ein Vorzeichen- wechsel des Streckungsfaktors bewirkt. Für die Stationen sind so weit keine besonderen Konstrukti- onshilfsmittel erforderlich.

Station 1 Streckungsformel Station 2 Streckungsfaktor Station 3 Gestrecktes Volumen

Station 4 Strecken, Strecken, Strecken: Bitte gesonderte Blätter für Aufgaben 3 und 4 bereitlegen.

Station 5 Streckungen vergleichen Station 6 Streckungsfaktor finden

Station 7 Eigenschaften von zentrischen Streckungen: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.

Station 8 Konstruktionsbeschreibung: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.

Zentrische Streckung

Anhand dieser Stationen können auf unterschiedliche Art und Weise noch einmal alle geometrischen Abbildungen wiederholt, vertieft und auch verglichen werden.

Station 1 Barockgarten: Bitte Zirkel bereitlegen.

Station 2 Drehen und Spiegeln Station 3 ABC

Station 4 Eckenbezeichnungen: Bitte gesonderte Blätter für Notizen bereitlegen.

Station 5 Spiegeln und Falten: Bitte Zirkel bereitlegen.

Station 6 Alle Abbildungen I: Bitte Zirkel bereitlegen.

Station 7 Alle Abbildungen II: Bitte Zirkel bereitlegen.

Station 8 Kreuzworträtsel

Gemischte Übungen

In diesem Themengebiet sind Stationsblätter sowohl zur Punktspiegelung als auch zur Drehung zu ﬁnden. Die beiden Abbildungen wurden zu einem Themengebiet zusammengefasst, da die Punktspie- gelung nur sich wiederholende Konstruktionen fordern würde und in einem geringen Zusammenhang zur Drehung steht. Die Stationsblätter können somit zur Erschließung der Konstruktionsvorgänge von Punktspiegelungen und Drehungen sowie deren Eigenschaften, aber auch von Zusammenhängen zwischen Punktspiegelung – Drehung – Achsenspiegelung eingesetzt werden.

Station 1 Sterndrehung

Station 2 Drehungseigenschaften: Bitte gesonderte Blätter für Aufgabe 2 bereitlegen.

Station 3 Punktspiegelung gleich Drehung?

Station 4 Gedrehte Flächen

Station 5 Konstruktionsbeschreibung: Bitte gesonderte Blätter bereitlegen.

Station 6 Drei Abbildungen auf einmal Station 7 Wo ist der Punkt?

Station 8 Sonne, Erde, Mond: Evtl. gesonderte Blätter für Nebenrechnungen bereitlegen.

M u s te r zu

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A n s ic h t

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Zentrische Streckung

Aufgabe 1

Strecke |AB | am Punkt Z mit dem Faktor k = 3. (Zahlenangaben in cm)

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

A

B B Z

Z

Aufgabe 2

Strecke |AB | an Z mit dem Faktor k = 2,5. (Zahlenangaben in cm)

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

A

B Z

Aufgabe 3

Vergleiche die Länge von |AB | mit |A'B' | aus den Aufgaben 1 und 2.

Versuche, eine allgemeine Formel für die Strecke |A'B'| herauszuﬁnden, wenn die Strecke |AB | und der Streckungsfaktor k bekannt sind:

Streckungsformel

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Aufgabe 1

Nimm eine zentrische Streckung des Dreiecks ABC am Punkt Z mit dem Streckungsfaktor k = 2 vor.

(Zahlenangaben in cm)

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

-2 2 4 6 8 10 12

x y

Z Z

A BB

C C

Aufgabe 2

Führe eine zentrische Streckung des Vierecks ABCD am Punkt Z mit dem Faktor k = 3,2 durch.

(Zahlenangaben in cm)

-14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 y

A B

D C

Z

Aufgabe 3

Vergleiche die Flächeninhalte der Urbilder und ihrer Bilder aus den Aufgaben 1 und 2. Versuche, eine allgemeine Formel für die Flächeninhalte der Bildﬁguren herauszuﬁnden, wenn der Flächenin- halt der Urbilder und der Streckungsfaktor k bekannt sind:

Streckungsfaktor

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Aufgabe 1

Führe eine zentrische Streckung des Würfels mit der Kantenlänge 1 am Punkt Z mit dem Faktor k = 4 durch.

Z Z

Aufgabe 2

Vergleiche das Volumen des Urbilds und des Bilds des Würfels aus der Aufgabe 1.

Versuche, eine allgemeine Formel für das Volumen der Bildﬁgur herauszuﬁnden, wenn das Volu- men des Urbilds und der Streckungsfaktor k bekannt sind:

Volumen_Würfel' =

Gestrecktes Volumen

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Aufgabe 1

Nimm eine zentrische Streckung des Quadrates an Z mit dem Streckungsfaktor k = –1 vor.

Z

D

C

B A

Aufgabe 2

Nimm eine zentrische Streckung der Figur an Z mit dem Streckungsfaktor k = –2 vor.

Z

A

B B C C

D D E

E F F

G H

I

Aufgabe 3

Bei welchem Streckungsfaktor entsteht eine Fixﬁgur? Zeige dies auf einem Extrablatt an einem Bei- spiel.

Aufgabe 4

Bei welchem Streckungsfaktor erhält man eine Punktspiegelung? Zeige dies auf einem Extrablatt

Strecken, Strecken, Strecken

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Aufgabe 1

Führe eine zentrische Streckung des Parallelogramms an Z mit dem Faktor k = 2,5 durch.

D

A B

C Z

Aufgabe 2

Führe eine zentrische Streckung des Parallelogramms an Z mit dem Faktor k = –2,5 durch.

D

A B

C Z

Aufgabe 3

Vergleiche die beiden zentrischen Streckungen aus Aufgabe 1 und 2. Welche Unterschiede oder Gemeinsamkeiten gibt es im Vorgehen bei der Konstruktion, beim Flächeninhalt, bei den Seitenlän- gen, den Winkeln usw.?

Streckungen vergleichen

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Aufgabe 1

Finde das Streckungszentrum und den Streckungsfaktor k heraus.

A BB

C C D D F F G G H H II J J

M M

L N N O O

A' B'B

C' C D' D

E' E F' F G' G

H' H

I' I J' J

K' K

L' M' M

E E

N' N

O' K O

K

Aufgabe 2

Finde das Streckungszentrum und den Streckungsfaktor k heraus.

A' B'

C'

A B

C

Aufgabe 3

Wie viele Verbindungen von Urbildpunkten und Bildpunkten sind höchstens nötig, um das Stre- ckungszentrum herauszuﬁnden? Wie berechnet man den Streckungsfaktor?

Hier ist Platz für deine Notizen:

Streckungsfaktor finden

k =

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Aufgabe 1

Finde heraus, ob zentrische Streckungen geradentreu, längentreu, parallelentreu, winkeltreu, ver- hältnistreu oder orientierungstreu sind. Es können mehrere Antworten möglich sein.

Aufgabe 2

Fertige auf einem Extrablatt zu jeder Eigenschaft eine Skizze, die deine Vermutung bestätigt oder widerlegt.

Eigenschaften von zentrischen Streckungen

ja nein

Kreuze an.

geradentreu längentreu parallelentreu winkeltreu verhältnistreu orientierungstreu

Eigenschaften von zentrischen Streckungen

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Aufgabe 1

Konstruiere ein Dreieck ABC. Um das Streckungszentrum Z zu erhalten, lasse einen Stift auf dein Blatt fallen. Dort, wo die Spitze aufkommt, setze den Punkt Z.

Wähle den Streckungsfaktor so, dass er zwischen 1,5 und 3 liegt.

Aufgabe 2

Führe die Konstruktion durch und gib die Konstruktionsbeschreibung an.

Hier ist Platz für deine Notizen:

Konstruktionsbeschreibung

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Aufgaben 1

Strecke die Figur am Zentrum um k₁ = –3,5 und k₂ = 3,5.

Z Z A

B B C C

Aufgabe 2

Gib für die Konstruktion k₁ eine vollständige Konstruktionsbeschreibung an.

Aufgabe 3

Finde das Streckungszentrum und den Streckungsfaktor heraus.

M₁ M

M₂ M

Aufgabe 4

Nenne drei Eigenschaften von zentrischen Streckungen und zeige sie an jeweils einer Skizze als Beispiel. Arbeite auf einem Extrablatt.

Zentrische Streckung

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(13)

Lösungen: Zentrische Streckung

1) und 2)

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

x y

A

B B Z

Z

a a

b b z

z 3 cm

9 cm

5,39 cm

13,46 cm

3) |A'B' | = |k | · |AB |

1) und 2)

-4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

-2 2 4 6 8 10 12

x y

Z Z

A BB

C C

-12 -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

-6 -4 -2 2 4 6 8 10 12

x y

A B

D C

Z

3) Flächeninhalt_A'B'C'= k ² · Flächeninhalt_ABC = ² ·

Station 2: Streckungsfaktor Seite 36

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Lösungen: Zentrische Streckung 1)

Z Z

1,67 cm

6,66 cm

2) Volumen_Würfel' = |k |³ · Volumen_Würfel

1)

2)

3) Bei k = 1 entsteht eine Fixﬁgur.

4) Eine zentrische Streckung mit k = –1 kommt einer Punktspiegelung gleich.

Station 4: Strecken, Strecken, Strecken Seite 38

A'

D' C' B'

Z

D C

B A

Z

A

B B C C

D D E E F F

G H

II A'

B'

D'

E'

F' G'

H' I'

C'

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(15)

1) und 2)

A Z

B D C

A' A''

B''

C''

D''

B' C' D'

4,153 cm²

26 cm² 26 cm²

3) Die Flächeninhalte der beiden Abbilder sind gleich. Beide Bildparallelogramme sind kongruent und ähnlich zum Urbildparallelogramm (d. h., die Winkel stimmen in allen drei Parallelogrammen überein).

1)

Streckung mit k = 2,5 2)

Streckung mit k = –0,5

3) Man braucht (wie auch bei Punktspiegelungen und Drehungen) nur zweimal jeweils einen Ur- bildpunkt und sein Bild zu verbinden, um Z herauszuﬁnden.

Der Streckungsfaktor ergibt sich aus dem Verhältnis der Strecke des Bildpunktes, z. B. P', und dem Zentrum, z. B. Z, zu der Strecke des Punktes, z. B. P, und dem Zentrum Z.

k = P' Z P Z

Station 6: Streckungsfaktor finden Seite 40

Z

Z A BB

C C D D F F G G H H II J J

M M

L N N O O

A' B'B

C' C D' D

E' E F' G' F G

H' H

I' I J' J

K' K

L' M' M

E E

N' N

O' K O

K

A' B'

C'

A B

Z ^{8,2 cm} C

4,1 cm

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Lösungen: Zentrische Streckung 1) und 2)

앫geradentreu

Z Z

앫verhältnistreu

앫parallelentreu

앫winkeltreu

53° 53°

앫orientierungstreu

A

B B C C

A'

B' B C'

C

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1) Zum Beispiel:

A

B B C C

Z Z

B' B

A'

C' C

In diesem Beispiel ist der Streckungsfaktor k = –1,8.

2) 1. Konstruiere das Dreieck ABC und den Punkt Z nach Aufgabenstellung.

2. Zeichne durch jeden Eckpunkt von ABC eine Gerade, die durch Z geht.

3. Miss die Strecke |AZ| und multipliziere mit dem gewählten k.

4. Ist k positiv, so liegt A' auf derselben Seite von Z, auf der auch A liegt. Ist k negativ, so liegt A' auf der anderen Seite von Z, auf der A nicht liegt.

5. Zeichne einen Kreis K₁ um Z mit dem Radius r = |k| · |AZ|. Der Schnittpunkt von K₁ mit der Geraden |AZ| (je nachdem, ob k positiv oder negativ gewählt wurde) liefert A'.

6. Schritte 3 bis 5 gelten analog, um B' und C' zu konstruieren.

1)

C' A' B'

Z A B C

A'' C''

B''

2) 1. Konstruiere jeweils durch die Eckpunkte des Dreiecks ABC eine Gerade durch Z.

2. Da k negativ ist, liegen alle Abbildpunkte auf der anderen Seite von Z, auf der ABC nicht liegt.

3. Miss die Strecke |AZ|. Multipliziere diese mit |k | = 3,5.

4. Zeichne einen Kreis K₁ um Z mit dem Radius r = |k | · |AZ|.

5. Konstruiere A' als Schnittpunkt von K₁ mit der Geraden |AZ|. A' ist aber nur der Schnittpunkt, der auf der anderen Seite von Z liegt, auf der A nicht liegt.

6. Für alle anderen Punkte gelten die Konstruktionsschritte 3 bis 5 analog.

Lernzielkontrolle: Zentrische Streckung Seite 43

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7,2 cm 4,7 cm

M₁

M2

Z

2 1

( 1) 0,65 M Z

k

= M Z Õ - ‚ -

4) 앫geradentreu 앫parallelentreu 앫verhältnistreu 앫winkeltreu 앫orientierungstreu

Beispiel-Skizzen siehe Lösung zu Station 7, Aufgabe 2.

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Impressum

Das Werk als Ganzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutschen Urheberrecht. Der Erwerber des Werkes ist berechtigt, das Werk als Ganzes oder in seinen Teilen für den eigenen Gebrauch und den Einsatz im Unterricht zu nutzen. Die Nutzung ist nur für den genannten Zweck gestattet, nicht jedoch für einen weiteren kommerziellen Gebrauch, für die Weiterleitung an Dritte oder für die Veröffentlichung im Internet oder in Intranets. Eine über den genannten Zweck hinausgehende Nutzung bedarf in jedem Fall der vorherigen schriftlichen Zustimmung des Verlages.

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