Prof. Dr. Eckhard Liebscher Wintersemester 21/22 Fachgruppe Mathematik
Aufgabenserie 6 zur Vorlesung ”Mathematik für Betriebswirte”
1. Schokolade wird aus 4 Rohsto¤en: Kakao, Kakaobutter, Zucker und Milch (R1; R2; R3; R4) hergestellt, die Mengen werden dabei in g angegeben. Im Produktions- prozess werden als Zwischenprodukte die Milch-, die Halbbitter- und die Bitterschokolade (Z1; Z2; Z3) betrachtet. Die Firma stellt 5 Endprodukte E1; E2; E3; E4; E5 her: Tafeln Schokolade der 3 Schokoladesorten und 2 Sorten Pralinenmischungen. Sämtliche Mengen- angaben der Zwischen- und Endprodukte beziehen sich auf jeweils 100g des jeweiligen Produktes. Bei der Produktion von einer Einheit Z1 werden 14 Einheiten R1, 16 Ein- heiten R2, 36 EinheitenR3 und 18 Einheiten R4 benötigt. Bei der Produktion von einer EinheitZ2 werden 28 EinheitenR1, 12 EinheitenR2, 36 EinheitenR3 und 9 EinheitenR4 benötigt. Bei der Produktion von einer Einheit Z3 werden 42 Einheiten R1, 8 Einheiten R2 und 36 EinheitenR3 benötigt. Im letzten Produktionsschritt geht eine Einheit Z1 in eine Einheit E1, eine Einheit Z2 in eine Einheit E2, eine Einheit Z3 in eine Einheit E3 über (das Gewicht der Verpackung wird vernachlässigt). Bei der Produktion von einer Einheit E4 besteht ein Bedarf an 0.1 Einheiten Z1, 0.3 Einheiten Z2 und 0.6 Einheiten Z3. Bei der Produktion von einer Einheit E5 besteht ein Bedarf an 0.3 EinheitenZ1, 0.4 Einheiten Z2 und 0.3 EinheitenZ3.
a) Bestimmen Sie die Ver‡echtungsmatrizen der beiden Teilschritte der Produktion und die Gesamtver‡echtungsmatrix von Rohsto¤en und Endprodukten.
b) Berechnen den Bedarf an Rohsto¤en zur Produktion von jeweils 1000 Tafeln (E1; E2; E3), die 100g Schokolade enthalten, und von jeweils 1000 Pralinenschachteln (E4
bzw. E5), die 200g Schokolade enthalten.
2. Bestimmen Sie alle Matrizen X 2R2;2, für die die Gleichung B+XAT = 2X
erfüllt ist, wobei
A= 5 13 1 6
!
; B = 2 1
3 1
! .
Lösen Sie dabei zunächst die Gleichung allgemein und setzen Sie dann die speziellen Matrizen A; B ein.
3. Lösen Sie die jeweilige Matrizengleichung fürX 2R2;2 zunächst allgemein. Setzen Sie 1
dann die konkreten Matrizen A; B; C ein und bestimmen die jeweilige konkrete Lösung X.
a) 3XA+B = 2 (X+XA);
wobei
A= 9 5 4 1
!
; B = 1 2
3 1
! :
b) 2 (B+X) +XAT = BT A XT T + 3X;
wobei
A = 10 3 2 1
!
; B = 0 1 2 2
! .
c) XC XBT + 3I =A+ BXT T;
wobei
A= 5 10 4 5
!
; B = 1 2
1
2 4
!
; C = 3 2
0 14
! :
4. Für einen zweistu…gen Produktionsprozess sind die jeweiligen Bedarfsgrößen an Roh- und Zwischenprodukten in den folgenden beiden Tabellen zusammengefasst:
E1 E2 Z1 1 0 Z2 5 3 Z3 0 2 Z4 1 1
Z1 Z2 Z3 Z4 R1 2 0 4 5 R2 0 1 5 6
:
R1; R2 bezeichnen die Rohsto¤e, Z1; Z2; Z3; Z4 die Zwischenprodukte undE1; E2 die End- produkte.
a) Bestimmen Sie die Gesamtver‡echtungsmatrix von Rohsto¤en und Endprodukten.
b) Berechnen Sie den Bedarf an Rohsto¤en zur Produktion von 30 Einheiten E1 und 20 Einheiten E2.
c) Berechnen Sie die Rohsto¤kosten zur Produktion der unter b) genannten Mengen für E1 und E2. Dabei sind Kosten für eine Einheit R1 von 2 Euro und für eine Einheit R2 von 1 Euro zu berücksichtigen.
d) Zur Berechnung zweier Varianten mit vorgegebenen Mengen an Endprodukten ist die Matrizengleichung
CX =B
zu lösen, wobei C 2 R2;2 die Ver‡echtungsmatrix aus Teil a) und B 2 R2;2 die Matrix 2
mit den Mengen an Endprodukten ist. Geben Sie eine allgemeine Lösungsformel für die Matrix X 2R2;2 an. Bestimmen Sie dann daraus X speziell für das C aus a) und für
B = 20 95 30 145
! .
5. Bestimmen Sie mit Hilfe des Gauß-Algorithmus alle Lösungen ~x = (x1; x2; x3)T des Gleichungssystems
a) x1+ 4x2+ 5x3 = 3 3x1+ 2x2 8x3 = 7
2x1 x2+ 6x3 = 5;
b) 3x1 6x2+x3 = 1 2x1+x2 4x3 = 2 x1+ 3x2+ 6x3 = 2:
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