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a) Zeigen Sie: Ist T ein abgeschlossener und stetiger Operator von X nachY, so ist D(T)⊂X abgeschlossen

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Academic year: 2021

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J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 12.12.2018

7. ¨Ubung zur Funktionalanalysis

A23: Es sei I ⊂ R ein kompaktes Intervall. ¨Uberlegen Sie sich, dass die Einbettung j : (C1(I),k · k1,∞)→(C(I),k · k∞), alsoj(f) :=f f¨ur f ∈C1(I), kompakt ist.

A24: Es seien Ω ⊂Rd offen, A⊂ Ω kompakt und glatt berandet sowieu, v ∈C2(Ω) mit u|∂A =v|∂A= 0. Zeigen Sie unter Verwendung der Greenschen Formeln

a) Ist u6= 0 und ∆u(x) =λu(x) f¨ur x∈A, so ist λ≤0.

b) Ist zus¨atzlich ∆v(x) = µv(x) f¨ur x∈A, so ist (λ−µ)R

Auv dλ2 = 0.

A25: Es seien X ein normierter Raum und Y ein Banachraum.

a) Zeigen Sie: Ist T ein abgeschlossener und stetiger Operator von X nachY, so ist D(T)⊂X abgeschlossen.

b) Gilt die Aussage von a) auch ohne die Voraussetzung der Stetigkeit von T?

A26: Es sei T :`1 →`1 definiert durch

T(xj) := (xj+1) (x= (xj)∈`1) (Shift-Abbildung). Bestimmen Sie r(T), σ(T) und σp(T).

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