D-CHAB, D-BIOL Fr¨uhlingssemester 2012
Grundlagen der Mathematik II Prof. K¨unsch
Lineare Algebra und Statistik
L¨ osungen 11
1) (a) Unter Vernachl¨assigung des Fehlers erhalten wir f¨ur Modell (1) den Zusammenhangp≈ −81.06+
0.5229T und f¨ur Modell (2) hat man log(p)≈ −0.9708+0.02062T. Einsetzen vont0= 212 liefert auf 3 g¨ultige Ziffern Genauigkeit p1≈29.8 undp2≈30.0.
(b) Beim ersten Modell erhalten wir eine additive Zunahme um 0.52∗5◦ F = 2.6◦ F. Beim zweiten Modell erhalten wir eine multiplikative Zunahme um den Faktore5∗0.02=e1.1≈1.11
(c) Nein, die gesch¨atzten Standardabweichungen der Fehler d¨urfen so nicht verglichen werden, da wir im zweiten Modell die Daten logarithmiert haben.
(d) Wird der Druck nicht logarithmiert, dann gibt es eine kleine Kr¨ummung, die im Plot (Residuen)- gegen-(angepasste Werte) besser zu sehen ist. Wegen dieser Kr¨ummung ist aus statistischen Gr¨unden das zweite Modell vorzuziehen. Physikalische ¨Uberlegungen bevorzugen ebenfalls eine nichtlineare Trennlinie zwischen den Phasen im Druck/Temperatur-diagramm.
Die Fahrenheitskala hat einen recht willk ˜A14rlich gew¨ahlten 0-Punkt (die tiefste Temparatur im Winter 1708/09 in Danzig). In beiden Modellen wird diese Willk¨ur jedoch ber¨ucksichtigt, sofern β6= 06= ˜βangenommen werden kann; dies kann man durch Umschreiben sehen:p=α+βT ⇔ p=β(T−αβ)⇔p=β(T−T0) und log(p) = ˜α+ ˜βT ⇔log(p) = ˜β(T−α˜˜
β)⇔log(p) = ˜β(T−T˜0).
2) (a) Normal: 1179.3, Autistisch: 1179.3+118.3=1297.6 (b) 118.32/28.66 = 4.13
(c) 30 + 12−2 = 40
(d) der Wert der Teststatistik ist viel gr¨osser als das 2.02 = 97.5%-Quantil der t-Verteilung mit 40 Freiheitsgraden. Der Test verwirft daher auf beiden Niveaus (vgl. auch e))
(e) 118.3−(195.8−118.3) = 40.8. 0 ist nicht im Vertrauensintervall, was bestaetigt, dass der Test auch auf dem 1%-Niveau die Nullhypothese verwirft.
3) Es liegen uns Daten ¨uber die Entwicklung der Geburtenrate von 20 lateinamerikanischen L¨andern vor. Die Daten beinhalten die prozentuale Abnahme der Geburtenrate (y) zwischen den Jahren 1965 und 1975 in den L¨andern und einen Index (x) der den sozialen Hintergrund der L¨ander beschreibt.
Folgendes lineare Modell wurde an diese Daten angepasst:
yi=β0+β1·xi+Ei, Ei
iid∼ N(0, σ2), i= 1, . . . ,20.
Der Regressionsoutput sieht wie folgt aus:
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) ??? 9.6416 -2.295 0.03398
x 0.5052 0.1308 ??? ???
Residual standard error: 8.973 on ??? degrees of freedom Multiple R-squared: 0.4532, Adjusted R-squared: 0.4228 F-statistic: 14.92 on 1 and 18 DF, p-value: 0.001141
(a) Wie gross ist der Achsenabschnitt ˆβ0? 9.6416
30.863 -3.863 24.679 -23.245
√ -22.128
Verwende die Gleichungt= Sch¨atzung/Standardfehler (b) Wieviele Freiheitsgrade hat der
”Residual standard error“ ? 20
19 16 17
√ 18
21
Freiheitsgrade = Anzahl Beobachtungen−2 (c) Wie gross ist dert-Wert der Sch¨atzung vonβ1 ?
1.863 0.52
√ 3.863
2.458 10.253 -3.121
Verwende die Gleichungt= Sch¨atzung/Standardfehler
(d) Welches der folgenden Intervalle ist ein exaktes zweiseitiges 95%-Vertrauensintervall f¨urβ1? 0.5052±2.10·0.1308√
18
0.5052±1.96·0.1308√
√ 18
0.5052±2.10·0.1308 0.5052±1.96·0.1308
Das Intervall ist gegeben durch Sch¨atzung±(t-Quantil)·Standardfehler.
(Dast-Quantil erh¨alt man durch Interpolation der Werte in Tabelle 2.2. im Skript) (e) Wird die NullhypotheseH0:β1= 0 auf dem 5%-Niveau verworfen ?
√ Ja
Nein
keine Aussage m¨oglich
Ja, dennt= 3.863>2.101 =q18(0.975).
(f) Wie gross ist die Sch¨atzung von σ2? 9.23
50.34
√ 80.51
8.973 50.86
keine Aussage m¨oglich
Der gesuchte Wert ist gleich (residual standard error)2.
