Übungen zu Mathematik 3 mit Musterlösungen

Heilbronn, den 9.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22

Übungen zu Mathematik 3 mit Musterlösungen

Blatt 7

Aufgabe 1. Ein diskretes System S ist eine Funktion von Folgen. Ist f die Eingangsfolge undhdie Ausgangsfolge, schreibt man

h = S(f) oder

h_k = [S(f)]_k für allek.

Falsch wäre

hk = S(fk)

dafk eine Zahl ist undS als Argument eine Folge erwartet.

S heißt linear wenn

S(f +g) = S(f) +S(g) S(uf) = uS(f) für alle Folgenf, g undu∈R.

S heißt zeitinvariant, wenn

S(f_.−ˆk) = S(f)_.−ˆk.

Hierbei bedeutet der Index.−ˆkdie Verzögerung einer Folge um ˆkTakte, d.h.

f_.−kˆ

k = f_k−ˆk.

Bei kontinuierlichen Funktionen haben wir die Verzögerung mit Index ˆt geschrieben, d.h.

fˆt(t) = f(t−ˆt).

Bei Folgen wäre dann aber nicht klar, ob mitf_ˆk der Abtastwert vonf an der Stelle ˆkgemeint ist oder die Folgef um ˆkverzögert.

Sei nun

S(f)k = fk+f_k−1

DassS die erste Linearitätsbedingung erfüllt, zeigt man wie folgt S(f+g)_k = (f+g)_k+ (f +g)_k−1

= fk+gk+fk−1+gk−1

= fk+f_k−1 + gk+g_k−1

= S(f)k+S(g)k

= (S(f) +S(g))k

Da dies für allekgilt, folgt

S(f +g) = S(f) +S(g).

Zeigen Sie in gleicher Weise, dassSauch die zweite Linearitätsbedingung erfüllt und zeitinvariant ist.

Lösung von Aufgabe 1.

• Zweite Linearitätsbedingung.

S(uf)k = (uf)k+ (uf)_k−1

= uf_k+uf_k−1

= u(fk+f_k−1)

= uS(f)_k

= (uS(f))k

Da dies für allek gilt, folgt

S(uf) = uS(f).

• Zeitinvarianz. Ersetzt man in

S(f)k = fk+fk−1

auf beiden Seitenk durchk−ˆk, erhält man S(f)_k−kˆ = f_k−ˆk+f_k−k−1ˆ . Damit ist

S(f_.−ˆk)k = (f_.−ˆk)k+ (f_.−ˆk)_k−1

= f_k−ˆk+f_k−1−kˆ

= f_k−ˆk+f_k−ˆk−1

= S(f)_k−kˆ

=

S(f)_.−ˆk

k

Da dies für allek gilt, folgt

S(f_.−kˆ) = S(f)_.−kˆ.

Aufgabe 2. Wie im Analogen ist ein diskretes System linear und zeitinvariant genau dann wenn

S(f) = f∗S(δ)

für allef. Die FolgeS(δ) heißt Impulsantwort des Systems.

Hieraus folgen zwei Dinge.

• Jedes LTI System lässt sich durch eine Faltung definieren und zwar mit seiner Impulsantwort.

• Ist ein System durch Faltung mit einer Folgegdefiniert, d.h.S(f) = f ∗g für allef, dann istS LTI und gseine Impulsantwort.

Es gibt somit einen 1:1 Zusammenhang zwischen LTI Systemen und der Faltung.

Wenn man zeigen möchte, dass ein System LTI ist, hat man somit zwei Möglichkeiten. Entweder man weist die Linearität und die Zeitinvarianz direkt nach oder man zeigt, dassS durch eine Faltung mit einer festen Folgegrealisierbar ist.

Sei

S(f)k = 3fk+ 5fk−1.

Bestimmen Sie die Impulsantwort vonf, d.h.S(δ). Zeigen Sie, dass S(f) = f∗S(δ)

für allef. Damit haben Sie bewiesen, dassS LTI ist.

Lösung von Aufgabe 2. Impulsantwort S(δ)k = 3δk+ 5δ_k−1

=







3 fallsk= 0 5 fallsk= 1 0 sonst.

Damit ist

S(δ) = h3,5i.

Faltung mit der Impulsantwort.

(f ∗S(δ))k = (S(δ)∗f)k

=

∞

X

`=−∞

S(δ)_{`</sub>f<sub>k−`}

= S(δ)0f_k−0+S(δ)1f_k−1 daS(δ)`= 0 für alle`6= 0,1

= 3f_k+ 5f_k−1

= S(f)k. Da dies für allekgilt, folgt

f∗S(δ) = S(f).

Aufgabe 3. SeiSein System, bei dem folgender Zusammenhang zwischen Ein- gangssignalf und Ausgangssignalhfür allekbesteht:

h_k+h_k−1 = 3f_k−f_k−2.

Solche Gleichungen heißen Differenzengleichungen und sind das diskrete Pendant zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.

Man kann nun die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort des Sy- stems berechnen, indem man beide Seitenz-transformiert. Sei

fk c sF(z), hk c sH(z).

Mit dem Verschiebungssatz gilt

H(z) +z⁻¹H(z) = 3F(z)−z⁻²F(z) H(z)(1 +z⁻¹) = F(z)(3−z⁻²)

H(z) = F(z)3−z⁻² 1 +z⁻¹

= F(z)3z²−1 z²−z

= F(z)G(z) wobei

G(z) = 3z²−1 z²−z

die Übertragungsfunktion vonS ist. Mit dem Faltungssatz gilt h = f ∗g

wobei g die Impulsantwort ist, die man durch inverse z-Transformation ausG(z) erhält. Nebenbei hat man damit auch gezeigt, dassS LTI ist.

Berechnen Sie die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort für das System, das durch die Differenzengleichung

hk+h_k−1 = fk+ 2f_k−1

gegeben ist und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.

Lösung von Aufgabe 3. z-Transformation auf beiden Seiten.

H(z) +z⁻¹H(z) = F(z) + 2z⁻¹F(z) H(z)(1 +z⁻¹) = F(z)(1 + 2z⁻¹)

H(z) = F(z)1 + 2z⁻¹ 1 +z⁻¹

= F(z)z+ 2 z+ 1 Damit ist die Übertragungsfunktion

G(z) = z+ 2 z+ 1. Mit Polynomdivision erhält man

G(z) = 1 + 1 z+ 1.

Aus

σ_ka^k c s z z−a erhält man mita=−1

σk(−1)^k c s z z+ 1 Verschiebung um einen Takt ergibt

σ_k−1(−1)^k−1 c s z⁻¹ z z+ 1

= 1

z+ 1 Damit ist

G(z) = 1 + 1

z+ 1

s c δk+σ_k−1(−1)^k−1

= δ_k−σ_k−1(−1)^k

= δk−σk(−1)^k+δk

= 2δ_k−σ_k(−1)^k. Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für jedes LTI SystemS gilt

S(f ∗g) = f ∗S(g).

Alles was Sie dafür brauchen ist, dass für LTI SystemeS gilt S(f) = f∗S(δ)

und das Assoziativgesetz der Faltung.

Lösung von Aufgabe 4.

S(f∗g) = (f∗g)∗S(δ)

= f∗(g∗S(δ))

= f∗S(g).

Aufgabe 5. Zeigen Sie ohne Verwendung der z-Transformation, dass die dis- krete Faltung assoziativ ist, d.h.

(f ∗g)∗h=f∗(g∗h).

Lösung von Aufgabe 5.

((f ∗g)∗h)k = X

`

(f∗g)`hk−`

= X

`

X

m

fmg`−mhk−`

= X

m

X

`

fmg_{`−m</sub>h<sub>k−`}

= X

m

fm

X

`

g_{`−m</sub>h<sub>k−`}

In der inneren Summe wird nun`ummvergrößert. Entsprechend müssen die Summationsgrenzen um m verkleinert werden, was aber keine Rolle spielt, da von−∞bis ∞summiert wird. Man erhält damit

X

m

fm

X

`

g`h<sub>k−(`+m)</sub> = X

m

fm

X

`

g`hk−m−`

= X

m

fm(g∗h)k−m

= (f∗(g∗h))k

Aufgabe 6. SeiS ein System, das eine Folgef wie folgt transformiert:

[S(f)]k =

f2 fürk= 0 fk sonst.

bzw.

S(hf0, f1, f2, f3, . . .i) = hf2, f1, f2, f3, f4, . . .i.

• Berechnen Sie die Impulsantwort vonS.

• Ist S linear? IstS zeitinvariant? Geben Sie eine kurze Begründung.

Lösung von Aufgabe 6. Die Impulsantwort ist S(δ) = h0,0,0,0, . . .i S ist linear, da für allekgilt

[S(f+g)]_k =

(f+g)2 fürk= 0 (f+g)_k sonst.

=

f₂+g₂ fürk= 0 f_k+g_k sonst.

=

f₂ fürk= 0 f_k sonst. +

g₂ fürk= 0 g_k sonst.

= [S(f)]_k+ [S(g)]_k [S(af)]_k =

(af)2 fürk= 0 (af)k sonst.

=

a(f2) fürk= 0 a(fk) sonst.

= a

f₂ fürk= 0 f_k sonst.

= a[S(f)]_k. Folglich gilt

S(f +g) = S(f) +S(g) S(af) = aS(f).

S ist nicht zeitinvariant.

• Wenn manf textuell durch durchf_.−kˆ in [S(f)]k =

f₂ fürk= 0 f_k sonst.

ersetzt, erhält man h

S(f(.−ˆk)i

k

=

(f_.−kˆ)₂ fürk= 0 (f_.−kˆ)k sonst

=

f_2−ˆk fürk= 0 f_k−kˆ sonst

• Wenn manktextuell durch k−ˆkin [S(f)]_k =

f2 fürk= 0 fk sonst.

ersetzt, erhält man

[S(f)]_k−kˆ =

f2 fürk−ˆk= 0 f_k−ˆk sonst.

=

f2 fürk= ˆk f_k−ˆk sonst.

Damit ist

S(f_.−ˆk)

k6=S(f)_k−ˆk

fürk= 0 undk= ˆk. Folglich ist

S(f_.−ˆk)6=S(f)_.−kˆ.

Es macht also einen Unterschied, ob man zuerst die Folgef verschiebt und dann durch das System abbildet oder zuerstf durch das System abbildet und danach verschiebt.

Aufgabe 7. Sei

f_k = 2^−|k|

gk = k fürk∈Z. Berechnen Sief ∗g.

Lösung von Aufgabe 7.

(f∗g)k =

∞

X

`=−∞

f`gk−`

= f₀g_k+

−1

X

`=−∞

f_{`</sub>g<sub>k−`}+

∞

X

`=1

f_{`</sub>g<sub>k−`}

= k+

−1

X

`=−∞

2<sup>`</sup>(k−`) +

∞

X

`=1

2<sup>−`</sup>(k−`)

= k+

∞

X

`=1

2<sup>−`</sup>(k+`) +

∞

X

`=1

2<sup>−`</sup>(k−`)

= k+

∞

X

`=1

2<sup>−`</sup>(k+`) + 2<sup>−`</sup>(k−`)

= k+ 2k

∞

X

`=1

2^−`

| {z }

=S

S = 2⁻¹+ 2⁻²+ 2⁻³+. . . 2S = 2⁰+ 2⁻¹+ 2⁻²+. . .

S = 2S−S = 2⁰ = 1 (f∗g)k = k+ 2k

= 3k.

Aufgabe 8. Zeigen Sie mit Hilfe derz-Transformation, dass f_.−ˆk∗g.−mˆ = (f∗g)_{.−(ˆk+ ˆm)}. Lösung von Aufgabe 8.

f_.−ˆk∗g.−mˆ c s F(z)z^−kˆG(z)z^−mˆ

= (F(z)G(z))z^{−(ˆk+ ˆm)} s c (f ∗g)_{.−(ˆk+ ˆm)}.

Aufgabe 9. Zeigen Sie die Ausblendeigenschaft für die diskrete Faltung, d.h.

fkδ<sub>k−`</sub> = f`δ_k−`

für allek, `∈Z. Lösung von Aufgabe 9.

• Falls k=`gilt

f_kδ<sub>k−`</sub> = f<sub>k</sub> f`δk−` = f`

und dak=`folgt

fkδ<sub>k−`</sub> = f`δ_k−`.

• Falls k6=`gilt

fkδk−` = 0 f`δ_k−` = 0 und somit

fkδ<sub>k−`</sub> = f`δ_k−`.

Aufgabe 10. In jedem Semesterkbeginnen an der Hochschulefk Studierende und hk schließen ihr Studium erfolgreich ab. Vereinfachend wird ange- nommen, dass 50% der Anfänger ihr Studium abbrechen, 10% brauchen 7 Semester, 20% brauchen 8 Semester und weitere 20% beenden ihr Stu- dium nach 9 Semestern. Berechnen Sie die Impulsantwort dieses Systems, d.h. eine Folgeg_k so dass

h=f∗g.

Lösung von Aufgabe 10.

g = h0,0,0,0,0,0,0,0.1,0.2,0.2,0,0, . . .i.

Aufgabe 11. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge fk=σkk²a^k

Lösung von Aufgabe 11. Es gilt

σ_ka^k c s z z−a Mit Ableitung im Bildbereich erhält man

σkka^k c s −z z

z−a 0

= −z(z−a)−z (z−a)²

= za

(z−a)² σ_kk²a^k c s −z

za (z−a)²

0

= −za(z−a)²−2za(z−a) (z−a)⁴

= −za(z−a)−2za (z−a)³

= za(z+a) (z−a)³ Aufgabe 12. Für eine Folgef_k gilt

fk−fk−1 = cos(ωk) fürk≥0 und fk = 0 fürk <0. Berechnen SieF(z).

Lösung von Aufgabe 12. Daf_k = 0 fürk <0 gilt fk = σkfk. Multipliziert man beide Seiten mitσ_k erhält man

σk(fk−f_k−1) = σkcos(ωk).

Sei

σkfk c s F(z).

Mit dem Verschiebungssatz gilt

σ_k−1f_k−1 c s z⁻¹F(z).

Daf−1= 0 gilt

σ_k−1f_k−1 = σkf_k−1 für allek.

Diez-Transformierte der linken Seite ist somit σ_k(f_k−f_k−1) = σ_kf_k−σ_kf_k−1

= F(z)−z⁻¹F(z)

= F(z)(1−z⁻¹)

= F(z)z−1 z .

Diez-Transformierte der rechten Seite erhält man mit der Korrespondenz σ_ka^k c s z

z−a wie folgt:

σkcos(ωk) = σk

1

2 e^jωk+e^−jωk c s 1

2 z

z−e^jω + z z−e^−jω

. Damit ist

F(z) = 1 2

z

z−e^jω + z z−e^−jω

z z−1. Aufgabe 13. Seien

f_k = h1,2,3,0,0,0, . . .i gk = h5,3,1,4,0,0,0, . . .i

zwei endliche Folgen, d.h. Folgen mit nur endlich vielen Gliedern ungleich Null.

• Berechen Sie die Folgehk= (f∗g)k durch Faltung.

• Berechnen Sie diez-TransformierteF(z),G(z) undH(z) vonf_k,g_k undh_k.

• Multiplizieren SieF(z) undG(z) indem Sie die Klammern auflösen und Summanden mit gleichem z-Faktor zusammenfassen. Das Er- gebnis muss gleich sein wie die in der vorigen Teilaufgabe berechnete FunktionH(z).

Lösung von Aufgabe 13. Durch Faltung erhält man hk = h5,13,22,15,11,12,0,0,0, . . .i Diez-Transformierten sind

F(z) = 1 + 2z⁻¹+ 3z⁻² G(z) = 5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³

H(z) = 5 + 13z⁻¹+ 22z⁻²+ 15z⁻³+ 11z⁻⁴+ 12z⁻⁵ Multiplikation derz-Transformierten ergibt

F(z)G(z) = 1 + 2z⁻¹+ 3z⁻²

5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³

= 5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³+ 2z⁻¹ 5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³

+ 3z⁻² 5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³

= 5 + 3z⁻¹+z⁻²+ 4z⁻³+ 10z⁻¹+ 6z⁻²+ 2z⁻³+ 8z⁻⁴+ 15z⁻²+ 9z⁻³+ 3z⁻⁴+ 12z⁻⁵

= 5 + 13z⁻¹+ 22z⁻²+ 15z⁻³+ 11z⁻⁴+ 12z⁻⁵. Aufgabe 14. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge

fk =k σ_k−1 cos(k−1).

Sie müssen die entstehenden Termenichtvereinfachen.

Lösung von Aufgabe 14. Aus

σ_kcos(k) = σ_k 1

2 e^jk+e^−jk

= 1

2 σke^jk+σke^−jk und

σke^ak c s z z−e^a folgt

σ_kcos(k) c s 1 2

z

z−e^j + z z−e^−j

.

Mit dem Verschiebungssatz

f_k−1 c s z⁻¹F(z) folgt

σ_k−1cos(k−1) c s 1 2

1

z−e^j + 1 z−e^−j

= 1

2 (z−e^j)⁻¹+ (z−e^−j)⁻¹ . Mit der Ableitung im Bildbereich

kfk c s −zF⁰(z) folgt

k σk−1cos(k−1) c s −z

2 −(z−e^j)⁻²−(z−e^−j)⁻²

= z

2 1

(z−e^j)² + 1 (z−e^−j)²

.

Aufgabe 15. Seif(t) eine Funktion mit Abtastwerten f_k = f(k), k∈Z und

p(t) =

∞

X

k=−∞

δ(t−k).

Sei

f(t)p(t) c s_L Fp(s) fk c s_z Fz(z)

die Laplace Transformierte vonf(t)p(t) bzw. diez-Transformierte vonfk. Zeigen Sie, dass

F_p(s) = F_z(e^s).

Lösung von Aufgabe 15.

f(t)p(t) = f(t)

∞

X

k=−∞

δ(t−k)

=

∞

X

k=−∞

f(t)δ(t−k)

=

∞

X

k=−∞

fkδ(t−k) c s_L X^∞

k=−∞

f_ke^−sk

=

∞

X

k=−∞

fk(e^s)^−k

fk c s_z X^∞

k=−∞

fkz^−k.

Damit ist

Fp(s) =

∞

X

k=−∞

fk(e^s)^−k

Fz(z) =

∞

X

k=−∞

fkz^−k

und folglich

F_z(e^s) = F_p(s).

Aufgabe 16. Zeigen Sie, dass für allek, mgilt δ_k−mfk = δ_k−mfm. Lösung von Aufgabe 16.

δ_k−mfk =

fm fallsk=m 0 fallsk6=m

= δk−mfm.

Aufgabe 17. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge f_k=h1,1,0,0,1,1,0,0, . . .i, d.h.

f0=f1= 1, f2=f3= 0, fk+4=fk fürk∈N⁰.

Lösung von Aufgabe 17.

F(z) =

∞

X

k=0

fkz^−k

= z⁻⁰+z⁻¹ + z⁻⁴+z⁻⁵ + z⁻⁸+z⁻⁹ + . . .

= (1 +z⁻¹) (1 +z⁻⁴+z⁻⁸+. . .)

| {z }

S

.

Mit

S = 1 +z⁻⁴+z⁻⁸+. . . z⁻⁴S = z⁻⁴+z⁻⁸+. . . S(1−z⁻⁴) = 1

S = 1

1−z⁻⁴ gilt

F(z) = 1 +z⁻¹ 1−z⁻⁴

= z⁴+z³ z⁴−1

Aufgabe 18. Seif_k eine beliebigen-periodische Folge, d.h.

fk=hf0, f1, . . . , fn−1, f0, f1, . . . , fn−1, f0, f1, . . .i bzw.

fk+n=fk für alle k∈N0.

Finden Sie eine möglichst einfache Formel für diez-Transformierte vonf_k. Lösung von Aufgabe 18. Sei

a=f₀z⁻⁰+f₁z⁻¹+. . .+f_n−1z⁻⁽ⁿ⁻¹⁾. Dann gilt

f_k c s a+az⁻ⁿ+az⁻²ⁿ+. . .

= a(z⁻⁰+z⁻ⁿ+z⁻²ⁿ+. . .)

| {z }

S

Damit ist

S = z⁻⁰+z⁻ⁿ+z⁻²ⁿ+. . . z⁻ⁿS = z⁻ⁿ+z⁻²ⁿ+. . . S(1−z⁻ⁿ) = 1

S = 1

1−z⁻ⁿ

= zⁿ

zⁿ−1

und

fk c s aS

= f0z⁻⁰+f1z⁻¹+. . .+f_n−1z⁻⁽ⁿ⁻¹⁾ zⁿ zⁿ−1

= f0zⁿ+f1zⁿ⁻¹+f2z²+. . .+fn−1z zⁿ−1

Aufgabe 19. Die Fibonacci Folge ist definiert durch f = h0,1,1,2,3,5,8,13, . . .i bzw. durch

fk = 0 fürk≤0 f₁ = 1

fk+2 = fk+1+fk, fürk≥0.

Berechnen Sie diez-Transformierte vonfk. Nutzen Sie die Korrespondenz σkfk+m c s z^m F(z)−

m−1

X

k=0

fkz^−k

!

Beachten Sie, dass die Gleichung

fk+2 = fk+1+fk

nicht für alle k ∈Z gilt – für k =−1 ist sie nicht erfüllt. Damit sie für allekgilt, muss man beide Seiten mitσk multiplizieren.

σkfk+2 = σkfk+1+σkfk.

Berechnen Sie von dieser Gleichung von Folgen auf beiden Seiten diez- Transformierte und lösen Sie nachF(z) auf.

Lösung von Aufgabe 19. Seif_k die Fibonacci Folge und σkfk c s F(z).

Mit dem Verschiebungssatz

σ_kf_k+m c s z^m F(z)−

m−1

X

k=0

f_kz^−k

!

erhält man

σ_kf_k+2 c s z² F(z)−f₀z⁻⁰−f₁z⁻¹

= z²F(z)−z σkfk+1 c s z¹ F(z)−f0z⁻⁰

= zF(z).

Aus der Gleichung

σ_kf_k+2 = σ_kf_k+1+σ_kf_k erhält man durchz-Transformation

z²F(z)−z = zF(z) +F(z).

Auflösen nachF(z) ergibt

F(z)(z²−z−1) = z bzw.

F(z) = z

z²−z−1

Aufgabe 20. Berechnen Sie die inversez-Transformierte von

F(z) = z

z²−1. Lösung von Aufgabe 20. Partialbruchzerlegung.

z

z²−1 = z

(z−1)(z+ 1)

= c1

z−1+ c2

z+ 1 z = c1(z+ 1) +c2(z−1) Spezialfallz= 1 liefert

1 = 2c₁ c1 = ¹/2. Spezialfallz=−1 liefert

−1 = −2c₂ c2 = ¹/2

Damit ist

F(z) =

1/2

z−1 +

1/2

z+ 1. Rücktransformation.

z

z−1 s c σk

1

z−1 s c σk−1

z

z+ 1 s c σk(−1)^k 1

z+ 1 s c σk−1(−1)^k−1

= −σk−1(−1)^k F(z) s c ¹/2σ_k−1(1−(−1)^k)

= ¹/2σk(1−(−1)^k)

= h0,1,0,1, . . .i

Aufgabe 21. Sei

fk c s F(z) und

gk = ke^akfk. Berechnen SieG(z) in Abhängigkeit vonF(z).

Lösung von Aufgabe 21. Aus

a^kf_kc sF(z/a) folgt

e^akf_k c s F(z/e^a).

Mit

kfk c s −z d dzF(z) folgt

ke^akfk c s −z d

dzF(z/e^a)

= −z 1

e^aF⁰(z/e^a).

Aufgabe 22. Zeigen Sie, dass

b

X

`=a

f_`−k =

b−k

X

`=a−k

f_`.

Lösung von Aufgabe 22. Schreibt man die Summen aus, erhält man

b

X

`=a

f_`−k = f_a−k+f_a+1−k+f_a+2−k+. . .+f_b−k

= fa−k+fa−k+1+fa−k+2+. . .+fb−k

=

b−k

X

`=a−k

f`.