Heilbronn, den 9.11.2021 Prof. Dr. V. Stahl WS 21/22
Übungen zu Mathematik 3
Blatt 7
Zu bearbeiten bis 16.11.2021
Name: Matrikelnr.:
Pflichtaufgabe. Vergleichen Sie Ihre Lösungen des letzten Aufgabenblatts mit den Musterlösungen.
• Geben Sie die Nummern der Aufgaben an, die Sie richtig bzw. nicht richtig gelöst haben.
• Schreiben Sie jede Aufgabe, die Sie nicht richtig gelöst haben, von der Musterlösung ab und geben Sie an wo Ihr Problem lag (z.B.
Rechenfehler, Aufgabenstellung nicht verstanden, Wissenslücke im Stoff der Vorlesung, usw.).
Aufgabe 1. Ein diskretes System S ist eine Funktion von Folgen. Ist f die Eingangsfolge undhdie Ausgangsfolge, schreibt man
h = S(f) oder
hk = [S(f)]k für allek.
Falsch wäre
hk = S(fk)
dafk eine Zahl ist undS als Argument eine Folge erwartet.
S heißt linear wenn
S(f +g) = S(f) +S(g) S(uf) = uS(f) für alle Folgenf, g undu∈R.
S heißt zeitinvariant, wenn
S(f.−ˆk) = S(f).−ˆk.
Hierbei bedeutet der Index.−ˆkdie Verzögerung einer Folge um ˆkTakte, d.h.
f.−kˆ
k = fk−ˆk.
Bei kontinuierlichen Funktionen haben wir die Verzögerung mit Index ˆt geschrieben, d.h.
fˆt(t) = f(t−ˆt).
Bei Folgen wäre dann aber nicht klar, ob mitfˆk der Abtastwert vonf an der Stelle ˆkgemeint ist oder die Folgef um ˆkverzögert.
Sei nun
S(f)k = fk+fk−1
DassS die erste Linearitätsbedingung erfüllt, zeigt man wie folgt S(f+g)k = (f+g)k+ (f +g)k−1
= fk+gk+fk−1+gk−1
= fk+fk−1 + gk+gk−1
= S(f)k+S(g)k
= (S(f) +S(g))k
Da dies für allekgilt, folgt
S(f +g) = S(f) +S(g).
Zeigen Sie in gleicher Weise, dassSauch die zweite Linearitätsbedingung erfüllt und zeitinvariant ist.
Aufgabe 2. Wie im Analogen ist ein diskretes System linear und zeitinvariant genau dann wenn
S(f) = f∗S(δ)
für allef. Die FolgeS(δ) heißt Impulsantwort des Systems.
Hieraus folgen zwei Dinge.
• Jedes LTI System lässt sich durch eine Faltung definieren und zwar mit seiner Impulsantwort.
• Ist ein System durch Faltung mit einer Folgegdefiniert, d.h.S(f) = f ∗g für allef, dann istS LTI und gseine Impulsantwort.
Es gibt somit einen 1:1 Zusammenhang zwischen LTI Systemen und der Faltung.
Wenn man zeigen möchte, dass ein System LTI ist, hat man somit zwei Möglichkeiten. Entweder man weist die Linearität und die Zeitinvarianz direkt nach oder man zeigt, dassS durch eine Faltung mit einer festen Folgegrealisierbar ist.
Sei
S(f)k = 3fk+ 5fk−1.
Bestimmen Sie die Impulsantwort vonf, d.h.S(δ). Zeigen Sie, dass S(f) = f∗S(δ)
für allef. Damit haben Sie bewiesen, dassS LTI ist.
Aufgabe 3. SeiSein System, bei dem folgender Zusammenhang zwischen Ein- gangssignalf und Ausgangssignalhfür allekbesteht:
hk+hk−1 = 3fk−fk−2.
Solche Gleichungen heißen Differenzengleichungen und sind das diskrete Pendant zu linearen Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.
Man kann nun die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort des Sy- stems berechnen, indem man beide Seitenz-transformiert. Sei
fk c sF(z), hk c sH(z).
Mit dem Verschiebungssatz gilt
H(z) +z−1H(z) = 3F(z)−z−2F(z) H(z)(1 +z−1) = F(z)(3−z−2)
H(z) = F(z)3−z−2 1 +z−1
= F(z)3z2−1 z2−z
= F(z)G(z) wobei
G(z) = 3z2−1 z2−z
die Übertragungsfunktion vonS ist. Mit dem Faltungssatz gilt h = f ∗g
wobei g die Impulsantwort ist, die man durch inverse z-Transformation ausG(z) erhält. Nebenbei hat man damit auch gezeigt, dassS LTI ist.
Berechnen Sie die Übertragungsfunktion und die Impulsantwort für das System, das durch die Differenzengleichung
hk+hk−1 = fk+ 2fk−1
gegeben ist und vereinfachen Sie das Ergebnis so weit wie möglich.
Aufgabe 4. Zeigen Sie, dass für jedes LTI SystemS gilt S(f ∗g) = f ∗S(g).
Alles was Sie dafür brauchen ist, dass für LTI SystemeS gilt S(f) = f∗S(δ)
und das Assoziativgesetz der Faltung.
Aufgabe 5. Zeigen Sie ohne Verwendung der z-Transformation, dass die dis- krete Faltung assoziativ ist, d.h.
(f ∗g)∗h=f∗(g∗h).
Aufgabe 6. SeiS ein System, das eine Folgef wie folgt transformiert:
[S(f)]k =
f2 fürk= 0 fk sonst.
bzw.
S(hf0, f1, f2, f3, . . .i) = hf2, f1, f2, f3, f4, . . .i.
• Berechnen Sie die Impulsantwort vonS.
• Ist S linear? IstS zeitinvariant? Geben Sie eine kurze Begründung.
Aufgabe 7. Sei
fk = 2−|k|
gk = k fürk∈Z. Berechnen Sief ∗g.
Aufgabe 8. Zeigen Sie mit Hilfe derz-Transformation, dass f.−ˆk∗g.−mˆ = (f∗g).−(ˆk+ ˆm).
Aufgabe 9. Zeigen Sie die Ausblendeigenschaft für die diskrete Faltung, d.h.
fkδk−` = f`δk−`
für allek, `∈Z.
Aufgabe 10. In jedem Semesterkbeginnen an der Hochschulefk Studierende und hk schließen ihr Studium erfolgreich ab. Vereinfachend wird ange- nommen, dass 50% der Anfänger ihr Studium abbrechen, 10% brauchen 7 Semester, 20% brauchen 8 Semester und weitere 20% beenden ihr Stu- dium nach 9 Semestern. Berechnen Sie die Impulsantwort dieses Systems, d.h. eine Folgegk so dass
h=f∗g.
Aufgabe 11. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge fk=σkk2ak
Aufgabe 12. Für eine Folgefk gilt
fk−fk−1 = cos(ωk) fürk≥0 und fk = 0 fürk <0. Berechnen SieF(z).
Aufgabe 13. Seien
fk = h1,2,3,0,0,0, . . .i gk = h5,3,1,4,0,0,0, . . .i
zwei endliche Folgen, d.h. Folgen mit nur endlich vielen Gliedern ungleich Null.
• Berechen Sie die Folgehk= (f∗g)k durch Faltung.
• Berechnen Sie diez-TransformierteF(z),G(z) undH(z) vonfk,gk
undhk.
• Multiplizieren SieF(z) undG(z) indem Sie die Klammern auflösen und Summanden mit gleichem z-Faktor zusammenfassen. Das Er- gebnis muss gleich sein wie die in der vorigen Teilaufgabe berechnete FunktionH(z).
Aufgabe 14. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge fk =k σk−1 cos(k−1).
Sie müssen die entstehenden Termenichtvereinfachen.
Aufgabe 15. Seif(t) eine Funktion mit Abtastwerten fk = f(k), k∈Z und
p(t) =
∞
X
k=−∞
δ(t−k).
Sei
f(t)p(t) c sL Fp(s) fk c sz Fz(z)
die Laplace Transformierte vonf(t)p(t) bzw. diez-Transformierte vonfk. Zeigen Sie, dass
Fp(s) = Fz(es).
Aufgabe 16. Zeigen Sie, dass für allek, mgilt δk−mfk = δk−mfm. Aufgabe 17. Berechnen Sie diez-Transformierte der Folge
fk=h1,1,0,0,1,1,0,0, . . .i, d.h.
f0=f1= 1, f2=f3= 0, fk+4=fk fürk∈N0. Aufgabe 18. Seifk eine beliebigen-periodische Folge, d.h.
fk=hf0, f1, . . . , fn−1, f0, f1, . . . , fn−1, f0, f1, . . .i bzw.
fk+n=fk für alle k∈N0.
Finden Sie eine möglichst einfache Formel für diez-Transformierte vonfk.
Aufgabe 19. Die Fibonacci Folge ist definiert durch f = h0,1,1,2,3,5,8,13, . . .i bzw. durch
fk = 0 fürk≤0 f1 = 1
fk+2 = fk+1+fk, fürk≥0.
Berechnen Sie diez-Transformierte vonfk. Nutzen Sie die Korrespondenz σkfk+m c s zm F(z)−
m−1
X
k=0
fkz−k
!
Beachten Sie, dass die Gleichung
fk+2 = fk+1+fk
nicht für alle k ∈Z gilt – für k =−1 ist sie nicht erfüllt. Damit sie für allekgilt, muss man beide Seiten mitσk multiplizieren.
σkfk+2 = σkfk+1+σkfk.
Berechnen Sie von dieser Gleichung von Folgen auf beiden Seiten diez- Transformierte und lösen Sie nachF(z) auf.
Aufgabe 20. Berechnen Sie die inversez-Transformierte von
F(z) = z
z2−1. Aufgabe 21. Sei
fk c s F(z) und
gk = keakfk. Berechnen SieG(z) in Abhängigkeit vonF(z).
Aufgabe 22. Zeigen Sie, dass
b
X
`=a
f`−k =
b−k
X
`=a−k
f`.
Pflichtaufgabe.
• Was haben Sie in der vergangenen Woche in der Vorlesung gelernt (3 Sätze)?
• Was fanden Sie besonders schwierig?
• Was haben Sie noch nicht richtig verstanden?
