Flächentragwerke: 20-148: Vorlesungsunterlagen Abt. II, 8. Semester, Sommersemester 1999

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Educational Material

Flächentragwerke: 20-148

Vorlesungsunterlagen Abt. II, 8. Semester, Sommersemester 1999

Author(s):

Kaufmann, Walter Publication Date:

1998

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https://doi.org/10.3929/ethz-a-010483008

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ETH Zürich, Abt. II, 8. Semester Sommersemester 1999

FLÄCHENTRAGWERKE

20-148 Dr. W. Kaufmann

Inhaltsübersicht

1. Einleitung 2. Scheiben 3. Platten

4. Schalen (Beilage) 5. Faltwerke (Beilage)

Literatur

• Girkmann, K., Flächentragwerke, Springer, Wien, 6. Auflage, 1963, 632 pp.

• Timoshenko, S.P., and Woinowsky-Krieger, S., Theory of Plates and Shells, Mc Graw-Hill, International Student Edition, 1959, 580 pp.

• Flügge, S., Stresses in Shells, Springer, Berlin, 4th Printing, 1967, 499 pp.

• Hillerborg, A., Strip Method of Design, Viewpoint, London, 1975, 256 pp.

• Johansen, K.W., Yield Line Theory, Cement and Concrete Association, London, 1962, 181 pp.

• Muttoni, A., Schwartz, J., und Thürlimann, B., Bemessung von Betontragwerken mit Span- nungsfeldern, Birkhäuser, Basel, 1997, 162 pp.

Organisation

• Vorlesung: Mittwoch, 10.00-12.00, HIL E7. Unterlagen werden in der Vorlesung abgegeben, Unkostenbeitrag von Fr. 10.-

• Übungen und Kolloquien: Montag, 15.00-17.00, HIL E7, Termine gemäss Vorlesungsankün- digung

• Modellversuche: Organisation gemäss separater Ankündigung

• Sprechstunde: 14.00-16.00, HIL E42.1 (M. Monotti)

1 Einleitung

Ziele

• Tragverhalten von Flächentragwerken in den wichtigsten Grundzügen verstehen

• Typische Anwendungen in den verschiedenen Materialien kennen

• Resultate numerischer Berechnungen interpretieren und kontrollieren können

• Zugang zur Fachliteratur finden

Übersicht: Flächentragwerke

Übersicht: Schwerpunkte der Vorlesung

Scheibe Platte Schale Faltwerk

Ebenes, nur durch Kräfte in seiner Ebe- ne belastetes Trag- werk

Ebenes, primär oder aussschliesslich durch Kräfte senk- recht zu seiner Ebene belastetes Tragwerk

Flächentragwerk mit gekrümmter Mittel- fläche

Aus ebenen Teilflä- chen gebildetes Trag- werk

Schnittkraftermittlung Dimensionierung Analyse, Beurteilung Lineare Elastizitätstheorie

Energieverfahren/FE

Fliessbedingungen nach Plastizitätstheorie

Last-Verformungsanalysen linear/nichtlinear/FE Kollapsmechanismen nach Plastizitätstheorie (insbesondere Fliessgelenklinienmethode für Platten) Gleichgewichtslösungen

nach unterem Grenzwertsatz der Plastizitätstheorie

Hauptthemen, Kernpunkte der Vorlesung

Nur Grundlagen behandelt

Spannungen und Spannungsresultierende (ebenes Element)

Biege- und Drillmomente [kNm/m] = [kN]:

Querkräfte [kN/m]:

Membrankräfte [kN/m]:

• , : Biegespannungszustand (Platte)

• : Membranspannungszustand (Scheibe)

• Positive Spannungen wirken an Elementen mit positiver äusserer Normalenrichtung in positi- ver Achsenrichtung

• Positive Membran- und Querkräfte entsprechen positiven Spannungen

• Positive Momente entsprechen positiven Spannungen für z > 0

• Indizes: 1) Richtung, 2) Normalenrichtung

Verschiebungen, Verzerrungen

u, v, w Komponenten der Verschiebungen in Richtungen x, y, z ε

, ε

Dehnungen in Richtungen x, y

γ

Schiebungen (Verkleinerung des rechten Winkels zwischen den x- und y-Achsen) σ

dz

τ

dz

h/2 z h/2 dz

τ

dz σ

dz

1 1

z y x

τ

dz τ

dz

z

n

v

v

n

n

n

m

m

m

m

x

y

m

σ

z z d

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= m

σ

z z d

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= m

m

τ

z z d

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= =

v

τ

d z

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= v

τ

d z

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

=

n

σ

d z

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= n

σ

d z

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= n

n

τ

d z

h 2⁄ -

h 2⁄

∫

= =

{ } m { } v

{ } n

Belastung und Lagerung, Randbedingungen

• Die Belastung setzt sich allgemein aus Körperkräften f = { f

, f

, f

} und Oberflächenkräften p = { p

, p

, p

} zusammen

• Je nach Ausbildung der Lagerung sind Verschiebungskomponenten oder deren Ableitungen vorgeschrieben

• Statische / kinematische Randbedingungen:

Entlang der Oberfläche sind statische / kinematische Grössen vorgeschrieben

Ermittlung des Spannungs- und Deformationszustandes

In der Praxis geht es dem Ingenieur darum, die für die Bewältigung eines aktuellen Problems we- sentlichen Aspekte des Spannungs- und Deformationszustandes zu ermitteln. Dabei stehen ihm zur Verfügung:

• Gleichgewichtsbeziehungen und statische Randbedingungen

• kinematische Beziehungen und Randbedingungen

• Stoffbeziehungen

• Elastische Lösungen erfordern den Einbezug von Gleichgewichtsbedingungen, Stoffbezie- hungen und kinematischen Beziehungen;

• Plastische Lösungen erlauben, den Spannungszustand (statisch zulässiges Spannungsfeld) und den Deformationszustand (Kollapsmechanismus) voneinander unabhängig zu ermitteln;

dies vereinfacht die Behandlung in der Regel wesentlich.

Belastung Material Lagerung

Spannungs- zustand

Deformations- zustand statische

Randbed.

Stoffbeziehungen kinematische

Randbed.

Gleichge- wichtsbed.

kinematische Beziehungen

plastische Lösung statische

Methode kinematische

Methode vollständige

Lösung elastische Lösung Minimum der

Komplementär- energie

Minimum der potentiellen

Energie analytische

Lösung

2 Scheiben

Gleichgewichtsbedingungen

N.B.:

1) folgt aus Momentenbedingung

2) Membrankräfte (σ, τ konstant über Scheibendicke t):

, ,

Spannungstransformation – Mohrscher Kreis

Gleichgewicht liefert:

Umgeformt, mit , :

Hauptspannungsrichtungen (Bedingung ) und Hauptspannungen:

(σ_x+σ_x,xdx)dy

(τ_xy+τ_xy,ydy)dx x

y dx dy

f_xdxdy

f_ydxdy

(σ_y+σ_y,ydy)dx (τ_yx+τ_yx,xdx)dy σ_ydx

τ_xydx

σ_xdy τ_yxdy

σ

+ τ

+ f

= 0 τ

+ σ

+ f

= 0

τ

= τ

n

= tσ

n

= tσ

n

= tτ

x

y

σysinϕ τ_xysinϕ

σxcosϕ τ_yxcosϕ

σ_n τ_tn

1 ϕ

n

t y

x

1

σycosϕ τ_xycosϕ

σ_xsinϕ τ_yxsinϕ σt^t τ_nt

ϕ n

t

τ

σ

X

Y

1

Q (Pol) N T

2

ϕ ϕ₁ 2ϕ 2ϕ₁

τ σ (+)

σ

⋅ 1 = σ

cos

ϕ + σ

sin

ϕ + 2τ

sin ϕ cos ϕ σ

⋅ 1 = σ

sin

ϕ + σ

cos

ϕ – 2τ

sin ϕ cos ϕ τ

⋅ 1 = ( σ

– σ

) sin ϕ cos ϕ τ +

( cos

ϕ – sin

ϕ ) 2ϕ

sin = 2 sin ϕ cos ϕ cos 2ϕ = ( cos

ϕ – sin

ϕ ) σ

σ

+ σ

--- 2 σ

– σ

--- 2 cos 2ϕ τ

sin 2ϕ

+ +

=

σ

σ

+ σ

--- 2 σ

– σ

--- 2

– cos 2 ϕ + – τ

sin 2ϕ

=

τ

σ

– σ

--- 2

- sin 2 ϕ + τ

cos 2ϕ

=

τ

= 0 2ϕ

( )

tan 2τ

σ

– σ

---

= σ

σ

+ σ

--- 2 ( σ

– σ

)

+ 4τ

--- 2

±

=

Fachwerkmodelle und Spannungsfelder

Seit rund hundert Jahren werden in Europa Fachwerkmodelle der Bemessung von Bauteilen aus Stahlbeton zugrundegelegt. Nachdem sie lange Zeit von der Elastizitätstheorie in den Hinter- grund gedrängt worden waren, erfahren Fachwerkmodelle in letzter Zeit eine eigentliche Renais- sance und werden zunehmend auch in Nordamerika beachtet (ein entsprechender Anhang zum ACI Building Code ist in Vernehmlassung).

Ursprünglich wurde primär der globale Kraftfluss verfolgt, die Ausdehnung der Druckstreben war dabei sekundär (“Stabwerkmodelle”). Seit etwa 1975 werden Fachwerkmodelle in Verbin- dung mit der Annahme einer endlichen Betondruckfestigkeit f

angewendet; die Abmessungen der Druckstreben und Knoten ergeben sich aus der Annahme von f

. Die resultierenden Fach- werkmodelle sind statisch zulässige Spannungsfelder im Rahmen der statischen Methode der Plastizitätstheorie und beruhen somit auf einer klaren theoretischen Grundlage. Im Rahmen die- ser Vorlesung werden solche Fachwerkmodelle generell als (diskontinuierliche) Spannungsfelder bezeichnet, auch wenn sie lediglich aus Streben und Zugbändern bestehen. Bei den genannten Entwicklungen spielte die “Zürcher Schule” um Prof. Thürlimann an der ETH Zürich eine Pio- nierrolle. Die Übersicht auf der folgenden Seite fasst die Entwicklungen zusammen.

Folgende Grundsätze sollten bei der Entwicklung von Spannungsfeldern beachtet werden:

• Einfachheit (möglichst orthogonale Bewehrung)

• Steifigkeit (kurze Zugstreben)

• Effizienz (Mindestbewehrung ausnützen)

Diese drei Grundsätze führen in der Regel zu einer wirtschaftlichen Bemessung. Die Forde- rung nach Steifigkeit kann zudem mit dem Prinzip vom Minimum der Komplementärenergie be- gründet werden.

Sehr zu empfehlen ist die massstäbliche Zeichnung der Modelle. In jedem Fall sollte eine aus- reichende Mindestbewehrung angeordnet werden (ρ = 0.1…0.3%, je nach Anwendung). Die Wahl der effektiven Betondruckfestigkeit erfordert besondere Aufmerksamkeit (siehe separates Kapitel).

Ritter, “Die Bauweise Hennebique” (1899)

Mörsch, “Der Eisenbetonbau” (1908) Mörsch, “Der Eisenbetonbau” (1922)

7

- original approaches (linear, nonlinear)

- modified approaches (tension stiffening, interlocked cracks)

(semi-) empirical approaches classical truss model

limit analysis methods

linear and nonlinear finite element analyses compression field approaches

continuity regions (stresses and strains constant or varying gradually) discontinuity regions

“V_c + V_s”-models calibrated on tests

- empirical methods, model tests - shear friction theory

Hennebique, Ritter, Mörsch

- variable angle truss model

- yield conditions for membrane elements - continuous stress fields

- failure mechanisms

- strut and tie models

(dimensions governed by finite fc) - discontinuous stress fields

- failure mechanisms

(semi-) empirical approaches

overall force flow no explicit check of fc

general truss models

x

z θ

θ ε

γ/2

Übersicht: Schubbemessungsverfahren für Stahlbetontragwerke.

[Ritter (1899)]

[Birkeland (1966)]

[Mörsch (1908)] [Mörsch (1922)]

[ACI/ASCE (1962)]

Beispiel: Scheibe mit verteilter Belastung, Streben- und Fächertragwirkung

Die Abmessungen der Lager- und Lasteinleitplatten ergeben sich aus der Annahme von f

; die Punkte A…E sind in allen drei Fällen identisch (siehe hinten). Die Knotenabmessungen können somit für alle drei Fälle anhand des einfachen Streben-Zugband-Spannungsfeldes ermittelt wer- den. Aus der Gleichgewichtsbedingung ergibt sich mit eine quadratische Glei- chung für q, mit der Lösung:

für

für

Der genaue Verlauf der Fächerberandungen wird in der Praxis selten benötigt. Bei Bedarf kann, mit Hilfe einer Gleichgewichtsbedingung an einem differentiellen Fächerelement, eine Differentialgleichung für diese Kurven formuliert werden. Für den Verlauf der unteren Fächerbe- randung folgt daraus zum Beispiel

C L

q qa

qa/2

qa/2 C L

C L

a a/2

a/2 a/2

a/4 a/4

F

F

qa

h − 2ω d ω d

ω d

A

B C

F

F

qa

ω d

ω d

A

B C

F

F

qa

ω d

ω d

A

B C

qa/(b

f

)

qa/(b

f

) qa/(b

f

)

E D

f_c q

f_c f_c

f_c

b

h − 2ω d h − 2ω d

E D

E D

x

y

z d h

geometrischer/mechanischer Bewehrungsgehalt:

Gleichgewicht:

ρ A

b

d ---

= ω ρ f

f

---

=

ωdb

f

d 1 ( – ω ⁄ 2 ) qa

--- 1 2 q b

f

---

 – 

 

=

h = d 1 ( + ω ⁄ 2 )

q b

f

--- 1 2 1 8 h

a

--- ω ( 1 – ω ⁄ 2 ) 1 + ω ⁄ 2

( )

--- –

 – 

 

= ω ≤ 2 3 ⁄

q b

f

--- 1 2 1 2 h

a

--- –

 – 

 

= ω ≥ 2 3 ⁄

y f

– q 2qd 1 ( – ω ⁄ 2 ) ---x

=

Die meisten Spannungsfelder weisen Diskontinuitäten auf. Solche Spannungsfelder sind nur statisch zulässig, falls an den Spannungsdiskonunitäten folgende Bedingungen eingehalten sind (Gleichgewicht an einem Element der Diskontinuität):

• die Normal- und Schubspannungen senkrecht zur Diskontinuität müssen kontinuierlich sein

• lediglich die Normalspannungen parallel zur Diskontinuität dürfen springen

Die im Beispiel gezeigten Spannungsfelder sind gegenüber der Wirklichkeit stark idealisiert.

Das Zugband wirkt wie eine Bewehrung ohne Verbund, jedoch mit einer Endverankerung. Ver- bundkräfte führen in Wirklichkeit zu sukzessiver Rissbildung, und erst mit zunehmender Bela- stung stellt sich die Streben-Zugbandwirkung ein. Falls keine Mindestbewehrung angeordnet wird besteht die Gefahr, dass ein diagonaler Riss weit in die Druckzone vordringt und die Struk- tur versagt, bevor die angestrebte Tragwirkung erreicht wird. Eine Verbesserung ergibt sich durch Vorspannung des Zugbandes, womit die Streben-Zugbandwirkung erzwungen wird.

Nur bei gedrungenen Scheiben ist eine Lastabtragung durch direkte Abstützung auf die Lager sinnvoll; bei schlankeren Scheiben werden die Knotenabmessungen sehr gross, und die Veranke- rung der Bewehrung wird problematisch. Durch die Anordnung einer vertikalen Bewehrung (re- spektive die Ausnutzung der vertikalen Mindestbewehrung) kann diesen Problemen begegnet werden, zum Beispiel wie folgt:

[aus: Sigrist, V., Alvarez, M., and Kaufmann, W., “Shear and Flexure in Structural Concrete Beams,” Comité Euro-In- ternational du Béton, CEB Bulletin d’information, No. 223, June 1995, pp. 7-49. Diese Publikation ist auf dem IBK- Server als pdf-file verfügbar, siehe http://www.ibk.baum.ethz.ch/publ/Ma/Kfm95.html]

d h b_w

d h F_c

F_t Q

b = Q/(b_wf_c)

Q a

b = Q/(b_wf_c) a

F_c

F_t Q

Q F_c

F_t Q

Q

c_a

F_c

F_t Q

Q

b_w

(a) (b)

(c) (d)

D E

A

B C

D E

A

B C

D E

A

B C

D E

A

B C

H

J C’

F G

H

J F

G F

G F

I I

ωd h-2ωd

ωd

ωd

h-ωd-c_a

Die Knotenbereiche verdienen besondere Beachtung:

• In Bild (a) treffen drei Streben mit unterschiedlichen Spannungen zusammen; die drei Kräfte sind im Gleichgewicht. Die grösste Druckspannung im Knoten ist grösser als die grösste Druckspannung in den Streben, ausser die Knotenberandung steht senkrecht auf die entspre- chende Strebe. Die Verbindungslinie der Pole der Mohrschen Kreise der Spannungszustände auf beiden Seiten einer Diskontinuitätslinie ist parallel zur Spannungsdiskontinuitätslinie, Bild (b).

b_B

bC

b_A

F_B

F

F

F

F_B = -s _B· b_B

F

= -s

· b

F

= -s

· b

s

s

s

s

s

F

F

F

F

F_B

F_B F_B F_B

F

F

F

F

F

F_B

F

F

s t t s Q

Q_B

Q

Q

S

=S

=S

=Q

Q

Q_B

Q

A B

C

S

S_B

S

C B

A

-f

C B

A D

B

C

A

bA

b_C

b_B

F_B = f_c· b_B

F

= f

· b

F

= f

· b

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

-s 1

-s 2

f_c fc

fc

-s A

-s B

-s C

fc

f_c

f_c

f_c fc

fc

f_c

f_c fc

f_c

f_c fc

O

• Wesentlich einfacher und praxisrelevanter sind die in den Bildern (c), (e) und (f) gezeigten Knoten mit gleicher Spannung in allen Streben. Die Knotenberandung ist in diesem Fall senk- recht zu den Streben, und die Knotengeometrie ist affin zum Polygon der Strebenkräfte.

• In den Knoten der Bilder (c), (e) und (f) herrscht ein sogenannter “hydrostatischer” Span- nungszustand, Bild (d): σ

= σ

= f

(streng genommen ist der Spannungszustand nicht hydro- statisch, da die Spannung senkrecht zur Scheibenebene σ

= 0 ist).

• Wird die Strebe C in Bild (c) durch zwei statisch äquivalente Streben D, E ersetzt, ändert le- diglich der Verlauf der Knotenberandung innerhalb der ursprünglichen Strebe, Bild (e); die Knotenpunkte A, B, und C bleiben erhalten. Dies ist insbesondere bei der Betrachtung von fä- cherartigen Spannungsfeldern nützlich (Knotenabmessungen können anhand der Resultieren- den der Fächerspannungen resp. am einfachen Fachwerkmodell überprüft werden, der genaue Verlauf der Berandung ist unwichtig).

• Zugkräfte können durch Ankerplatten hinter dem Knotenbereich verankert werden und wir- ken dann wie eine Druckkraft auf den Knoten.

Konstruktive Knotendurchbildung:

Bei der konstruktiven Durchbildung sind die Knotenbereiche mit besonderer Sorgfalt zu be- handeln. Ankerplatten sind in der Praxis unüblich; zur Verankerung grosser Zugkräfte bilden sie jedoch manchmal die einzige Möglichkeit.

Eine andere Lösung besteht darin, Steckbügel resp. “Haarnadeln” anzuordnen, Bilder (a) und (b); die Wirkungsweise der Steckbügel kann wiederum mit einem lokalen Spannungsfeld, Bilder (c) und (d), beschrieben werden. Man erkennt, dass der Überdeckungsbeton nur durch die Zugfe- stigkeit des Betons aktiviert werden kann.

Alternativ dazu lassen sich Spannungsfelder entwickeln, welche einem kontinuierlichen Auf- bau der Zugkraft durch Verbundschubspannungen entsprechen. Dazu sind jedoch grössere Kno- tenabmessungen erforderlich.

A B

C (a)

(b)

(c)

(d)

Diskontinuierliche Spannungsfelder eignen sich hervorragend zur Dimensionierung von Stahlbetonträgern.

Beispiel: Bemessung eines parallelgurtigen Trägers

(d) (e) (f) (g)

0 0

(a)

270 270 270 270 324 324 324 324 324 1000

P=1000kN q=270kNm^-1

270

A B C

.50 1.00 1.00 1.00 .50 .60 1.20 1.20 1.20 1.20 .60 .45 .90 .90 .45

1000

1.00 1.00 1.00 1.00 1.20 1.20 1.20 1.20 1.20 .90 .90 .90

d_v=.90m

10.00 m 2.70 m

2620 1080

2620 1080

-600

-1500 -2100 -2400

-1968

-1104 192

1920

3000 2500

1500 500

600 1500

2100 2400 1968

1104 -192

-1920 -2500 -1500

-500

2400

810

540 270 270

540

810

1080 1111

-600 -1500 -2100 -1968 -1104 192 1920 3000 2500 1500 500

600 1500 2100 2400 2400 2400 1968 1104 -192

-1920 -2500

-1500 -500

810 540 270 324 1000648 972 1296 1000 1000

-2400

(b)

(c)

.90 .90 Spannungs- feld [m,kN]

Fachwerk- modell [m,kN]

Kraft im Obergurt

Kraft im Untergurt

Bügel- kräfte

F_sup[kN]

F_inf [kN]

f_w[kNm^-1]

θ f_wdx qdx

dx

F_sup F_sup+dF_sup

-σc2b_wdxsinθ

f_wl

f_wr

q q q

f_w f_w

F_sup

d_v F_inf

F_sup F_sup

-F_inf F_sup

-F_inf

F_sup zentrierter F_sup

Fächer (O)

nicht-zentrierter Fächer mit Knoten

zentrierter Fächer (O)

nicht-zentrierter Fächer ohne Knoten

O O

Fachwerk- modell

x x

x

d_v d_v

e

a b a_o b a_o b

Fachwerkmodell Spannungsfeld

-σ_c2 -σ_c2

Spannungs- feld

• Bild (a) zeigt System und Belastung; die Stegdicke b

ist noch zu bestimmen.

• Bild (b) zeigt das der Bemessung zugrundegelegte Spannungsfeld und zum Vergleich das ent- sprechende Fachwerkmodell. Das Spannungsfeld besteht aus Parallelfeldern (parallelo- grammförmige Bereiche mit konstanter Neigung θ des einachsigen Druckfeldes im Stegbe- ton) und zentrierten Fächern (dreiecksförmige Bereiche mit variabler Druckfeldneigung, bei den Lagern und an Stellen, wo konzentrierte Kräfte wirken). Fächer heissen zentriert, wenn sich alle Trajektorien des Betondruckfeldes in einem Punkt treffen, der nicht zwingend im Spannungsfeld resp. in der Struktur enthalten sein muss. Ist das Fächerzentrum Bestandteil des Spannungsfeldes, sprechen wir von einem punktzentrierten Fächer (im allgemeinen sind Fächer nicht zentriert, d.h. die Trajektorienschnittpunkte beschreiben eine Enveloppe, die nur im Spezialfall des zentrierten Fächers zu einem Punkt degeneriert).

• Ausgehend von den Querkraftnullpunkten können die Gurt- und Bügelkräfte bestimmt wer- den, Bild (c). Der Einfachheit halber sind die Bereiche zwischen den Querkraftnullpunkten im gewählten Spannungsfeld in gleiche Abschnitte unterteilt worden; dies ist nicht zwingend erforderlich, siehe unten. Die Bügelkräfte (pro Einheitslänge) werden am einfachsten an- hand von diagonalen Schnitten entlang der Grenzen der Parallelfelder resp. Fächer bestimmt;

entlang dieser Grenzen sind die Bügelkräfte konstant. Wirkt die Belastung auf den Obergurt, so ist das Produkt dem Querkraftdiagramm einbeschrieben (“staggering effect”);

Lasten q

, die am Untergurt angreifen, sind mit einer entsprechenden Zusatzbewehrung “aufzuhängen”. Die Gurtkräfte im Ober- resp. Untergurt sind mit den Bügelkräf- ten und den Belastungen durch die Beziehungen

verknüpft, Bild (d). Der Gurtkraftverlauf ist somit für konstante Beanspruchung und Bügel- kräfte linear entlang von Parallelfeldern (cotθ konstant) und parabolisch entlang von zentrier- ten Fächern (d

= konstant, cotθ proportional zu x/d

, somit cotθ linear in x).

• Die Betondruckspannungen im Steg können ebenfalls aus Bild (d) bestimmt werden; mit erhält man

entlang dem Ober- resp. Untergurt. Daraus kann bei bekannter Betondruckfestigkeit die erfor- derliche Stegstärke b

bestimmt werden. In den Parallelfeldern sind die Betondruckspannun- gen konstant, während sie in den zentrierten Fächern entlang der Trajektorien hyperbolisch variieren. Lasten q

, welche am Untergurt angreifen, können dadurch berücksichtigt werden, dass in den beiden rechten Gleichungen durch ersetzt wird.

• Anstatt die Bereiche zwischen den Querkraftnullpunkten in gleiche Abschnitte zu unterteilen (Fächer nur bei konzentrierten Lasten/Lagern, sonst alles Parallelfelder), könnte ein aus lauter zentrierten Fächern, Bild (e), zusammengesetztes Spannungsfeld gewählt werden. Die Bügel- kräfte auf beiden Seiten solcher Fächer sind durch verknüpft, und die Druckspannungen -σ

im Stegbeton sind in der unteren rechten Ecke des Fächers am gröss- ten (grösserer Wert von und flachste Neigung, siehe oben). Starke Neigungswechsel sind zu vermeiden, da die Betondruckspannungen viel grösser werden als in den angrenzenden Parallelfeldern.

• Die Gurtkräfte im Spannungsfeld und im zugehörigen Fachwerkmodell stimmen in den Schnitten, in welchen die Bügelbewehrung abgestuft ist, überein. Die Zuggurtkräfte im Fach- werkmodell sind der “Momentenfläche” M/d

umschrieben, die Druckgurtkräfte der Kurve M/d

einbeschrieben (“Versatzmass” implizit enthalten).

f

f

d

cot θ

∆ f

= q

d

dx ---F

= - ( q + f

) cot θ d

dx ---F

= f

cot θ

sin

θ = 1 + cot

θ σ

- = ( q + f

) ( 1 + cot

θ ) ⁄ b

- σ

= f

( 1 + cot

θ ) ⁄ b

f

( f

– q

)

f

= ( q + f

)b a ⁄

f

• In den Zentren der Fächer im Spannungsfeld in Bild (b) sind die Betondruckspannungen un- endlich gross. Die erforderliche Breite der Lager- und Lasteinleitplatten kann mit nicht-zen- trierten Fächern überprüft werden (zentrierte Fächer sind ungeeignet, da eine starke Konzen- tration der Betondruckspannungen in der flachsten Trajektorie auftritt, siehe vorn). Von praktischer Bedeutung ist der Fächer mit Knotenbereich, Bild (f) (ohne Knotenbereich, Bild (g), ergeben sich zu grosse Lagerplatten).

• Allgemeiner Fall eines nicht-zentrierten Fächers mit Knotenbereich:

• Der Verlauf der Knotenberandung ergibt sich somit aus Gleichgewicht am differentiellen Fä- cherelement. Üblicherweise genügt die Bestimmung der Höhe und Breite des Knotens; hier- bei kann der Fächer durch die resultierende Druckstrebe ersetzt werden, siehe vorne.

• Die Gurtkräfte, welche sich aus nicht-zentrierten Fächern ergeben, sind geringer als diejeni- gen des entsprechenden zentrierten Fächers, solange die horizontale Resultierende nicht ober- halb des Untergurtschwerpunktes angreift (in diesem Fall ist eine iterative Berechnung mit re- duziertem d

erforderlich). Somit können bei der Bemessung die Gurtkräfte anhand der einfacheren zentrierten Fächer bestimmt werden.

Aus dem diskontinuierlichen Spannungsfeld können die erforderliche Längs- und Querbeweh- rung sowie deren konstruktive Ausbildung direkt bestimmt werden. Es sind keine speziellen “Ver- satzmasse” zu berücksichtigen (implizit enthalten); bei der Bestimmung der Bewehrung sind ein- zig noch Verankerungslängen zu berücksichtigen, was ohne besonderen Aufwand möglich ist.

q

d_v/2

b_w

F_supo

-F_info

θ_o

z

(a) (b)

-σ_c3 d_v

b F_sup

-F_inf

x d_v/2

(d−d_v)cotθ_o

d_vcotθ_o

c d

(c) dx_sup

f_wdx_sup q

dx_n dz_n

θ x

z f_c (F_inf−F_info)

F_info f_w

F_v

Differentialgleichung der Knotenberandung:

Für konstante Werte von q, f

und f

erhält man:

N.B. d, d

so gewählt, dass horizontale Knotenreaktion bei angreift d

z

dx

--- 1 z

+ d

⁄ 2

( )

--- b

f

q + f

--- – 1 dz

dx

---

 

 

–

=

b F

b

f

--- q + f

b

f

---d

cot θ

= = c F

– F

b

f

---

- b

+ bd

cot θ

2d

– b cot θ

---

= =

z

b

f

q + f

--- – 1

 

  x

+ 2d cot θ

x

+ d

d

--- 2 –

=

z = d

⁄ 2

Die Wahl der Stegdicke b

kann im Sinne eines nominellen Nachweises anhand der Beton- druckspannungen im an den Fächer angrenzenden Parallelfeld erfolgen. Durch eine vorsichtige Wahl der Betondruckfestigkeit wird sichergestellt, dass die Betonspannungen im Fächer nicht massgebend werden. Im Parallelfeld gilt

Um zu gewährleisten, dass das Spannungsfeld einen unteren Grenzwert der Traglast liefert, müssten streng genommen die Betonspannungen im gesamten Fächerbereich mit der effektiven Betondruckfestigkeit verglichen werden; letztere hängt jedoch vom Verzerrungszustand ab (se- parates Kapitel), so dass ein solcher Vergleich umständlich ist. In der Praxis kann bei der Wahl der Stegdicke anhand obenstehender Formel (Betondruckspannungen im an den Fächer angren- zenden Parallelfeld) etwa von (in MPa) ausgegangen werden. Bei der Bestim- mung der Abmessung der Lagerplatten (Betondruckspannung im Knoten über der Lagerplatte) kann infolge des günstigeren Verzerrungszustandes ein wesentlich höherer Wert von etwa (in MPa) angesetzt werden. Detaillierte Untersuchungen zeigen, dass bei Verwendung der angegebenen Werte für die Betondruckspannungen im Inneren des Fächers für übliche Verhältnisse nicht kritisch sind.

Falls alle statischen und geometrischen Grössen entlang der Trägerachse nur allmählich vari- ieren (und nicht sprungartig), kann die Bemessung anhand einer “Querschnittsbetrachtung” er- folgen (an sich keine eigentliche Querschnittsbemessung, da Bügel auf Länge beibehal- ten werden müssen; eine Querschnittsbemessung für Querkraft ist strikt genommen auch gar nicht möglich, da immer ein bestimmter Bereich des Trägers involviert ist):

Aus den Formeln der “Querschnittsbetrachtung” ist folgendes ersichtlich:

• θ klein (flach) -> grosse Längsbewehrungsgehalte, kleine Bügelbewehrungsgehalte

• θ gross (steil) -> kleine Längsbewehrungsgehalte, grosse Bügelbewehrungsgehalte

• Die Betondruckspannungen sind für θ = π / 4 minimal und nehmen mit zunehmender Abwei- chung von θ = π / 4 progressiv zu.

Die Druckfeldneigung sollte (etwa im Bereich 0.5< tanθ<2) nach praktischen Gesichtspunk- ten gewählt werden; flachere Neigungen sind bei engen Platzverhältnissen im Steg günstig, wäh- rend steilere Neigungen Probleme bei der Verankerung der Längsbewehrung entschärfen. Der Einfluss auf den gesamten Bewehrungsaufwand ist gering.

σ

- V

b

d

--- ( tan θ + cot θ ) V b

d

sin θ cos θ ---

= =

f

≈ 1.6 f ( )

′

f

≈ 2.5… 3.0 f ( )

′

f

d

cot θ

(a)

M

V N

V Vcotθ F_sup

F_inf f_w

d_vcotθ

d_v/2 d_v/2 (b)

θ -σ_c3

(c)

F

M d

---

+− V

--- 2 cot θ N ---- 2

+ +

= f

V

d

--- tan θ

= σ

- V

b

d

--- ( tan θ + cot θ ) V b

d

sin θ cos θ ---

= =

Weitere Beispiele diskontinuierlicher Spannungsfelder (Rahmenecken, Konsolen, ausge- klinkte Träger):

(a) (b)

(c) (d)

(f)

(e)

[aus: Sigrist, V., Alvarez, M., and Kaufmann, W., “Shear and Flexure in Structural Concrete Beams,” Comité Euro-In- ternational du Béton, CEB Bulletin d’information, No. 223, June 1995, pp. 7-49]

Fliessbedingungen für Scheibenelemente

In der Praxis werden oft linear elastisch ermittelte Membrankräfte einer plastischen Dimen- sionierung zugrundegelegt. Über angemessene Bereiche ausgemittelte Membrankräfte werden dabei mit Fliessbedingungen für Scheibenelemente verglichen.

Fliessbedingungen von Tresca und v. Mises für ebenen Spannungszustand:

Die Beziehungen von Tresca und v. Mises können direkt für die Dimensionierung von Schei- ben aus entsprechenden Materialien (zum Beispiel Stahl) verwendet werden. Die einfache Be- dingung von Tresca eignet sich vor allem für Handrechnungen, während für numerische Berech- nungen die stetige Fliessbedingung von v. Mises besser geeignet ist. Die Übereinstimmung mit Versuchen an Prüfkörpern aus Stahl ist für beide Fliessbedingungen ähnlich gut.

σx

σ_y τxy

(c) (b)

f_y

f_y σ_x

σ_y τ_xy τyx

x

y (a)

σ₂ σ₁

f_y

f_y σ₂

σ1

f_y f_y

-f_y

-f_y Tresca

von Mises

Tresca f_y/2

Die Fliessbedingungen für den ebenen Spannungszustand [Hauptspannungsebene ] folgen aus den Fliessbedingungen für allgemeine Beanspruchung [Hauptspannungsraum ] als Schnittkurven mit der Ebene :

Tresca (maximale Schubspannung, im Hauptspannungsraum regelmässiges Sechseck- Prisma mit zur hydrostatischen Achse paralleler Achse):

-> Hauptspannungsebene : Sechseck;

-> Raum : zwei elliptische Kegel und verbindender elliptischer Zylinder;

v. Mises (konstante Gestaltänderungsarbeit, im Hauptspannungsraum Kreiszylinder mit zur hydrostatischen Achse paralleler Achse):

-> Hauptspannungsebene : dem Tresca-Sechseck umschriebene Ellipse;

-> Raum : Der Fliessbedingung von Tresca umschriebenes Ellipsoid.

σ

, σ

( )

σ

, , σ

σ

( )

σ

= 0

σ

, , σ

σ

( )

σ

= σ

= σ

Max ( σ

, σ

, σ

– σ

) – f

= 0

σ

, σ

( )

σ

, , σ

τ

( )

σ

, , σ

σ

( )

σ

= σ

= σ

σ

– σ

σ

+ σ

+ 3 τ

– f

= 0

σ

, σ

( )

σ

, , σ

τ

( )

Fliessbedingungen für orthogonal bewehrte Stahlbetonscheiben-Elemente:

• Bild (a) zeigt ein orthogonal bewehrtes Stahlbeton-Scheibenelement, welches durch Span- nungen σ

, σ

und τ

in seiner Ebene belastet ist. (Koordinaten x,z verwendet, damit der In- dex “y” exklusiv für die Fliessgrenze verwendet werden kann). Die geometrischen Beweh- rungsgehalte werden mit ρ bezeichnet, die Fliessgrenzen der Bewehrung auf Druck resp. Zug mit f

und , und die effektive Betondruckfestigkeit mit .

• Im Raum entspricht der orthogonalen Bewehrung die in Bild (b) dargestellte rechteckige Fliessfigur (Bewehrung nimmt nur Spannungen in ihrer Richtung auf, begrenzt durch die Fliesspannungen f

und ).

• Der Fliessbedingung für den unbewehrten Beton (einfachst mögliche Annahme:

keine Zugspannungen, einachsige Druckfestigkeit auch bei biaxialem Druck) entsprechen im

Raum die beiden elliptischen Kegel und ,

Bild (c).

• Die Fliessbedingung des Stahlbeton-Scheibenelementes ist die Linearkombination der beiden in Bild (b) und (c) gezeigten Fliessfiguren. Sie kann auf geometrische Weise erzeugt werden, indem die Fliessfigur des unbewehrten Betons rein translatorisch so verschoben wird, dass ihr Ursprung sich innerhalb der Fliessfigur der Bewehrung bewegt (oder umgekehrt). Die Um-

safe domain σx

σ_z τ_xz (d)

σz

τxz

σx

(b)

ρ_xf_yx

τxz

σx

(c)

f_c ρ_xf_yx′

ρ_zf_yz

σz

f_c

(e) (f)

1 2

3

4

5

6 7

σz

σ_x τxz

X

Z

3 1

Q

θ ε.

γ/2. θ

σ_x

σz

τ_xz τzx

x

z (a)

3

1

ρ_zf_yz′

|τ_xz| (g)

|τ_xz| ρ_x f_yx−σ_x ρz f_yz−σz

ρ_z f_yz−σ_z (h)

τ_xz

σ_z τxz

σx

(i)

x

z β

cotθ=0.5 cotθ=2.0

cotθ=2

f_c f_c

|τ_xz|=const

|τ_xz|=const

cotθ=0.5 f_c/2

f_c/2

1 2

3 4

Regime 4 Regime 2

-σc3

f_c /2

f

′ f

σ

, , σ

τ

( )

f

′ 0 ≥ σ

≥ - f

σ

, , σ

τ

( ) τ

= σ

σ

τ

= ( f

+ σ

) ( f

+ σ

)

hüllende aller möglichen Lagen der Fliessfiguren entspricht der in Bild (d) gezeigten Fliess- fläche des Stahlbeton-Scheibenelementes, welche folgenden Fliessbedingungen entspricht:

• Die entsprechenden Fliessregimes sind in Bild (e) gekennzeichnet. In der Bemessungspraxis ist Regime 1 besonders wichtig; in diesem Regime erfolgt der Kollaps durch Fliessen beider Bewehrungen. In den Regimes 2 und 3 bleibt jeweils eine Bewehrung elastisch, während die andere fliesst und der Beton bricht, und in Regime 4 bricht der Beton, während beide Beweh- rungen elastisch bleiben. Die Regimes 5-7, in denen mindestens eine Bewehrung auf Druck fliesst, sind von geringem Interesse.

• Beanspruchungskombinationen auf der Fliessfläche entsprechen möglichen Bruchzuständen. Nach dem zugeordneten Fliessgesetz (Theorie des plastischen Potentials) sind die plastischen Dehnungsinkremente , , und beim Kollaps proportional zu den Komponenten der äusseren Normalen auf die Fliessfläche im entsprechenden Spannungs- punkt

(κ = beliebiger positiver Faktor)

Für Spannungspunkte welche mehr als eine Fliessbedingung erfüllen (Kanten und Ecken der Fliessfläche) muss das zugeordnete Fliessgesetz separat für jede Fliessbedingung angewendet werden, und die resultierenden Dehnungsinkremente müssen superponiert werden.

• Aus den plastischen Dehnungsinkrementen kann die Neigung der Hauptdruckrichtung 3 be- züglich der x-Achse bestimmt werden (Hauptrichtungen der Dehnungen und der Betonspan- nungen identisch). Aus dem Mohrschen Kreis in Bild (f) ergibt sich

und

Somit erhält man für die sieben Fliessregimes in Bild (e):

: : : : : : :

Y

= τ

– ( ρ

f

– σ

) ρ (

f

– σ

) = 0 Y

= τ

– ( f

– ρ

f

+ σ

) ρ (

f

– σ

) = 0 Y

= τ

– ( ρ

f

– σ

) ( f

– ρ

f

+ σ

) = 0

Y

= τ

– f

⁄ 4 = 0

Y

= τ

+ ( ρ

f

′ + σ

) ( f

+ ρ

f

′ + σ

) = 0 Y

= τ

+ ( f

+ ρ

f

′ + σ

) ρ (

f

′ + σ

) = 0 Y

= τ

– ( f

+ ρ

f

′ + σ

) ( f

+ ρ

f

′ + σ

) = 0

σ

, , σ

τ

( )

ε ·

x

ε ·

z

γ ·

xz

σ

, , σ

τ

( )

ε ·

x

κ ∂ Y σ

∂ ---

= ε ·

z

κ ∂ Y σ

∂ ---

= γ ·

xz

κ ∂ Y τ

∂ ---

=

2 θ cot ε ·

z

ε · –

γ ·

xz

---

= cot θ ε ·

z

ε · –

γ ·

xz

--- ε ·

z

ε · –

γ ·

xz

---

 

 

 

1 + +

=

Y

cot

θ = ( ρ

f

– σ

) ρ ⁄ (

f

– σ

) Y

cot

θ = ( f

– ρ

f

+ σ

) ρ ⁄ (

f

– σ

) Y

cot

θ = ( ρ

f

– σ

) ⁄ ( f

– ρ

f

+ σ

) Y

cot

θ = 1

Y

cot

θ = - ( ρ

f

′ + σ

) ⁄ ( f

+ ρ

f

′ + σ

)

Y

cot

θ = - ( f

+ ρ

f

′ + σ

) ⁄ ( ρ

f

′ + σ

)

Y

cot

θ = ( f

+ ρ

f

′ + σ

) ⁄ ( f

+ ρ

f

′ + σ

)

• In der Bemessungspraxis sollte eine dem Regime 1 entsprechende Wahl der Betonabmessun- gen und der Bewehrung angestrebt werden (beide Bewehrungen fliessen -> “unterarmiertes”, duktiles Verhalten). Die entsprechende Fliessbedingung kann in Parameterform geschrieben werden:

wobei k = cotθ. Aus Bild (d) und (g) ist ersichtlich, dass diese Gleichungen Kurven gleicher Schubspannung entsprechen. In den meisten gängigen Bemessungsnormen wird k = cotθ auf Werte im Bereich begrenzt. Diesen Begrenzungen, welche in Bild (g) eingetragen sind, entspricht für reine Schubbeanspruchung eine Bewehrung mit gleichem Stababstand in beiden Richtungen und doppeltem Stabdurchmesser der stärkeren Bewehrung (für gleiche Fliessgrenzen beider Bewehrungen). Die Wahl k = 1 (“linearisierte Fliessbedingungen”) führt zu sicherer Bemessung; sämtliche weitere Möglichkeiten der Bewehrungsbemessung werden dabei jedoch ausser acht gelassen.

• Damit ein Verhalten im Regime 1 erreicht wird, muss die Bedingung

eingehalten werden; ansonsten bricht der Beton, und eine (Regimes 2 und 3) oder beide Be- wehrungen (Regime 4) bleiben elastisch.

• Ist die x-Bewehrung stärker als die z-Bewehrung, , so erfolgt ein Stegdruckbruch (“web-crushing failure”), Regime 2; der Beton bricht, die z-Bewehrung fliesst und die x-Bewehrung bleibt elastisch. Diese Bruchart begrenzt insbesondere den mög- lichen Schubwiderstand von Trägern; Bild (h) zeigt die entsprechenden Schubwiderstände mit den Begrenzungen .

• Schiefe Bewehrungslagen können auf ähnliche Weise berücksichtigt werden wie orthogonale Bewehrungen, Bild (i), haben jedoch nur geringe Bedeutung für die Praxis. Ebenso könnten kompliziertere Fliessbedingungen für den Beton berücksichtigt werden.

• In Anbetracht der insbesondere bei der Bemessung nicht genau bekannten Betondruckfestig- keit ist die Berücksichtigung komplizierterer Fliessbedingungen für den Beton nicht sinn- voll.

• Der Vergleich der Fliessbedingungen mit den Beziehungen für die Schubbemessung von Trä- gern bei entlang der Trägerachse nur allmählich (und nicht sprungartig) variierenden stati- schen und geometrischen Grössen (“Querschnittsbetrachtung”) zeigt, dass die Resultate über- einstimmen.

ρ

f

≥ σ

+ k τ

ρ

f

≥ σ

1 --- k τ

+

0.5 ≤ ≤ k 2

f

≥ ρ

f

+ ρ

f

– ( σ

+ σ

)

ρ

f

– σ

( ) > ( ρ

f

– σ

)

0.5 ≤ ≤ k 2

f