Fixpunkts¨atze von Schauder, Darbo-Sadovskii und Krasnoselskii

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Fixpunkts¨atze von Schauder, Darbo-Sadovskii und Krasnoselskii

Für unsere Überlegungen sei durchgehend (X,k·k) eine Banachraum über K(= R oder C). Die Grundlegende Definition ist nun folgende.

Definition 1 Ein Punktx∈X heißtFixpunkt einer AbbildungF, wenn gilt:F(x) = x.

Viele mathematische Probleme können auf einfache Weise in die Form einer Fixpunkt- gleichung umgeschrieben werden. Fixpunktsätze geben dann hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Fixpunktes, und damit einer Lösung des ursprünglichen Problems.

Beispiel: Wir betrachten das AWP

y⁰(t) = f(t, y(t)), y(0) =y0, t ∈[−T, T]

mit einer auf [−T, T]×[y₀−b, y₀+b] stetigen Funktionf. Wir k¨onnen es in das ¨aquivalente Problem

y(t) = y₀+ Z t

0

f(s, y(s))ds, t∈[−T, T] (1)

umschreiben. Definieren wir nun den Operator S :x(t)7→y₀+

Z t

0

f(s, x(s))ds

so erhalten wir die zum urspr¨unglichen Problem ¨aquivalente Fixpunktgleichung x=Sx

Die Existenz eines Fixpunktes f¨ur diesen Operator ist also gleichbedeutend mit der Exi- stenz einer L¨osung unseres Anfangswertproblems.

Ein Beispiel f¨ur einen Fixpunktsatz ist der FPS von Banach f¨ur strikte Kontraktionen, der aus der Analysis bekannt ist. Wir wollen hier nun einen weiteren Fixpunktsatz als bekannt voraussetzen:

Satz 2 (FPS von Brouwer) Sei F :B₁(0)→B₁(0) stetig, wobeiB₁(0) die abgeschlossene Einheitskugel im Rⁿ bezeichnet. Dann hat F einen Fixpunkt.

Beweis: Siehe z.B. Zeidler [Z] oder Evans [E] 2

Damit k¨onnen wir nun zwei der grundlegendsten Fixpunkts¨atze beweisen:

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Satz 3 (I. FPS von Schauder) Sei K ⊆ X eine nichtleere, kompakte, konvexe Teil- menge des Banachraums X. Sei weiters F :K →K stetig. Dann hat F einen Fixpunkt.

Beweis: Sei >0 gegeben, so dass < 1 2 max

u,v∈Kku−vk. Wir w¨ahlen endlich viele Punkte u₁, ..., u_N ∈K, so dass gilt:

K ⊆

N

[

i=1

B(u_i).

Dies ist aufgrund der Kompaktheit vonKm¨oglich. MitKbezeichnen wir nun die konvexe H¨ulle der Punkte u₁, ..., u_N:

K :=

( _N X

i=1

λ_iu_i

0≤λ_i ≤1,

N

X

i=1

λ_i = 1 )

.

Da K konvex ist, gilt K ⊆K. Es bezeichne dist(x, A) := infa∈Akx−ak. Wir definieren nun eine Abbildung P :K →K durch:

P(u) :=

PN

i=1dist(u, K\B(u_i))u_i PN

i=1dist(u, K\B(u_i)) , u∈K.

Die Abbildung ist wohldefiniert, da jedes u in mindestens einer Kugel B(u_i) liegt, K\B(u_i) stets nichtleer ist und der Nenner daher niemals Null wird. Die Abbildung ist außerdem offensichtlich stetig und desweiteren erhalten wir, da f¨ur u ∈ K entweder u∈B(u_i) oder dist(u, K/B(u_i)) = 0 gilt,

kP(u)−uk ≤ PN

i=1dist(u, K\B(u_i))ku_i−uk PN

i=1dist(u, K\B(u_i)) ≤. (2)

Als n¨achstes betrachten wir den OperatorF :K →K, der wie folgt definiert wird:

F(u) :=P(F(u)) u∈K.

Nun istK homöomorph zur Einheitskugel imR^M für einM ≤N, daK homöomorph zu einem Simplex im R^M und dieser wieder homöomorph zu einer Kugel im R^M ist.

Weiters ist F als Zusammensetzung stetiger Funktionen stetig.

Nach dem FPS von Brouwer existiert damit ein Punkt u mit F(u) =u.

Da K kompakt ist, existiert eine Folge _j →0 und ein Punkt u ∈K, sodass u_j →u in X. Wir zeigen nun, dassuein Fixpunkt von F ist. Mit der Absch¨atzung (2) erhalten wir

uj −F(uj) =

Fj(uj)−F(uj) =

Pj(F(uj))−F(uj) ≤j

Da F stetig ist, folgt nun F(u) = u 2

Definition 4 Wir bezeichnen eine Abbildung F : X → X als kompakt genau dann, wenn F sowohl stetig ist, als auch F(C) relativkompakt f¨ur alle beschr¨anktenC ⊆X.

(3)

Korollar 5 (II. FPS von Schauder) Sei C ⊆ X nichtleer, abgeschlossen, beschr¨ankt und konvex. Sei weiters F :C →C kompakt. Dann hat F einen Fixpunkt.

Beweis: Da C beschränkt ist, ist F(C) eine relativkompakte Teilmenge von C. Wir bezeichnen mit co(B) die abgeschlossene konvexe Hülle von B. Da C konvex und abgeschlossen ist, gilt auchC⁰ := co(F(C))⊆C. DaF(C) relativkompakt ist, ist die MengeC⁰ kompakt (zum Beweis siehe die Bemerkung nach Proposition 7 weiter unten). Natürlich ist sie auch konvex. Betrachten wir die Funktion F|C⁰, so ist diese Funktion eine stetige Abbildung der kompakten und konvexen Menge C⁰ in sich selbst. Laut dem I. FPS von Schauder hat F|_C⁰ somit einen Fixpunkt, der natürlich auch Fixpunkt von F ist. 2 Beispiel: Wir führen nun das schon oben begonnene Beispiel fort. Dazu wählen wir eine Konstante K ∈R, für die gilt

|f(t, x)| ≤K, f¨ur alle (t, x)∈[−T, T]×[y₀−b, y₀+b],

und setzen weiters c := min{T, b/K}. Wir zeigen nun mit Hilfe des FPS von Schauder, dass das AWP eine stetig differenzierbare L¨osung auf dem Intervall [−c, c] hat und beweisen somit den Existenzsatz von Peano.

Zunächst müssen wir dafür eine geeignete Teilmenge M des Banachraumes C[−c, c] (mit der Supremumsnorm) als Definitionsmenge für den Operator S suchen. Wir betrachten M :=

x∈C[−c, c]

kx−y₀k ≤b . Dann ist M abgeschlossen, beschr¨ankt und konvex und es gilt f¨ur x∈M

kSx−y0k= sup

t∈[−c,c]

Z t

0

f(s, x(s))ds

≤cK ≤b

und damit S(M)⊂M. Des weiteren gelten f¨urx∈M die zwei Beziehungen:

|Sx(t)|=

y₀+ Z t

0

f(s, x(s))ds

≤ |y₀|+cK,

|Sx(t0)−Sx(t)|=

− Z t

t0

f(s, x(s))ds

≤ |t0−t|K ≤ f¨ur|t0−t| ≤ K.

Da beide Abschätzungen gleichmäßig für x∈ M gelten, folgt aus dem Satz von Arzelà- Ascoli, dass S(M) relativkompakt ist. Die Stetigkeit von S ist elementar nachzuweisen.

Folglich ist der Operator S kompakt und der II. FPS von Schauder gibt uns daher ein x ∈M, dass die Gleichung x=Sx erf¨ullt und damit L¨osung des betrachteten Anfangs- wertproblems ist. Dass x stetig differenzierbar ist, folgt bereits notwendigerweise aus Gleichung (1).

Wir wollen nun mit Hilfe des FPS von Schauder noch weitere Fixpunkts¨atze beweisen.

Kern unserer ¨Uberlegungen ist folgende Abbildung:

Definition 6 Wir bezeichnen mit diam(A) den Durchmesser der Menge A.

Das Kuratowskische Nichtkompaktheitsmaß γ(A) ist f¨ur A ⊆ X dann wie folgt definiert:

γ(A) := inf (

>0

∃(W_n)^N_n=1, N <∞, diam(W_i)≤,

N

[

n=1

W_n ⊇A )

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Ist diese Menge leer, so setzt man γ(A) = +∞.

In Worten ist das Kuratowskische Nichtkompaktheitsmaß einer Menge A das Infinmum aller > 0, sodass es eine endliche ¨Uberdeckung von A aus Mengen gibt, deren Durch- messer h¨ochstens ist.

IstAkompakt, so istγ(A) = 0, da dann ja jede Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Eine Menge ist also ’um so weniger kompakt’ je größer ihr Nichtkompaktheitsmaß ist. Weiters ist aus der Definition ersichtlich, dass γ(A) ≤ diam(A) ist und γ(A) = ∞ genau dann, wenn A unbeschränkt ist.

Wir zeigen einige weitere Eigenschaften von γ.

Proposition 7 Seien A und B Teilmengen von X. Dann gilt:

1. A⊆B ⇒γ(A)≤γ(B) 2. γ(A) =γ(A)

3. γ(A∪B) = max{γ(A), γ(B)}

4. γ(A+B)≤γ(A) +γ(B), wobei A+B ={a+b|a∈A, b∈B}

5. γ(cA) =|c|γ(A) f¨ur c∈K, wobei cA={ca|a∈A}

6. γ(A) = 0 genau dann, wenn A relativkompakt ist 7. γ(A) =γ(coA) = γ(coA)

Beweis: 1. folgt direkt aus der Definition von γ; f¨ur 2. sei bemerkt, dass eine Menge und ihr Abschluss denselben Durchmesser haben.

Für 3. sei M = M1 ∪M2 und λ = max{γ(M1), γ(M2)}. Dann gilt Mi ⊂ M und daher γ(M_i) ≤ γ(M), i ∈ {1,2} also λ ≤ γ(M). Andererseits gilt für jedes > 0, dass es eine Überdeckung M_i,n von M_i gibt mit diam(M_i,n) < λ+. Die M_i,n i = 1,2, n ∈ N

¨

uberdecken M, also gilt auchγ(M)≤λ+, und daherγ(M)≤λ.

Um 4. zu beweisen, seiA_i, ..., A_neine Überdeckung vonAundB₁, ..., B_meine Überdeckung von B. Dann sind alle MengenA_i+B_j zusammen eine Überdeckung von A+B und es gilt diam(Ai+Bj)≤diam(Ai) + diam(Bj).

5. folgt wieder direkt aus der Definition vonγ. Für 6. beachte man, dass aus der Tatsache, dass für ein kompakte Menge γ(A) = 0 gilt, gemeinsam mit 2. folgt, dass eine relativkompakte Menge ebenfalls schon γ(A) = 0 hat. Gilt andererseits γ(A) = 0, so bedeutet dies, dass A totalbeschränkt ist, und damit relativkompakt.

Wegen 1. und 2. bleibt für 7. nur noch die Ungleichung γ(coA) ≤γ(A) zu zeigen. Dazu wählen wir ein 0 > γ(A). Dann gibt es eine endliche Überdeckung A ⊆ Sn

j=1Mj durch Mengen mit Durchmesser diam(M_j)≤₀.

Seien x = Pp

i=1λ_ix_i und y = Pr

j=1µ_jy_j Konvexkombinationen aus Elementen von M_j, dann gilt:

kx−yk =

p

X

i=1

λ_i(x_i−y)

=

p

X

i=1

λ_i

r

X

j=1

µ_j(x_i−y_j)

≤

p

X

i=1

λi r

X

j=1

µjkxi−yjk ≤

p

X

i=1

λi r

X

j=1

µjdiam(Mj) = diam(Mj)

(5)

Wir k¨onnen die Mengen M_j unserer ¨Uberdeckung daher als konvex annehmen. Weiters beachten wir

co(A)⊆co M₁∪

n

[

j=2

M_j

!

⊆co M₁∪co

n

[

j=2

M_j

!!

⊆co M₁∪co M₂∪

n

[

j=3

M_j

!!

⊆...

Wir müssen also nur noch für zwei konvexe MengenC₁ und C₂ und deren konvexe Hülle C = co(C₁ ∪C₂) zeigen, dass

γ(C)≤max{γ(C₁), γ(C₂)} (3)

gilt, denn dann folgt aus der Darstellung von oben (von rechts nach links gelesen):

γ(coA)≤₀ und daraus γ(coA)≤γ(A).

O.B.d.A können wir C₁ und C₂ als beschränkt annehmen, d.h. kxk ≤R fürx∈C₁∪C₂. Weiters kann jedesx∈Cin der Formx=λx₁+(1−λ)x₂mit geeignetemx₁ ∈C₁, x₂ ∈C₂ und 0≤λ≤1 dargestellt werden:

Istxn¨amlich ausC, so giltx=Pn

i=1λ_ix_imitx_i ∈C₁∪C₂undP

λ_i = 1. Durch einfaches Umordnen erh¨alt man die Darstellung x=Pr

i=1λ_ix_i+Pn

j=r+1λ_jx_j, wobei x₁, ...x_r∈C₁ und x_r+1, ..., x_n∈C₂. Setzt manλ=Pr

i=1λ_i, so erh¨alt man x=

r

X

i=1

λ_iλxi

λ +

n

X

j=r+1

λ_j(1−λ)xj

1−λ =λ

r

X

i=1

λ_ixi

λ + (1−λ)

n

X

j=r+1

λ_j xj

1−λ

Da die noch verbleibenden Summen Konvexkombinationen aus Elementen der konvexen Mengen C₁ bzw. C₂ sind, folgt die Darstellung.

Wir w¨ahlen nun N ∈ N beliebig und setzen λ_k = k/N. W¨ahlen wir zu λ ein k, sodass

|λ−λ_k| ≤1/N, so k¨onnen wir x darstellen als x=λkx1+ (1−λk)x2+z

mit einem z mit kzk ≤2R/N. Das bedeutet C ⊆

N

[

k=0

(λ_kC₁+ (1−λ_k)C₂) + 2R N B₁(0).

Verwenden wir nun, dassγ(B₁(0))≤2 und wenden die Teile 1, 4, 3 und 5 der Proposition an, so erhalten wir:

γ(C)≤γ

N

[

k=0

(λ_kC₁+ (1−λ_k)C₂) + 2R N B₁(0)

!

≤γ

N

[

k=0

(λ_kC₁+ (1−λ_k)C₂)

! +γ

2R N B₁(0)

≤ max

0≤k≤N{λ_kγ(C₁) + (1−λ_k)γ(C₂)}+ 2R

N γ(B₁(0))

≤max{γ(C₁), γ(C₂)}+4R N

(6)

Da N beliebig war, ist damit (3) und folglich auch 7. gezeigt. 2 Bemerkung:Die Teile 6. und 7. ergeben zusammen das fehlende St¨uck des Beweises des II. FPS von Schauder: Es fehlte noch zu zeigen, dass f¨ur jede relativkompakte Menge A die MengeA⁰ := co(A) kompakt ist. Ist A relativkompakt, dann folgt 0 =γ(A) = γ(A⁰).

Somit ist A⁰ relativkompakt und daher als abgeschlossene Menge sogar kompakt.

Mit Hilfe des Kuratowskischen Nichtkompaktheitsmaßes können wir nun die Abbildungen beschreiben, für die unsere weiteren Fixpunktsätze gelten sollen:

Definition 8 SeienXundY Banachr¨aume undF :M ⊆X →Y eine stetige Abbildung.

Dann heißt F kondensierend, wennγ(F(A))< γ(A) f¨ur alle beschr¨ankten A⊆M mit γ(A)6= 0.

Beispielsweise sind kompakte Abbildungen kondensierend. IstF nämlich kompakt, so gilt γ(F(A)) = 0< γ(A) für alle beschränkten A mit γ(A)6= 0. Damit ist F kondensierend.

Kondensierende Abbildungen werden naheliegenderweise oft auch verdichtend genannt.

Satz 9 (FPS von Darbo-Sadovskii) Sei C ⊆ X nichtleer, abgeschlossen, beschr¨ankt und konvex. Sei weiters F :C →C kondensierend. Dann besitzt F einen Fixpunkt.

Beweis: Wir w¨ahlen einen Punkt p∈C und definieren dazu:

K:={K ⊆C|Kabgeschlossen, konvex, p∈K, F(K)⊆K} C⁰ := \

K∈K

K.

Es ist K nicht leer, denn C ∈ K. Die Menge C⁰ ist als Schnitt abgeschlossener, konvexer Mengen selbst abgeschlossen und konvex. Außerdem istC⁰nicht leer, dennp∈C⁰. Weiters gilt f¨ur alle K ∈Kwegen C⁰ ⊆K auchF(C⁰)⊆F(K)⊆K und daher auchF(C⁰)⊆C⁰. C⁰ ist also das kleinste Element von K

Wir betrachten nun die Menge C⁰⁰ := co(F(C⁰)∪ {p}). Aus den Eigenschaften von C⁰ folgt, dass C⁰⁰ ⊆ C⁰. Andererseits gilt F(C⁰⁰) ⊆ F(C⁰) ⊆ C⁰⁰ und daher C⁰⁰ ∈ K. Damit ist auch C⁰ ⊆C⁰⁰ erf¨ullt, und wir erhalten C⁰⁰=C⁰.

Mit Hilfe von Proposition 7 erhalten wir

γ(C⁰) =γ(C⁰⁰) =γ(F(C⁰)∪ {p}) = γ(F(C⁰)).

Da F kondensierend ist, muss alsoγ(C⁰) = 0 gelten, und folglich C⁰ kompakt sein.

Betrachten wir nun die Einschr¨ankungF|_C⁰, so ist dies eine stetige Abbildung einer kompakten, konvexen Menge in sich, und besitzt daher nach dem I. FPS von Schauder einen

Fixpunkt, der nat¨urlich auch Fixpunkt von F ist. 2

Bemerkung: (1) Wie schon bemerkt ist jede kompakte Abbildung auch kondernsierend, Daher enth¨alt der FPS von Darbo-Sadovskii den II. FPS von Schauder.

(2)Desweiteren inkludiert er auch strikte Kontraktionen (d.h. Abbildungen F : A → A, f¨ur die gilt kF(x)−F(y)k ≤qkx−ykf¨urq <1, x, y ∈A):

Sei γ(A) = λ 6= 0 und SN

j=1M_j eine ¨Uberdeckung von A mit diam(M_j) ≤ λ+, > 0.

(7)

Wir k¨onnen o.B.d.A. annehmen, dass M_j abgeschlossen ist und M_j ⊆ A gilt. Dann gilt f¨ur alle x, y ∈M_j mit kx−yk=λ+, dasskF(x)−F(y)k ≤q(λ+). Dabeliebig war, folgt diam(F(M_j))≤qλ und damitγ(F(A))≤qγ(A).

Damit können wir den nächsten Fixpunktsatz beweisen. Dieser verallgemeinert die in der Bemerkung genannten Spezialfälle des Satzes von Darbo-Sadovskii, indem er die Vor- aussetzung an F abschwächt:

Korollar 10 (FPS von Krasnoselskii) SeiC⊆X nichtleer, abgeschlossen, beschr¨ankt und konvex. Weiters seien F₁ : C → X kompakt, F₂ : C → X eine strikte Kontraktion und F :=F₁+F₂ bilde C in C ab. Dann hat F einen Fixpunkt

Beweis: Es gilt γ(F(A)) = γ(F₁(A) + F₂(A)) ≤

=0

z }| {

γ(F₁(A)) +γ(F₂(A)) ≤ qγ(A) laut obiger Bemerkung, wobei q die Kontraktionskonstante von F₂ ist. Damit ist F konden-

sierend. 2

Bemerkung: Die AbbildungF im FPS von Krasnoselskii ist im Allgemeinen selbst weder kompakt noch strikt kontraktiv.

Zusammenfassung:Sei X ein Banachraum,C ⊆X, C 6=∅, F :C →C stetig.

Dann sind hinreichende Bedingungen an C und F f¨ur die Existenz eines Fixpunktes:

FPS C F

Banach abgeschlossen strikte Kontraktion

Brouwer B₁(0) ———

Schauder I kompakt, konvex ———

Schauder II abgeschlossen, beschränkt, konvex kompakt Darbo-Sadovskii abgeschlossen, beschränkt, konvex kondensierend Krasnoselskii abgeschlossen, beschränkt, konvex F = F₁

|{z}

kompakt

+ F₂

|{z}

strikte Kontraktion

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Literatur

[E] L. C. Evans: Partial Differential Equations, American Math. Society, 4. Auflage 2008.

[W] D. Werner: Funktionalanalysis, Springer, 6. Auflage 2007.

[Z] E. Zeidler: Nonlinear Functional Analysis and its Applications I (Fixed-Point Theorems), Springer, 1986.