Stand: 19. April 2010 9:00
Institut f ¨ur Theoretische Physik der Universit¨at Karlsruhe Prof. Dr. M. M ¨uhlleitner, Dr. H. Sahlmann
Theoretische Physik D – Quantenmechanik I
Sommersemester 2010
Ubungsblatt 2¨ Abgabe am 26.4.2010, 10:00
Name: Ubungsgruppe:¨ Punkte:
Aufgabe 3- Das Bohrsche Atommodell des Wasserstoffatoms (7 Punkte)
Wir betrachten das Bohrsche Atommodell des Wasserstoffatoms. Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass der Kern ruht.
(a) Betrachten Sie zuerst das klassische Model: Finden Sie den Zusammenhang zwischen Umlauffrequenz und Radius der Bahn f ¨ur ein Elektron dass auf einer Kreisbahn um den
Kern uml¨auft. (ein Punkt)
(b) Nun nehmen Sie mit Bohr an, dass die Elektronen immer noch klassischen Trajektorien folgen, aber nicht alle diese Trajektorien erlaubt sind. Nur solche sind erlaubt, auf denen f ¨ur den DrehimpulsLgilt:
L=nh,¯ n=1, 2, 3, . . . . (1) Berechnen Sie die Energie des Elektrons in Abh¨angigkeit von der Quantenzahln. (3 Punk- te)
(c) Experimentell wurde gefunden, dass die Wellenl¨angen der Spektrallinien des Wasserstof- fatoms sehr gut durch die sogenannteRydberg-Ritz-Formelbeschrieben werden:
1
λnm =RH 1
n2 − 1 m2
, (2)
wobei RH eine zun¨achst experimentell bestimmte Konstante ist. Erkl¨aren Sie (2) mithil- fe der Borschen Hypothese (1) und machen Sie eine Vorhersage f ¨ur den Wert von RH. (ein Punkt)
(d) De Broglie fand im Rahmen seiner Theorie der Materiewellen eine heuristische Begr ¨un- dung von Bohrs Hypothese (1), indem er annahm, dass der Umfang der Elektronenbahn ein Vielfaches der Wellenl¨ange der Materiewelle des Elektrons sein muss. Vollziehen Sie
de Broglies Argument nach. (ein Punkt)
(e) Nennen Sie mindestens einen Grund, warum das Bohrsche Atommodell noch keine zu- friedenstellende Beschreibung des Wasserstoffatoms liefert. (ein Punkt)
Aufgabe 4- Dispersion eines Wellenpakets (8 Punkte)
Wir betrachten ein Wellenpaket, das die Bewegung eines Teilchens mit Massemin einer Di- mension beschreiben soll. Zur Zeitt=0habe es die Form
Ψ(t=0, x) =
√a (2π)3/4
Z∞
−∞
eikxe−
a2(k−k0)2
4 dk (3)
1
(a) Berechnen Sie Z∞
−∞|Ψ(0, k)e |2dk, und Z∞
−∞
(k−k0)2|Ψ(0, k)e |2dk. (4) Geben Sie eine Interpretation der Parameterk0 undaan. Begr ¨unden Sie Ihre Antwort.
(2 Punkte)
(b) Nun betrachten wir die zeitliche Entwicklung des Wellenpakets. Wir nehmen dabei an, dass es sich um ein freies Teilchen handelt. Zeigen Sie, dass
Ψ(t, x) = (2π)−14 r2a
b2e−b21 (x2+ia2k0(k0ht/(2m)−x)¯ )
(5)
mitb2 =a4+2iht/m¯ . (2 Punkte)
(c) Um (5) zu interpretieren, zeigen Sie, dass
|Ψ(t, x)|2 = 1
√ 2π
2a q
a4+4h¯2t2/m2 e−
2a2
a4+4¯h2t2/m2(x−¯hk0t/m)2
(6)
und berechnen Sie Z∞
−∞|Ψ(t, x)|2dx und Z∞
−∞
(x−hk¯ 0t/m)2|Ψ(t, x)|2dx. (7)
Interpretieren Sie Ihre Ergebnisse. (3 Punkte)
(d) Die Gleichung (5) zeigt unter anderem, dass das Wellenpaket mit der Zeit zerfliesst. Be- trachten Sie den Fall, dass das betrachtete Teilchen eine als punktf ¨ormig angenommene Fliege (m=10−3kg) ist, und die anf¨angliche Ausdehnung des Wellenpakets klein (sagen wir 10−10m) ist. Wie lange dauert es, bis sich das Wellenpaket bis auf makroskopische
Breite (z.B. 1 cm) verbreitert hat? (ein Punkt)
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