(a) Bestimmen Sie die Bahnkurve der Teilchen f¨ur den Fall q1q2 <0

Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Klassische Theoretische Physik II (Theorie B) Sommersemester 2016

Prof. Dr. Alexander Mirlin Musterl¨osung: Blatt 1

PD Dr. Igor Gornyi, Nikolaos Kainaris Besprechung: 26.04.2016

1. Bahnkurven geladener Teilchen (12+2+6=20 Punkte) Betrachten Sie zwei Teilchen (Masse m₁, m₂), die aufgrund des Coulombschen Geset- zes miteinander wechselwirken. Das Coulombsche Potential ist umgekehrt proportional zum Abstand zwischen den Teilchen: U(r) = q₁q₂/r. Hier bezeichnen q₁ und q₂ die elektrischen Ladungen der Teilchen. Vorausgesetzt sei, dass keine außere Kraft auf die Teilchen wirkt.

(a) Bestimmen Sie die Bahnkurve der Teilchen f¨ur den Fall q₁q₂ <0. (12 Punkte) (b) Nehmen Sie an, dass die Teilchen anf¨anglich ruhen und sich in einem Abstand R

voneinander befinden. Berechnen Sie nun die Zeit bis die Teilchen kollidieren.

(2 Punkte) (c) Bestimmen Sie die Bahnkurve der Teilchen f¨ur den Fall q₁q₂ >0, wenn die Cou-

lombsche Kraft abstoßend ist. (6 Punkte)

L¨osung:

Die Relativbewegung der Teilchen wird von zwei Erhaltungsgr¨oßen eingeschr¨ankt: der Energie und dem Drehimpuls. F¨ur die Energie der Relativbewegung erh¨alt man [s.

Musterl¨osung f¨ur Aufgabe 1 von Blatt 0]:

E_rel = µ~r˙² 2 + l²_z

2µr² + q₁q₂

r , (1)

wobei~r≡~r₁−~r₂ und

1 µ = 1

m₁ + 1

m₂. (2)

Da der Drehimpuls

L~_rel = (0,0, l_z), l_z =µ(xy˙−yx) =˙ µr²ϕ˙ (3) eine erhaltene Gr¨oße ist, ist die Energie Erel unabh¨angig vom Polarwinkel ϕin derxy- Ebene. Der Ausdruck f¨ur E_rel hat genau dieselbe Form wie derjenige f¨ur die Energie eines eindimensionalen Systems mit dem effektiven Potential

U_eff = l_z²

2µr² +q₁q₂

r . (4)

(a) Bestimmen Sie die Bahnkurve der Teilchen f¨ur den Fall q₁q₂ <0. (12 Punkte) F¨ur den Fall q₁q₂ <0 ist die Coulombsche Kraft anziehend. Das Potential U_eff(r) hat dann die in Abb. 1 dargestellte Form. WennE_rel <0, in Abb. 1 als gestrichelte Linie dargestellt, dann ist die Bewegung beschr¨ankt. F¨urr gilt dann [s. Blatt 0]

a

1 + ≤r ≤ a

1−, (5)

wobei

a=− l_z²

µq₁q₂, = s

1 + 2E_rell²_z

µq₁²q₂² . (6) Beachten Sie, dass a ≥ 0 f¨ur eine attraktive (q₁q₂ < 0) Wechselwirkung. Wenn E_rel >0 (d.h. >1) gilt, dann ist die Bewegung unbeschr¨ankt,r≥a/(1 +).

Abbildung 1: Effektives Potential U_eff(r) einer attraktiven (q₁q₂ <0) Wechselwirkung.

Um die Bahnkurve nun explizit zu bestimmen, benutzen wir Gl. (1):

~˙ r =±

r2

µ[E_rel−U_eff(r)]. (7)

Wegen Gl. (3) erh¨alt man

~r˙= dr

dϕϕ˙ = dr dϕ

l_z

µr². (8)

Somit gilt

dr dϕ =±

√2µ lz

r²p

E_rel−U_eff(r) (9)

und es ergibt sich:

ϕ=± l_z

√2µ

Z dr r²p

E_rel−U_eff(r)+ const. (10) F¨ur das Coulombsche Potential kann man das Integral nach Standardregeln be- rechnen:

l_z

√2µ

Z dr r²p

E_rel−U_eff(r)

r=1/u

z}|{= −

Z du

p2µE_rel/l_z²−u²−(2µq₁q₂/l²_z)u

=−

Z du

p(u₁−u)(u−u₂) =−2 arctan

√u₁−u

√u−u2

, (11)

wobei

u₁ = 1

a(1 +), u₂ = 1

a(1−) (12)

mit a und aus Gl. (6). Aus Gl. (10) erh¨alt man ϕ−ϕ0 = ±

Z u1

1/r

du

p(u₁−u)(u−u₂) =±2 arctan

√u₁r−1

√1−u2r, (13) wobei ϕ₀ der Polarwinkel ist, der r = 1/u₁ = a/(1 +) ≡ r_min entspricht (im folgenden setzen wir ϕ₀ = 0).

Damit folgt:

u₁r−1

1−u₂r = tanϕ

2 2

⇒ r = 1 + tan^2ϕ₂

u₂tan^{2 ϕ}₂ +u₁ = 1

u₂sin^2ϕ₂ +u₁cos^{2 ϕ}₂ = a

1 + cos^{2 ϕ}₂ −sin^2ϕ₂. Das Ergebnis ist

a

r = 1 +cosϕ. (14)

Man erh¨alt so die Polargleichung f¨ur einen Kegelschnitt mit einem Brennpunkt im Zentrum und zwar

(i) f¨ur <1 (d.h.E_rel <0) eine Ellipse mit dem Spezialfall eines Kreises f¨ur den minimalen Wert = 0;

(ii) f¨ur= 1 (d.h. E_rel = 0) eine Parabel;

(iii) f¨ur >1 (d.h.Erel >0) eine Hyperbel.

Um diese Ergebnisse explizit zu bekommen, betrachten wir nun Gl. (14) in karte- sischen Koordinaten. Mit den Beziehungen

x=rcosϕ, r² =x²+y² (15) folgt

(1−²)x²+ 2ax+y² =a². (16) F¨ur= 1 (d.h. Erel = 0) ist die Bahnkurve eine Parabel:

x=− y² 2a + a

2. (17)

F¨ur6= 1 gilt

(1−²)(x−x0)²+y² = a²

1−², (18)

wobei

x₀ = a

1−². (19)

Nun kann man die Gleichung in die kanonische Form ¨uberf¨uhren (x−x₀)²

X² +ηy²

Y² = 1 (20)

mit

X² = a²

(1−²)², Y² = a²

|1−²|, η= sign(1−²). (21)

Daraus ist ersichtlich, dass die Bahnkurve f¨ur <1 (d.h.η = 1) eine Ellipse ist:

(x−x₀)² X² + y²

Y² = 1, x0 >0. (22)

Anderenfalls, f¨ur >1 (d.h. η=−1) ist die Bahnkurve eine Hyperbel:

(x−x₀)² X² − y²

Y² = 1, x₀ <0. (23)

(b) Nehmen Sie an, dass die Teilchen anf¨anglich ruhen und sich in einem Abstand R voneinander befinden. Berechnen Sie nun die Zeit bis die Teilchen kollidieren.

(2 Punkte) F¨ur ruhende Teilchen verschwindet der Drehimpuls, lz = 0, und somit Ueff(r) =

−|q₁q₂|/r. Am Anfang (t= 0) ist die kinetische Energie null und somit E_rel = q₁q₂

R <0. (24)

Wir benutzen Gl. (7):

˙ r=±

r2

µ[E_rel−U_eff(r)], r(t= 0) =R. (25) Man erh¨alt:

t = Z R

0

dr q2

µ[E_rel−U_eff(r)]

= s

µR 2|q1q2|

Z R

0

dr√

√ r

R−r =π s

µR³

8|q1q2|. (26) (c) Bestimmen Sie die Bahnkurve der Teilchen f¨ur den Fall q₁q₂ >0, wenn die Cou-

lombsche Kraft abstoßend ist. (6 Punkte)

Im Fall des abstoßendes Potential sind nur positive Energien m¨oglich (Abb. 1).

Abbildung 2: Effektives Potential U_eff(r) einer repulsiven (q₁q₂ > 0) Wechselwirkung.

Nun ist jedoch a <0 in Gl. (6) und es gilt

|a|/r =−1 +cosϕ. (27) Die Bahnkurve ist eine Hyperbel, Gl. (23), mit x₀ > 0. Das bedeutet, dass die Teilchen um sich drehen, bevor sie den Ursprung (Schwerpunkt, x= 0) erreichen.