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Der Inkreis

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Academic year: 2022

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(1)

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans

Der Inkreis

(2)

Hans Freudenthal 1905-1990 Schni>punkt der Winkelhalbierenden

(3)

Inkreis mit Winkelhalbierenden

(4)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(5)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(6)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

beliebiger

Startpunkt

(7)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

beliebiger

Startpunkt

(8)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(9)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(10)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(11)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(12)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Schließungsfigur

Warum?

(13)

Sechspunktekreis

(14)

Besserer Startpunkt

(15)

Besserer Startpunkt

(16)

Besserer Startpunkt

(17)

Regula falsi (Adam Ries)

Die Königskinder kommen sich näher

(18)

Regula falsi (Adam Ries)

Adam Ries (1492/93-1559)

(19)

Regula falsi (Adam Ries)

(20)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

OpSmaler Startpunkt

(21)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

OpSmaler Startpunkt

(22)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(23)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(24)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Schließungsfigur

(25)

Inkreis ohne Winkelhalbierende

Inkreis

(26)

Zwischenspiel: Gleichdick

beliebiger

Startpunkt

außen

(27)

Außen

beliebiger

Startpunkt

außen

(28)

Außen

(29)

Außen

(30)

Außen

(31)

Außen

(32)

Außen

Schließungsfigur

(33)

Außen

Mi>elpunkte der „Durchmesser“

(34)

Außen

Mi>elpunkte der „Durchmesser“

Inkreis

(35)

Außen

Gleichdick

Orbiforme (Euler) Reuleaux-Dreieck

(36)

Außen

Gleichdick

(37)

Außen

Gleichdick

(38)

Außen

Gleichdick

(39)

Außen

Gleichdick

(40)

Außen

Gleichdick

(41)

Außen

Gleichdick

(42)

Außen

Gleichdick

(43)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(44)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Hyperbel

Hyperbelpunkt

Brennpunkt

Brennpunkt

(45)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Hyperbel Hyperbel

(46)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Hyperbel Hyperbel Hyperbel

(47)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Hyperbel Hyperbel Hyperbel

Schni>punkt

(48)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

Hyperbel Hyperbel Hyperbel

Schni>punkt

(49)

Inkreis ohne Winkelhalbierende

(50)

Innenkreis (Problem des Apollonius)

Methode von Adriaan van Roomen (1596)

(51)

Außen (Ankreise)

(52)

Außen Ellipse

Ellipsenpunkt

Brennpunkt

Brennpunkt

(53)

Außen Ellipse Ellipse

(54)

Außen Ellipse Ellipse Hyperbel

(55)

Außen Ellipse Ellipse Hyperbel Ankreis

(56)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(57)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(58)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius Mi>elpunkte der Minimalabstände

(59)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(60)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(61)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(62)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(63)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(64)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius Methode von Adriaan van Roomen (1596)

(65)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(66)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(67)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(68)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(69)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(70)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(71)

Zwischenspiel: Problem des Apollonius

(72)

Viereck

(73)

Viereck

(74)

Viereck

(75)

Viereck

Wenn’s nicht geht geht’s nimmer.

(76)

Tangentenviereck

(77)

Tangentenviereck

(78)

Tangentenviereck

Wenn’s einmal geht geht’s immer

(79)

Tangentenviereck

(80)

Tangentenviereck Satz von Newton

www.walser-h-m.ch/hans/Schni>punkte

(81)

Tangentenviereck Kissing Circles

(82)

Tangentenviereck Kissing Circles

(83)

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

a

b c

d

(84)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant

Gelenkmodell, unendlich viele Inkreise

(85)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant OpSmale Lösung

(86)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Alternierende Seitensumme null Gelenkmodell zusammenklappbar

(87)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Alternierende Seitensumme null Gelenkmodell zusammenklappbar

(88)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant

Erzherzog Ferdinand 1564-1595

(89)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant

(90)

Tangentenviereck Gleiche Differenzen

KonstrukSon mit Hyperbel a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

(91)

Tangentenviereck Gleiche Differenzen

KonstrukSon mit Hyperbel

a b

d c a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

(92)

Im Raum: Tangententetraeder

(93)

Im Raum: Tangententetraeder

Von jeder Ecke aus gleich lange Tangentenabschni>e

(94)

Im Raum: Tangententetraeder

Von jeder Ecke aus gleich lange Tangentenabschni>e

(95)

Im Raum: Tangententetraeder

Von jeder Ecke aus gleich lange Tangentenabschni>e

Summe der Gegenkanten konstant

(96)

Fünfeck

(97)

Fünfeck

(98)

Fünfeck

(99)

Fünfeck

(100)

Fünfeck

(101)

Fünfeck

(102)

Fünfeck, Gelenkmodell

(103)

Fünfeck, Gelenkmodell

(104)

Fünfeck, Gelenkmodell

(105)

Fünfeck, Gelenkmodell

(106)

Fünfeck, Gelenkmodell

(107)

Fünfeck, Gelenkmodell

(108)

Fünfeck, Gelenkmodell

Weihnachten kommt besSmmt

(109)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a1 x1

x2

x3 x4

x5

a2 a3 a4

a5

(110)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a1 x1

x2

x3 x4

x5

a2 a3 a4

a5

a1 x1 + x2 =

(111)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a1 x1

x1

x2

+ =

a2 x2 + x3

x3 + x4

x4 + x5 x5 +

=

a3

=

a4

=

a5

=

(112)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a1 x1

x1

x2

+ =

a2 x2 + x3

x3 + x4

x4 + x5 x5 +

=

a3

=

a4

=

a5

=

plus minus minus plus plus

(113)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

2x1 = a1 − a2 + a3 − a4 + a5

x1 = 12

(

a1 − a2 + a3 − a4 + a5

)

a1 x1

x1

x2

+ =

a2 x2 + x3

x3 + x4

x4 + x5 x5 +

=

a3

=

a4

=

a5

=

plus minus minus plus plus

(114)

Fünfeck, Rechnung

Zyklische Vertauschung

x1 = 12

(

a1 − a2 + a3 − a4 + a5

)

x2 = 12

(

a2 − a3 + a4 − a5 + a1

)

x3 = 12

(

a3 − a4 + a5 − a1 + a2

)

x4 = 12

(

a4 − a5 + a1 − a2 + a3

)

x5 = 12

(

a5 − a1 + a2 − a3 + a4

)

(115)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a1 x1

x1

x2

+ =

a2 x2 + x3

x3 + x4

x4 + x5 x5 +

=

a3

=

a4

=

a5

=

(116)

Koeffizientenmatrix

a1 a2 a3 a4 a5

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

(117)

Koeffizientenmatrix det 1 1 1 1

⎡

⎣⎢ ⎤

⎦⎥

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ = 0 det

1 1 0 0 1 1 1 0 1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ = 2

det

1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

= 0

det

1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢

⎢⎢

⎢

⎤

⎦

⎥⎥

⎥⎥

⎥

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟

⎟

= 2 n ungerade: det

( )

M = 2

n gerade: det

( )

M = 0

(118)

Fünfeck, Inkreisradius?

(119)

Fünfeck, Inkreisradius?

r

x1

(120)

Fünfeck, Inkreisradius?

φ1 = arctan

( )

xr1

r

x1

φ1

(121)

r

x1

φ1 Fünfeck, Inkreisradius?

φ1 = arctan

( )

xr1

φ1 = arctan

( )

xr1

φ2 = arctan

( )

xr2

φ2 = arctan

( )

xr2

φ3 = arctan

( )

xr3

φ3 = arctan

( )

xr3

φ4 = arctan

( )

xr4

φ4 = arctan

( )

xr4

φ5 = arctan

( )

xr5

φ5 = arctan

( )

xr5

(122)

Fünfeck, Inkreisradius

arctan

( )

xr1 + arctan

( )

xr2 + arctan

( )

xr3 + arctan

( )

xr4 + arctan

( )

xr5 = π

r

x1

φ1

(123)

Fünfeck, Inkreisradius

arctan

( )

xr1 + arctan

( )

xr2 + arctan

( )

xr3 + arctan

( )

xr4 + arctan

( )

xr5 = π

Beispiel Gelenkmodell:

arctan

( )

4r + arctan

( )

6r + arctan

( )

3r + arctan

( )

5r + arctan

( )

2r = π

r = 12 41 + 12 17 ≈ 5.2631

CAS sei Dank

(124)

Pentagramm, Inkreisradius

arctan

( )

4r + arctan

( )

6r + arctan

( )

3r + arctan

( )

5r + arctan

( )

2r = 2π

Doppelter Umlauf

(125)

Pentagramm, Inkreisradius

arctan

( )

xr1 + arctan

( )

xr2 + arctan

( )

xr3 + arctan

( )

xr4 + arctan

( )

xr5 = 2π

Beispiel Gelenkmodell:

arctan

( )

4r + arctan

( )

6r + arctan

( )

3r + arctan

( )

5r + arctan

( )

2r = 2π

r = 12 41 − 12 17 ≈1.1400

Doppelter Umlauf

(126)

Danke

Referenzen

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