Der Inkreis

(1)

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans

Der Inkreis

(2)

Hans Freudenthal 1905-1990 Schni>punkt der Winkelhalbierenden

(3)

Hans Freudenthal 1905-1990 Schni>punkt der Winkelhalbierenden

Winkelsymmetralen

(4)

Inkreis mit Winkelhalbierenden

(5)

Inkreis ohne Winkelhalbierende?

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

beliebiger

Startpunkt

(11)

beliebiger

Startpunkt

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

Schließungsﬁgur

Warum?

(17)

Sechspunktekreis

(18)

Besserer Startpunkt

(19)

Besserer Startpunkt

(20)

Besserer Startpunkt

(21)

Regula falsi (Adam Ries)

Die Königskinder kommen sich näher

(22)

OpQmaler Startpunkt

(23)

OpQmaler Startpunkt

(24)

(25)

(26)

Schließungsﬁgur

(27)

Inkreis ohne Winkelhalbierende

Inkreis

(28)

Methode von Adriaan van Roomen (1596)

(29)

Hyperbel

Hyperbelpunkt

Brennpunkt

Brennpunkt Methode von Adriaan van Roomen (1596)

(30)

Hyperbel Hyperbel

(31)

Hyperbel Hyperbel Hyperbel

Schni>punkt

(32)

Hyperbel Hyperbel Hyperbel

Schni>punkt

(33)

Inkreis ohne Winkelhalbierende

(34)

Innenkreis (Problem des Apollonios)

(35)

Zwischenspiel: Problem des Apollonios

(36)

Es gibt 2³ = 8 Lösungen

(37)

Exemplarisch zwei Lösungen

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

Viereck

(45)

Viereck

(46)

Viereck

(47)

Viereck

Wenn’s nicht geht geht’s nimmer

(48)

Tangentenviereck

(49)

Tangentenviereck

(50)

Tangentenviereck

Wenn’s einmal geht geht’s immer

(51)

Tangentenviereck

(52)

Tangentenviereck Satz von Newton

www.walser-h-m.ch/hans/Schni>punkte

(53)

Tangentenviereck Kissing Circles

(54)

Tangentenviereck Kissing Circles

(55)

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

a

b c

d

(56)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Gelenkmodell, unendlich viele Inkreise

(57)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Summe der Gegenseiten konstant OpQmale Lösung

(58)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Alternierende Seitensumme null Gelenkmodell zusammenklappbar

(59)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Alternierende Seitensumme null Gelenkmodell zusammenklappbar

(60)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

Erzherzog Ferdinand 1564-1595

(61)

a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Tangentenviereck

(62)

Tangentenviereck Gleiche Diﬀerenzen

KonstrukQon mit Hyperbel a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Brennpunkt Brennpunkt

(63)

Tangentenviereck Gleiche Diﬀerenzen

KonstrukQon mit Hyperbel

a b

d c a + c = b + d

a − b + c − d = 0 a − b = d − c

Brennpunkt Brennpunkt

(64)

Im Raum: Tangententetraeder

(65)

Von jeder Ecke aus gleich lange Tangentenabschni>e

(66)

(67)

Summe der Gegenkanten konstant

(68)

Summe der Gegenkanten konstant

(69)

Fünfeck

(70)

Fünfeck

(71)

Fünfeck

(72)

Fünfeck

(73)

Fünfeck

(74)

Fünfeck

(75)

Fünfeck, Gelenkmodell

(76)

(77)

(78)

(79)

Weihnachten kommt besQmmt

(80)

Fünfeck, Rechnung Bogenradien gesucht

a₁ x₁

x₂

x₃ x₄

x₅

a₂ a₃ a₄

a₅

(81)

a₁ x₁

x₂

x₃ x₄

x₅

a₂ a₃ a₄

a₅

a₁ x₁ + x₂ =

(82)

a₁ x₁

x₁

x₂

+ =

a₂ x₂ + x₃

x₃ + x₄

x₄ + x₅ x₅ +

=

a₃

=

a₄

=

a₅

=

(83)

a₁ x₁

x₁

x₂

+ =

a₂ x₂ + x₃

x₃ + x₄

x₄ + x₅ x₅ +

=

a₃

=

a₄

=

a₅

=

plus minus minus plus plus

(84)

2x₁ = a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + a₅

x₁ = ¹₂

(

a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + a₅

)

a₁ x₁

x₁

x₂

+ =

a₂ x₂ + x₃

x₃ + x₄

x₄ + x₅ x₅ +

=

a₃

=

a₄

=

a₅

=

plus minus minus plus plus

(85)

Fünfeck, Rechnung

Zyklische Vertauschung

x₁ = ¹₂

(

a₁ − a₂ + a₃ − a₄ + a₅

)

x₂ = ¹₂

(

a₂ − a₃ + a₄ − a₅ + a₁

)

x₃ = ¹₂

(

a₃ − a₄ + a₅ − a₁ + a₂

)

x₄ = ¹₂

(

a₄ − a₅ + a₁ − a₂ + a₃

)

x₅ = ¹₂

(

a₅ − a₁ + a₂ − a₃ + a₄

)

(86)

Fünfeck, Inkreisradius?

r

x₁

(87)

Fünfeck, Inkreisradius?

φ₁ = arctan

( )

^x_r¹

r

x₁

φ₁

(88)

r

x₁

φ₁ Fünfeck, Inkreisradius?

φ₁ = arctan

( )

^x_r¹

φ₁ = arctan

( )

^x_r¹

φ₂ = arctan

( )

^x_r²

φ₂ = arctan

( )

^x_r²

φ₃ = arctan

( )

^x_r³

φ₃ = arctan

( )

^x_r³

φ₄ = arctan

( )

^x_r⁴

φ₄ = arctan

( )

^x_r⁴

φ₅ = arctan

( )

^x_r⁵

φ₅ = arctan

( )

^x_r⁵

(89)

Fünfeck, Inkreisradius

arctan

( )

^x_r¹ ⁺ ^arctan

( )

^x^r² ⁺ ^arctan

( )

^x^r³ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁴ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁵ ⁼ ^π

r

x₁

φ₁

(90)

Fünfeck, Inkreisradius

arctan

( )

^x_r¹ ⁺ ^arctan

( )

^x^r² ⁺ ^arctan

( )

^x^r³ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁴ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁵ ⁼ ^π

Beispiel Gelenkmodell:

arctan

( )

⁴_r ⁺ ^arctan

( )

⁶^r ⁺ ^arctan

( )

³^r ⁺ ^arctan

( )

⁵^r ⁺ ^arctan

( )

²^r ⁼ ^π

r = ¹₂ 41 + ¹₂ 17 ≈ 5.2631

CAS sei Dank

(91)

Pentagramm, Inkreisradius

arctan

( )

⁴_r ⁺ ^arctan

( )

⁶^r ⁺ ^arctan

( )

³^r ⁺ ^arctan

( )

⁵^r ⁺ ^arctan

( )

²^r ⁼ ^2π

Doppelter Umlauf

(92)

Pentagramm, Inkreisradius

arctan

( )

^x_r¹ ⁺ ^arctan

( )

^x^r² ⁺ ^arctan

( )

^x^r³ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁴ ⁺ ^arctan

( )

^x^r⁵ ⁼ ^2π

Beispiel Gelenkmodell:

arctan

( )

⁴_r ⁺ ^arctan

( )

⁶^r ⁺ ^arctan

( )

³^r ⁺ ^arctan

( )

⁵^r ⁺ ^arctan

( )

²^r ⁼ ^2π

r = ¹₂ 41 − ¹₂ 17 ≈1.1400

Doppelter Umlauf

(93)

Der Inkreis

Der Inkreis

beliebiger

Startpunkt

beliebiger

Startpunkt

Schließungsﬁgur

Warum?

OpQmaler Startpunkt

OpQmaler Startpunkt

Schließungsﬁgur

Inkreis

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

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( )

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( )

( )

( )

( )

Danke