Ubungen zur Quantenmechanik II ¨
Theoretische Physik V im WS 2008/2009 — Dr. M. Kastner
Blatt 8 Abgabe: 12. Dezember
vor Zimmer 01.504
Aufgabe 24: Feldgleichungen
Gegeben sei ein Hamilton-Operator H = T +U +V auf dem Fock-Raum F±(H), wobei T die kinetische Energie, U ein Einteilchenpotenzial und V ein Paarpotenzial bezeichne. Leiten Sie die Bewegungsgleichung des Feldoperators Ψ(x, t) im Heisenberg-Bild unter der durch H induzierten Dynamik her.
Aufgabe 25: Das schwach wechselwirkende Bose-Gas
In der Vorlesung wurde zur Modellierung eines schwach wechselwirkenden Bose-Gases im kubischen Volumen V =L3der symmetrische Hamilton-Operator
H =X p
E(p)a†pap+1 2
X p1,p2,p′1,p′2
p1,p2W(|X1−X2|)p′1,p′2
a†p1a†p2ap′2ap′1
diskutiert. W ist dabei ein schwaches Zweiteilchenpotenzial und {|pi} die Impulsbasis von Einteil- chenzust¨anden.
(a) Zeigen Sie unter der Annahme, dass die Reichweite vonW sehr viel kleiner ist alsL, dass sich das auftretende Matrixelement als
hp1,p2|W|p′1,p′2i=δp
1+p2,p′1+p′2fW(p)/V mit
Wf(p) = 4π~
|p1−p′1| Z ∞
0
dr r W(r) sin (r|p1−p′1|/~) schreiben l¨asst.
F¨ur die Dispersionskurve des schwach wechselwirkenden Bose-Gases haben wir in der Vorlesung den Ausdruck
ε(p) = r p4
4m2 +N V
p2 mfW(p) hergeleitet.
(b) Berechnen Sie die Dispersionskurve f¨ur ein sph¨arisches KastenpotenzialW(r) =λΘ(R−r) mit Wechselwirkungsst¨arkeλ∈Rund ReichweiteR >0, wobei Θ die Heaviside-Stufenfunktion be- zeichne. Diskutieren Sie, f¨ur welche Parameterwerte die Dispersionskurve ein Rotonenminimum aufweist. Sind f¨ur diese Parameterwerte die Annahmen der Bogoliubov-Theorie noch erf¨ullt?
Aufgabe 26: Quantenmechanische Beschreibung der linearen Kette
Betrachten Sie eine Kette bestehend aus N Atomen. In der Ruhelage befinde sich das n-te Atom (n = 1, . . . , N) auf dem Gitterplatz na, wobei a die Gitterkonstante bezeichne. Im folgenden sei Qn der Ortsoperator der Auslenkung des n-ten Atoms aus seiner Ruhelage und Pn der zugeh¨orige Impulsoperator. Die Kette sei zu einem Ring geschlossen, d.h. Qn+N =Qn undPn+N =Pn f¨ur alle n∈N. Sind die Einheiten so gew¨ahlt, dass~= 1, so gelten die Vertauschungsrelationen
[Qn, Pn′] = iδNn,n′ , [Qn, Qn′] = 0 = [Pn, Pn′] mit δn,nN ′=
(1 f¨urn=n′ modN , 0 sonst.
Der Hamilton-Operator der Kette mit harmonischer Wechselwirkung laute H = 1
2m XN
n=1
Pn2+1 2
XN
n=1
XN
n′=1
QnVn−n′Qn′
mit reellen Koeffizienten Vn =V−n =Vn±N f¨ur allen∈N. Aus der Mechanik ist die L¨osung qn(t)∼e±i(kna−ω(k)t) mitω(k) = 1
m XN
n=1
Vne±ikna
!1/2
des klassischen Problems bekannt (qn ist die Ortskoordinate), wobeik= 2πz/(N a),z∈Zdurch die Randbedingung eingeschr¨ankt wird.
(a) Zeigen Sie die HilfsformelPN
n=1eikna =N δ2π/ak,0 und glauben SieP
keikna =N δn,0N , wobei im folgendenP
k(·) alsP
−π/a≤k<π/a(·) verstanden wird mit k= 2πz/(N a) (summiert wird also
¨uber die entsprechendenz∈Z).
(b) Wir f¨uhren nun die Phononen-Erzeugungsoperatoren a†k= 1
√2N XN
n=1
eikna 1
λ(k)Qn−iλ(k)Pn
und die Phononen-Vernichtungsoperatoren ak = 1
√2N XN
n=1
e−ikna 1
λ(k)Qn+ iλ(k)Pn
ein, wobeiλ(k) = (m ω(k))−1/2 undω(k) die Dispersionsrelation der klassischen Kette erf¨ullt.
Zeigen Sie, dassa†k undak zu Recht bosonische Erzeuger und Vernichter genannt werden, dass also [ak, a†k′] =δ2π/ak,k′ und [ak, ak′] = 0 = [a†k, a†k′] gilt.
(c) Zeigen Sie die Inversionsformel Qn= 1
√2N X
k
λ(k) eikna
ak+a†−k und glauben Sie
Pn= −i
√2N X
k
1
λ(k)eikna
ak−a†−k .
(d) Ernten Sie die Fr¨uchte Ihrer Arbeit indem Sie zeigen, dass das Problem in N unabh¨angige harmonische Oszillatoren zerf¨allt,
H =X
k
ω(k)
a†kak+12 .
(e) Geben Sie, ausgehend vom Phononen-Vakuum
|0i mit a†kak|0i= 0 ∀k,
alle m¨oglichen Eigenzust¨ande des Hamilton-OperatorsH in Besetzungszahldarstellung und die zugeh¨origen Energieeigenwerte an.
