Ein Beitrag zur aktiven Schwingungsisolation
in Rotor-Gehäuse-Leichtbaustrukturen
vorgelegt von
Diplom-Ingenieurin
Henrike Nimmig
aus Dessau
Von der Fakultät V – Verkehrs- und Maschinensysteme
der Technischen Universität Berlin
zur Erlangung des akademischen Grades
Doktorin der Ingenieurwissenschaften
-Dr.
Ing.-genehmigte Dissertation
Promotionsausschuss:
Vorsitzender: Prof. Dr. H. J. Meyer Gutachter: Prof. Dr. R. Liebich Gutachter: Prof. Dr.-Ing. Santos
Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 10. Dezember 2013
Berlin 2013 D83
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Danksagung
Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als wissenschaftliche Mitarbeiterin am Fachgebiet Konstruktion und Produktzuverlässigkeit im Institut für Konstruktion, Mikro- und Medizintechnik an der Technischen Universität Berlin. Meinem Doktorvater Prof. Dr.-Ing. Liebich danke ich für die Begutachtung der Arbeit und für alle Freiheiten, die er mir in meiner Forschung und Lehre ließ. Für die Übernahme des zweiten Gutachtens danke ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Santos. Prof. Dr.-Ing. H. Meyer war so freundlich, den Prüfungsvorsitz zu übernehmen.
Die Arbeit wäre nicht in dem Umfang möglich gewesen ohne die Unterstützung von zahlreichen Studierenden und Kollegen.
Herrn Sascha Wolff danke ich sehr für seinen wertvollen Beitrag zur Regelungs-technik. Nach seiner Diplomarbeit am Fachgebiet stand er mir auch weiterhin als wissenschaftlicher Mitarbeiter am Fachgebiet Mess- und Regelungstechnik bei zahlrei-chen Fragen zur Regelungstechnik Rede und Antwort.
Sehr viel Zeit, Geduld und Aufwand steckten die Studierenden Anja Fechtel, Steven Mücke, Erik Schulz, Anton Kropinski und Ingo Barbré im Rahmen von Projekt- und Diplomarbeiten in die experimentellen Untersuchungen am Prüfstand, wofür ich ihnen sehr dankbar bin.
Auch den Mitarbeitern aus der Werkstatt danke ich für die schnelle und kom-petente Unterstützung während der Realisierung des Prüfstands.
Meinen Kollegen danke ich dafür, dass mir stets ihre Unterstützung anboten und ein sehr angenehmes Arbeitsklima ermöglichten. Mein spezieller Dank gilt zudem meinem Kollegen Daniel Kreuzer, der mir insbesondere am Ende der Arbeit mit Rat und Tat zur Seite stand.
Herrn Thomas Kaufhold danke ich für die ausgezeichnete Zusammenarbeit in der Lehre im Fach Antriebstechnik und das dabei entgegengebrachte Vertrauen und Engagement. Die Lehre hat mir sehr viel Spaß gemacht und war gleichzeitig eine große Motivation für mich bei der wissenschaftlichen Arbeit.
Last but not least danke ich von ganzem Herzen meinem Freund Michael Kuntz für die zahlreichen fachlichen Diskussionen und die ständige Begleitung und Unterstützung meiner Arbeit am Fachgebiet.
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Phantasie ist wichtiger als Wissen, denn Wissen ist begrenzt. (Albert Einstein)
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Kurzfassung
In der vorliegenden Forschungsarbeit wird die aktive Schwingungsreduktion in der Gehäuseaufhängung unwuchterregter Rotoren mithilfe von Piezoplättchen untersucht. Hintergrund dieser Untersuchungen sind z.B. unwuchterregte Schwingungen in Flug-zeugtriebwerken, welche über die Lagerung der Turbinenwelle bis ins Gehäuse und dessen Aufhängung sowie nachfolgende Strukturen geleitet werden. Somit beanspru-chen diese Schwingungen unnötigerweise eine Vielzahl von Bauteilen, welche weit von der Entstehungsquelle der Schwingungen entfernt angebracht sind und sie können sogar Komfortverluste im Flugzeug selbst verursachen.
In Anlehnung an die in Triebwerken verwendete filigrane Stützstruktur des In-termediate Casings wurden ein Simulationsmodell und ein Prüfstand mit einer strebenförmigen Gehäusestruktur aufgebaut. Auf diesen Streben befinden sich Pie-zoplättchen, welche durch eine geregelte Spannungsversorgung gezielt eine Kraft in die Streben leiten, so dass dadurch die Schwingungen in der dahinter folgenden Ge-häuseaufhängung von den Gehäuseschwingungen entkoppelt bzw. zumindest reduziert werden.
Das Simulationsmodell wurde mithilfe der Software ANSYS als parametrisches FE-Modell aufgebaut, dessen Systemmatrizen in MATLAB eingelesen, transformiert und als Zustandsraumdarstellung definiert. Anschließend wurden ein Optimalregler sowie zwei robuste Regler für den Betrieb in der ersten Biegeeigenfrequenz bei definier-ter Unwuchtanregung synthetisiert und das Ergebnis des geschlossenen Regelkreises in SIMULINK simuliert. Die so ermittelten Regler wurden anschließend am Prüfstand implementiert und die resultierenden Ergebnisse mit denen des Simulationsmodells verglichen.
Ausgewertet wurden die Schwingwege in horizontaler und vertikaler Richtung in der Gehäuseaufhängung, die Schwingwege am Rotor sowie die Aktorspannungen. Ziel war dabei v.a. eine gute qualitative Übereinstimmung der Ergebnisse von Simulati-onsmodell und Prüfstand.
Die Ergebnisse wiesen zwar leichte Diskrepanzen auf, aber dennoch konnte die Tendenz aus dem Simulationsmodell bestätigt werden: das beste Ergebnis lieferte die Optimalregelung während die robusten Regler quasi keinen Einfluss auf das Schwingungsverhalten haben. Dort zeigte sich aber auch, dass einige Parameter wie hohe Aktorspannungen einen entscheidenden Einfluss auf das Regelergebnis haben. Daraufhin schlossen sich noch einige Parameterstudien am Simulationsmodell an, welche die Einflüsse einzelner Parameter auf das Regelergebnis bei Optimalregelung verdeutlichten und somit eine Grundlage für weitere Studien an real existierenden Systemen bis hin zum industriellen Einsatz der Piezos zur Schwingungsreduktion darstellen sollen.
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Abstract
In this dissertation active vibration reduction of unbalance rotating shafts in frame suspension by means of piezoelectric plates was investigated. The motivation for these researches are vibrations in jet engines caused by excitations due to unbalanced masses, which are transmitted through the bearings of the turbine shaft to the frame and its suspension and further on subsequent structures. Hence a lot of construction elements are unneccessarily strained by vibrations though they are mounted far away from the vibration source. This can also be responsible for a lack of comfort of the whole aircraft itself.
In dependence on the filigree support structure of the intermediate casing a si-mulation model and a test rig with a counterfort frame were build up. On these counterforts piezoelectric plates were bonded and via controlled power supply lead a defined force into the counterforts so that vibrations in the subsequent frame suspension could be degenerated or at least be reduced thereby.
The simulation model was defined as a parametric FE-model in ANSYS, whose system matrices furthermore were imported to MATLAB, transformed and finally used to define the system in state space. Subsequently, a linear quadratic regulator (LQR) and two robust controllers were developed to reduce vibrations in frame suspension due to a defined unbalance excitation in the first natural frequency of the system. The closed loop system was simulated in SIMULINK. The consequently designed controllers are applied to the test rig and results are compared to the results of the simulation.
For this comparison the displacement of the frame suspension in horizontal and vertical direction, the displacement of the shaft and actuator voltages were evaluated. The objective was a good qualitative agreement between the results of both simulation and measurement.
In spite of small discrepancies the results of the simulation could also be vali-dated on the test rig: The LQR could reduce vibrations in the frame suspension while the robust controllers essentially did not influence the vibration behaviour. However researches also showed that some parameters such as high actuator voltages have an important influence on the controller performance.
Hence, some parameter studies followed up the simulation model, which showed some detailed influences of construction and excitation on the performance of the LQR. These results are a basis for ongoing researches on the utilisation of piezoelectric plates in real existing systems in terms of reduction of vibration.
Inhaltsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis III
Tabellenverzeichnis VI
Symbolverzeichnis VII
1 Einleitung 1
2 Grundlagen der aktiven Schwingungsbeeinflussung 4
2.1 Möglichkeiten zur Schwingungsreduktion . . . 4
2.2 Mechatronische Systeme für die aktive Schwingungsisolation . . . 5
2.3 Piezoelektrische Aktoren . . . 7
3 Modellbildung 14 3.1 Aufbau des untersuchten Systems . . . 14
3.2 Aufbau des Simulationsmodells . . . 16
3.3 Systemeigenschaften . . . 20
3.3.1 Einführendes Beispiel: Unwuchterregter Ein-Massen-Schwinger . . . 20
3.3.2 Unwuchterregter Mehr-Massen-Schwinger . . . 23
3.3.3 Mechatronisches System: Unwuchtiger Mehrscheiben-rotor und Piezoaktoren . . . 27
3.4 Das Zustandsraummodell . . . 29
4 Regelung 32 4.1 Grundlagen der Regelung . . . 32
4.2 Schwingungsreduktion mithilfe von Reglern in Eingrößensystemen . . . 33
4.3 Regelung von Mehrgrößensystemen im Zustandsraum . . . 38
4.3.1 Struktureigenschaften . . . 41 4.3.1.1 Minimalrealisierung . . . 41 4.3.1.2 Steuerbarkeit . . . 41 4.3.1.3 Beobachtbarkeit . . . 42 4.3.1.4 Spillover . . . 43 4.3.1.5 Stabilität . . . 44
4.3.2 Optimaler Regler im Zustandsraum . . . 45
4.3.2.1 Beobachter . . . 48
4.3.3 Robuste Regelung unsicherer Systeme . . . 51
4.3.3.1 Normen . . . 51
4.3.3.2 Unsicherheiten im Simulationsmodell . . . 52
Inhaltsverzeichnis II 5 Prüfstand 65 5.1 Prüfstandskonstruktion . . . 65 5.1.1 Antriebseinheit . . . 65 5.1.2 Rotor . . . 66 5.1.3 Gehäuse . . . 67 5.2 Elektronische Hardwarekomponenten . . . 70 5.3 Sensorik . . . 71 5.4 Datenverarbeitende Hardwarekomponenten . . . 71 5.5 Experimentelle Modalanalyse . . . 72
6 Untersuchungen und Ergebnisse 74 6.1 Simulationsergebnisse . . . 74 6.1.1 Optimale Regelung (LQR) . . . 75 6.1.2 Robuste Regelung . . . 79 6.1.2.1 H∞-Regelung . . . 79 6.1.2.2 µ-Regelung . . . 82 6.2 Messergebnisse . . . 86 6.2.1 Optimale Regelung . . . 87 6.2.2 Robuste Regelung . . . 90 6.2.2.1 H∞-Regelung . . . 90 6.2.2.2 µ-Regelung . . . 93 6.3 Weitere Simulationsstudien . . . 96
6.3.1 Erhöhung der Unwuchtkraft . . . 97
6.3.2 Stellgrößenbeschränkung an Piezoaktoren . . . 98
6.3.3 Variation des Piezowerkstoffs . . . 100
6.3.4 Variation der Strebendicke im Gehäuse . . . 102
6.3.5 Variierende Aktorspannungen . . . 105
7 Zusammenfassung und Ausblick 106
Literatur 113
A DK-Iteration 114
B Separationstheorem für den geschlossenen Regelkreis mit Beobachter116
Abbildungsverzeichnis
2.1 Einteilung der Aktoren, nach [38] . . . 6
2.2 Unterteilung unkonventionelle, neuartige Aktoren, nach [19] . . . 7
2.3 Elementarzelle (links unbelastet; rechts belastet), nach [29] . . . 8
2.4 Auswahl von Piezoaktorbauarten (Bezeichnung von links nach rechts): Stapel - Streifen (parallel) - Bieger, nach [19] . . . 9
2.5 Bezeichnung der Achsen . . . 11
2.6 Mechanische Dehnung in Abhängigkeit von elektrischer Feldstärke (Schmetterlingshysterese), nach [22] . . . 11
2.7 Polarisation in Abhängigkeit von elektrischer Feldstärke (Piezoelektri-sche Hysterese), nach [22] . . . 12
3.1 Skizze des Gesamtsystems . . . 15
3.2 Skizze des Strebengehäuses mit den Piezos (rot) . . . 15
3.3 Schematische Modellierung der Lagerung im ANSYS-Modell . . . 17
3.4 FE-Simulationsmodelle . . . 18
3.5 Ablauf der Simulation . . . 19
3.6 Unwuchterregter Einmassenschwinger . . . 20
3.7 Abhängigkeit der Eigenwerte vom Dämpfungsgrad bei konstanter Stei-figkeit k, nach [30];[12] . . . 22
3.8 Abhängigkeit der Eigenwerte von der Steifigkeit bei vernachlässigter Dämpfung, nach [30];[12] . . . 22
3.9 Amplituden-Frequenzgang des Simulationsmodells . . . 25
3.10 Campbelldiagramm . . . 26
3.11 Erste und zweite Biegeeigenform des Rotors . . . 27
4.1 Geschlossener Regelkreis eines mechatronischen Systems mit Unwuch-terregung . . . 32
4.2 Unwuchterregter Ein-Massen-Schwinger mit Kraftaktor . . . 35
4.3 Übertragungsverhalten von P-, I- und D-Regler, nach [46] . . . 35
4.4 Pol-Nullstellen-Diagramm eines 1-Massen-Schwingers mit und ohne D-Regler . . . 36
4.5 Pol-Nullstellen-Diagramm für 1-Massen-Schwinger mit und ohne P-Regler 37 4.6 Blockschaltbild eines linearen Zustandsraummodells . . . 39
4.7 Ortskurven des offenen Regelkreises [27] . . . 45
4.8 Allgemeines Blockschaltbild für eine Zustandsrückführung . . . 46
4.9 Blockstruktur geschlossener Regelkreis mit Zustandsregler . . . 46
4.10 Blockschaltbild des geschlossenen Regelkreises mit Beobachter . . . 49
4.11 Unsicheres Modell als LFT . . . 53
4.12 Blockschaltbild der unsicheren Strecke . . . 55
Abbildungsverzeichnis IV
4.14 Wichtungsfunktionen im Regelkreis . . . 58
4.15 Allgemeiner Regelkreis mit gewichteter Strecke P . . . 58
4.16 Verallgemeinerter Regelkreis für Synthese . . . 59
4.17 Störübertragungsfunktion . . . 61
4.18 Stellübertragungsfunktion . . . 62
4.19 Sensitivität . . . 62
4.20 Komplementäre Sensitivität . . . 63
4.21 Regelkreis zur Analyse der robusten Performance . . . 64
5.1 Antriebseinheit des Prüfstands . . . 66
5.2 Gesamtansicht Prüfstand . . . 66
5.3 Strebengehäuse . . . 68
6.1 Simulierte Schwingwege an Gehäuseaufhängung mit Optimalregler (Zeitbereich) . . . 76
6.2 Simulierte Schwingwegamplituden an Gehäuseaufhängung mit Optimal-regler (Frequenzbereich) . . . 77
6.3 Simulierte Aktorspannungen der Piezos mit Optimalregler . . . 78
6.4 Simulierte Schwingwege am Rotor (Zeitbereich) . . . 79
6.5 Simulierte Schwingwege in der Gehäuseaufhängung mit H∞-Regler (Zeitbereich) . . . 80
6.6 Simulierte Schwingwegamplituden in der Gehäuseaufhängung mit H∞ -Regler (Frequenzbereich) . . . 81
6.7 Simulierte Aktorspannungen in den Piezos mit dem H∞-Regler (Zeitbe-reich) . . . 82
6.8 Simulierte Schwingwege in der Gehäuseaufhängung für drei zufällig ge-nerierte Unsicherheiten (Zeitbereich) . . . 83
6.9 Simulierter Schwingweg in der Gehäuseaufhängung mit µ-Regler (Zeit-bereich) . . . 84
6.10 Simulierte Schwingwegamplituden in der Gehäuseaufhängung mit µ-Regler (Frequenzbereich) . . . 85
6.11 Simulierte Aktorspannungen an den Piezos mit µ-Regler . . . 86
6.12 Gemessene Schwingwege in Gehäuseaufhängung mit Optimalregler . . . 88
6.13 Gemessene Aktorspannungen am Prüfstand mit Optimalregler . . . 89
6.14 Gemessene Schwingwege am Rotor mit Optimalregler . . . 90
6.15 Gemessene Schwingwege in Gehäuseaufhängung mit H∞-Regler . . . . 91
6.16 Gemessene Aktorspannungen bei H∞-Regelung . . . 92
6.17 Gemessene Schwingwege am Rotor mit H∞-Regler . . . 93
6.18 Gemessene Schwingwege in Gehäuseaufhängung mit µ-Regler . . . 93
6.19 Gemessene Aktorspannungen bei µ-Regelung . . . 94
6.20 Gemessener Schwingweg am Rotor mit µ-Regelung . . . 95
6.21 Simulierte Schwingwege in Gehäuseaufhängung bei erhöhter Unwucht mit Optimalregelung . . . 97
6.22 Aktorspannungen bei erhöhter Unwucht mit Optimalregelung . . . 98
6.23 Simulierte Schwingwege in Gehäuseaufhängung bei Stellbeschränkung mit Optimalregelung . . . 99 6.24 Simulierte Aktorspannungen bei Stellbeschränkung mit Optimalregelung 100
Abbildungsverzeichnis V
6.25 Simulierte Schwingwege in Gehäuseaufhängung mit PIC151 und Opti-malregelung (Zeitbereich) . . . 101 6.26 Simulierte Aktorspannungen mit PIC151 und Optimalregler (Zeitbereich)102 6.27 Simulierte Schwingwege in Gehäuseaufhängung mit 1mm dicken Streben
und Optimalregler (Zeitbereich) . . . 103 6.28 Simulierte Aktorspannungen mit 1mm dicken Streben und Optimalregler
(Zeitbereich) . . . 104 7.1 Vergleich Reduktion des Schwingwegs einzelner Paramtervariationen mit
Optimalregelung . . . 107 C.1 Unsichere Strecke . . . 118
Tabellenverzeichnis
2.1 Eigenschaften verschiedener Piezo-Bauformen, nach [19], [34] . . . 10
2.2 Curie-Temperaturen ausgewählter Piezo-Keramiken [34] . . . 12
3.1 Abmessungen des Systems . . . 16
3.2 Systemeigenfrequenzen in ANSYS . . . 24
4.1 Hankel-Singulärwerte . . . 43
5.1 Werkstoffeigenschaften von PIC255 und PIC151 (Auswahl) [34] . . . . 70
5.2 Vergleich numerische und experimentelle Eigenfrequenzen . . . 72
5.3 MAC-Werte . . . 73
6.1 Vergleich Schwingwege in horizontaler Richtung in Gehäuseaufhängung 95 6.2 Vergleich Schwingwege in vertikaler Richtung in Gehäuseaufhängung . . 95
6.3 Vergleich Aktorspannungen der Piezos . . . 96
6.4 Reduktion der simulierten Schwingwege mit Optimal-Regelung bei va-riabler Aktorspannung . . . 105
Symbolverzeichnis
Häufige Abkürzungen
EMA Experimentelle Modalanalyse FEM Finite-Element-Methode MIMO Multiple-Input-Multiple-Output SISO Single-Input-Single-Output Lateinische Buchstaben ¨ q Beschleunigung ˙ q Geschwindigkeit ˆ q Wegamplitude ˆ qh Homogene Wegamplitude ˆ qp Partikuläre Wegamplitude ˆ y Geschätzte Ausgangsgröße ¨ q Beschleunigungsvektor ˙ q Geschwindigkeitsvektor ˆ x Geschätzter Zustandsvektor ˆ y Geschätzter Ausgangsvektor ˜ D Modale Dämpungsmatrix ˜ K Modale Steifigkeitsmatrix ˜ M Modale Massenmatrix ˜ u Erweiterter Eingangsvektor A Systemmatrix B Eingangsmatrix C Ausgangsmatrix D Durchgangsmatrix D Dämpfungsmatrix
D Matrix der elektrischen Verschiebungsdichte ES Störmatrix (Sensorgleichung)
E Matrix des Elastizitätsmoduls E Störmatrix
e Schätzfehler fA Aktorkraftvektor
fU Unwuchtkraftvektor
GA Matrix der elektrischen Ladungen Aktor
GS Matrix der elektrischen Ladungen Sensor
G Übertragungsmatrix nominelle Strecke G∆ Übertragungsmatrix der unsicheren Strecke
VIII
JU Wirkmatrix der Unwuchtkraft
KAφq Elektromechanische Koppelmatrix Aktor KSφq Elektromechanische Koppelmatrix Sensor KA
φφ Piezoelektrische Kapazitätsmatrix Aktor
KS
φφ Piezoelektrische Kapazitätsmatrix Sensor
KAS
φφ Kreuzkopplungsmatrix Aktor-Sensor
KSA
φφ Kreuzkopplungsmatrix Sensor-Aktor
KAqφ Elektromechanische Koppelmatrix Aktor KS
qφ Elektromechanische Koppelmatrix Sensor
K Steifigkeitsmatrix
K Übertragungsmatrix des Reglers L Beobachtermatrix
L Übertragungsmatrix offener Regelkreis M Massenmatrix
M Vorfilter
M Übertragungsmatrix geschlossener Regelkreis mit gewichteter Strecke N Übertragungsmatrix nominelles System
P Gram’sche Matrix P Verstärkungsmatrix
P Übertragungsmatrix gewichtete Strecke p Piezoelektrische Ladungskonstante QB Beobachtsbarkeitsmatrix
QS Steuerbarkeitsmatrix
Q Gram’sche Beobachtbarkeitsmatrix Q Kehrwert der Minimalenergie Q Wichtungsmatrix Optimalregler q Verschiebungsvektor R Wichtungsmatrix Optimalregler r Führungsgröße S Mechanische Dehnung S Sensitivität s Elastische Nachgiebigkeit T Mechanische Spannung T Umgekehrte Sensitivität uV Wegvektor aus Vorfilter
U Eingangsmatrix u Eingangsvektor
We Wichtungsmatrix Regelabweichung
Wr Wichtungsmatrix Führungsgröße
Wu Wichtungsmatrix Stellgröße
Wdi Wichtungsmatrix eingangsseitige Störung
W Matrix der Führungsgrößen x Zustandsvektor
Y Ausgangsmatrix y Ausgangsvektor z Störgrößenvektor ap Montageabstand Piezo
IX
ax Verstärkungsfaktoren Ausgangsgröße
ba Breite des Außenrings
bi Breite des Innenrings
bp Breite der Piezoplättchen
bs Breite der Streben
bx Verstärkungsfaktoren Eingangsgröße
c Elastische Steifigkeitskonstante D Dämpfungsgrad
D Elektrische Verschiebungsdichte d Dämpfungskoeffizient
Da Außendurchmesser des Außenrings
Di Außendurchmesser des Innenrings
dw Wellendurchmesser
d33, d31 Piezoelektrische Ladungskonstante
dsg Durchmesser der großen Scheibe
dsk Durchmesser der kleinen Scheibe
E Elektrische Feldstärke e Euler’sche Zahl e Piezoelektrische Konstante e Regelabweichung F Kraft fA Aktorkraft FU Unwuchtkraft (laplacetransformiert) fU Unwuchtkraft
fU x Komponente Unwuchtkraft in x-Richtung
fU y Komponente Unwuchtkraft in y-Richtung
G Übertragungsfunktion g Verstärkungsfaktor
h Höhe
HωH,nH Hochpassfilter der Ordnung nH mit Eckfrequenz ωH
hga Länge der Aufhängung
hi Hankelsingulärwert I Integralkriterium i Komplexe Zahl j Imaginäre Zahl k Steifigkeit KD Verstärkungsfaktor D-Anteil KI Verstärkungsfaktor I-Anteil KP Verstärkungsfaktor P-Anteil
lp Länge des Piezoplättchens
lw Länge der Welle
m Masse n Messrauschen P Polarisation p Modaler Weg pi Polstelle Q Laplacetransformierter Weg
X
q Weg
qh Homogene Lösung (Weg)
qp Partikuläre Lösung (Weg)
S Mechanische Dehnung
s Elastische Nachgiebigkeitskonstante s Laplacevariable
T Mechanische Spannung
t Zeit
ta Tiefe des Außenrings
TC Curie-Temperatur
ti Tiefe des Innenrings
tp Tiefe der Piezoplättchen
ts Tiefe der Streben
tga Tiefe der Gehäuseaufhängung
U Elektrische Spannung w Führungsgröße Xa Ausgangsgröße Übertragungsfunktion Xe Eingangsgröße Übertragungsfunktion y Messgröße Griechische Buchstaben
α Realteil des Eigenwerts β Phasenversatz
γ Unendlich-Norm der Übertragungsmatrix des geschlossenen Regelkrei-ses mit gewichteter Strecke
λ Eigenwert
∆ Unsicherheitsmatrix
φA Elektrisches Potenzial Aktor
φS Elektrisches Potenzial Sensor
Φ Modalmatrix µ Beobachterkorrektur µ Strukturierter Singulärwert ν Parametrische Unsicherheit Ω Drehfrequenz ω Gedämpfte Eigenkreisfrequenz ω0 Ungedämpfte Eigenkreisfrequenz
ω0,1x Ungedämpfte 1. Eigenkreisfrequenz in x-Richtung
ω0,1y Ungedämpfte 1. Eigenkreisfrequenz in y-Richtung
φ Elektrisches Potential σ Mechanische Spannung
˜
ω0,k Nominelle, ungedämpfte k-te Eigenkreisfrequenz
˜
ωk Unsichere, ungedämpfte k-te Eigenkreisfrequenz
ε Dielektrizitätskonstante ε Exzentrizität
ε Mechanische Dehnung εr Relative Permittivitätszahl
1 Einleitung
Im Betrieb auftretende Schwingungen in Maschinensystemen sind häufig unerwünschte Erscheinungen, welche zum einen die Funktionsweise des Systems beeinträchtigen und zum anderen schwerwiegende Folgen haben können, wenn sie zum Bauteilversagen aufgrund einer Überbeanspruchung des Materials führen. Darüber hinaus werden Schwingungen von Maschinen oftmals auch von Menschen als unangenehm wahrge-nommen, wenn diese direkt auf ihn übertragen oder als Lärm abgestrahlt werden. Aus diesem Grund werden Maßnahmen zur Vermeidung der Entstehung und Weiter-leitung der vorherrschenden Schwingungen oder zur Verminderung der entstandenen Schwingungen bzw. deren Übertragung in Maschinensystemen getroffen.
Speziell in Flugzeugtriebweken führen äußere Störungen, wie z.B. Vogelschlag oder auch innere Störungen, wie Unwuchten in der Turbinenwelle zu Schwingungen innerhalb des Triebwerks, die durch filigrane Stützstrukturen (Intermediate Casing) bis in den Flugzeugrumpf übertragen werden können und dort als störend empfunden werden. Zur Dämpfung unwuchterregter Schwingungen werden Quetschöldämpfer oder Elastomerdämpfer an den Lagern vorgesehen, die jedoch als sogenannte passive Dämpfungssysteme die Eigenschaft haben, nur für eine bestimmte Betriebsfrequenz optimal ausgelegt zu sein. Da aber während des Flugbetriebs ein ausgedehnter Drehzahlbereich durchfahren wird und auch unvorhergesehene Störungen zu einer Anregung des Rotors in einer Eigenfrequenz führen können, für die der passive Dämpfer dann möglicherweise weniger gut wirksam ist, wird zunehmend die Forderung nach aktiven Systemen zur Schwingungsminderung gestellt. Diese bestehen aus einem Sensor, welcher den aktuellen Systemzustand misst und aus diesem über eine Regelung in Echtzeit ein Stellsignal für einen Aktor ermittelt, der durch sein Eingreifen in das System die Schwingung reduziert. Der ständige Abgleich zwischen Soll- und Istzustand ermöglicht somit eine Verringerung der auftretenden Schwingungen über einen weiten Frequenzbereich.
Die vorliegende Arbeit soll klären, ob mithilfe von auf die Stützstruktur des Gehäuses aufgeklebten Piezoplättchen eine aktive Schwingungsisolation der dahinter folgenden Gehäuseaufhängung von den durch eine Unwucht im Rotor induzierten und ins Gehäuse weitergeleiteten Schwingungen möglich ist. Ziel des Stelleingriffs dieser Ak-toren ist nicht die komplette Reduktion der Schwingungen in der Gehäuseaufhängung, sondern lediglich deren Abschwächung, so dass vorgegebene Grenzwerte eingehalten werden. Das untersuchte System weist dabei zunächst nur eine grobe Ähnlichkeit mit tatsächlich existierenden Triebwerken auf. Auch die Betriebsbedingungen während des Versuchs entsprechen noch nicht denen im realen Triebwerk während des Flugbetriebs. Stattdessen soll den Untersuchungen zur Regelung eine Parameterstudie folgen, welche den Einfluss einzelner Systemeigenschaften auf das Regelergebnis näher bestimmt.
1 Einleitung 2
Somit soll eine Grundlage geschaffen werden für nachfolgende Forschungsarbeiten an einem realen Flugzeugtriebwerk mit entsprechenden Größenverhältnissen und Randbedingungen.
Die Forschungsarbeit mit piezoelektrischen Aktoren begann spätestens 1991, als Palazzolo die Lagerung eines Rotors zusätzlich aktiv mit Piezoaktoren unterstützte [31],[32],[33]. Seitdem sind die Untersuchungen rund um Smart Structures geradezu explodiert, so dass es mittlerweile unmöglich geworden ist, auf alle einzugehen oder auch nur eine Übersicht über alle möglichen Anwendungsbeispiele und -formen zu geben. Da der Hintergrund dieser Arbeit auf der aktiven Schwingungsisolation von Leichtbaustrukturen in Flugzeugtriebwerken liegt, soll an dieser Stelle somit lediglich ein Abriss über mögliche Einsatzbereiche von Piezoaktoren zur Schwingungsminderung in Flugzeugtriebwerken gegeben werden.
Um speziell unwuchterregte Schwingungen im Triebwerk mithilfe von piezoelektrischen Aktoren zu reduzieren, werden v.a. zwei Konzepte angewendet: 1. die Verwendung von Stapelaktoren zur (Gegen-)Krafteinleitung an der Lagerstelle, welches u.a. ausführlich in [25], [21], [42] und [3] untersucht wurde. Die zweite Möglichkeit besteht in der Formkontrolle mithilfe von flächigen Piezoaktoren, welche speziell am Rotor u.a. von Hans-Georg Horst [17] untersucht wurde. Beide Anwendungsmöglichkeiten führten bereits zu erfolgreichen Resultaten. Die Verwendung von flächigen Piezoaktoren wird speziell in der Luftfahrttechnik auch für die Beeinflussung der Flügelkontur bei Flug-zeugen [15] oder die Schadensdiagnose z.B. im Flugzeugrumpf [20] verwendet. Diese Piezoaktoren werden zudem für die aktive Schwingungsisolation verwendet, welche zunehmend erforscht wird, z.B. [9]. Das DLR stellt in [6] aber auch eine Methode der aktiven Schwingungsisolation von Turboprop-Antrieben im Rumpfinnenraum eines Airbus mithilfe von in Leichtbaustreben integrierten Piezo-Stapelaktoren vor.
Grundsätzlich unterscheidet sich die aktive Schwingungsisolation von der Schwin-gungsdämpfung in dem zu beruhigenden Bauteil und damit verbunden in der Messstelle der Sensoren: während bei der aktiven Dämpfung das Messsignal an der Wirkstelle des Aktors ermittelt wird, befindet sich bei der Isolation der Sensor an der zu entkoppelnden Komponente, während der Aktor an einer davor befindlichen schwingenden Komponente angebracht ist und dort eingreift. Somit ist das Prinzip der Kollokation - also die Ermittlung des Messsignals für den Regelkreis an der Stelle, an welcher der Aktor wirkt - bei der Isolation nicht gegeben und es kann dadurch leicht zu Instabilitäten kommen. Die in der vorliegenden Arbeit angestrebte Isolation der ins Gehäuse eines unwuchterregten Rotors weitergeleiteten Schwingungen wurde in der Form bisher noch nicht erforscht. Während in den anderen aufgeführten Arbeiten zur Schwingungsreduktion in Rotorsystemen die Schwingungen des Rotors selbst verringert werden sollten, sind im Rahmen dieser Arbeit Rotorschwingungen durchaus zulässig, jedoch sollten sie nicht so groß werden, dass dadurch Anstreifvorgänge auftreten oder der Rotor und angrenzende Bauteile versagen.
Die vorliegende Arbeit ist folgendermaßen gegliedert:
Zunächst wird in Kapitel 2 auf die notwendigen Grundlagen für die Forschungsarbeit eingegangen. Dazu wird eine Übersicht über mögliche Maßnahmen zur Verringerung
1 Einleitung 3
von Schwingungen gegeben und desweiteren im speziellen auf die Anwendung von piezoelektrischen Bauteilen zur Schwingungsreduktion eingegangen.
In Kapitel 3 wird auf das untersuchte mechanische System und die verwende-ten Simulationsmodelle sowie die notwendigen Gleichungen zur Beschreibung des Systemverhaltens eingegangen.
Im Anschluss daran werden in Kapitel 4 die Grundlagen für die Entwicklung einer geeigneten Regelung zunächst an einem einführenden Beispiel und anschließend speziell für das untersuchte System erörtert.
Im Kapitel 5 wird schließlich der Aufbau und die Auslegung des verwendeten Prüfstands zur Validierung der Simulationsergebnisse beschrieben.
Die Ergebnisse der Simulation und des Prüfstands werden im Kapitel 6 auf-geführt und ausgewertet. Auf spezielle Varianten des Systemaufbaus und dessen Bedeutung wird ebenfalls im Rahmen einer Parameterstudie eingegangen.
Abschließend wird im Kapitel 7 eine Zusammenfassung der Untersuchungen sowie ein Ausblick auf weitere mögliche Forschungsarbeiten gegeben.
2 Grundlagen der aktiven
Schwingungsbeeinflussung
In diesem Kapitel soll zunächst beschrieben werden, wie unerwünschte Schwingungen reduziert werden können. Dabei soll auch der Unterschied zwischen aktiven und passiven Maßnahmen verdeutlicht werden. Anschließend erfolgt eine kurze Übersicht zu Aktoren generell. Anhand der Eigenschaften von piezoelektrischen Werkstoffen und Bauteilen soll dann verdeutlicht werden, wie diese für die aktive Schwingungsreduktion eingesetzt werden können.
2.1 Möglichkeiten zur Schwingungsreduktion
Schwingungen von Maschinen können sowohl ein erwünschtes, als auch ein un-erwünschtes Verhalten darstellen; abhängig davon ob die Schwingung selbst zur Funktionserfüllung der Maschine beiträgt oder eher eine unerwünschte Nebenerschei-nung darstellt. Sollen fremderregte Schwingungen eines Bauteils verringert werden, so kann man entweder der Ursache der Schwingung oder der Reaktion des schwingenden Bauteils auf die äußere Anregung entgegen wirken. Bei der zuletzt genannten Maß-nahme handelt es sich dabei immer um Änderungen an dem Schwingungssystem selbst. In [4] wird die Eliminierung oder Verringerung der Erregerkraft als „primäre“ Maßnahme bezeichnet, welche bei einer Schwingungsreduktion immer zuerst durchzu-führen ist und somit höchste Priorität hat. Eine mögliche Maßnahme zur Verringerung der äußeren Kraft stellt z.B. das Auswuchten von unwuchtigen Rotoren oder der Ausgleich von Massenkräften im Kurbeltrieb dar.
Als „sekundäre“ Maßnahme gilt nach [4] das Anbringen von Tilgern und Dämp-fern, wodurch Schwingwege oder -kräfte verringert werden können. Diese Maßnahmen sollten erst dann in Betracht gezogen werden, wenn die primären Maßnahmen nicht durchgeführt werden können oder nicht zum gewünschten Ergebnis führen. Die schwingungsmindernde Wirkung sekundärer Maßnahmen beruhen auf:
· Verstimmen des Systems durch Änderung der Systemeigenschaften
· Umwandlung der Schwingungsenergie in Wärmeenergie (Dissipation) mithilfe von Dämpfern und
· Anbringen von zusätzlichen schwingungsfähigen Massen, damit die Schwingungs-amplituden bei bestimmten Frequenzen minimal werden
2.2 Mechatronische Systeme für die aktive Schwingungsisolation 5
Einen Sonderfall der Schwingungsbeeinflussung stellt die sogenannte „Schwingungsiso-lation“ dar, bei der die Schwingungsübertragung von den schwingenden Bauteilen auf mit diesen verbundenen Strukturen durch geeignete Maßnahmen verhindert werden soll. Wird das zu isolierende Bauteil so elastisch mit dem schwingenden Bauteil ver-bunden, dass es selbst keine Erregung erfährt, so spricht man auch von „Entkopplung“. Die Entkopplung von Systemen bezeichnet die Schwingungsisolation im klassischen Sinne. Wird dagegen gezielt eine Massenkraft in die schwingende Struktur eingeleitet, welche der Erregerkraft entgegenwirkt, so spricht man von „Massenkraftkompensation“ [4]. Diese Maßnahme entspricht nach oben genannter Definition einer „primären“ Maß-nahme. Wird die Gegenkraft jedoch nicht direkt am Ort der Erregerkraft eingeleitet, so kann man auch hier von Schwingungsisolation sprechen, wenn das Ziel nicht der Ausgleich der Erregerkraft selbst ist, sondern die Beruhigung nachfolgender Bauteile. Die Schwingungsisolation spielt insbesondere bei der Fundamentierung von dynamisch erregten Maschinen eine große Rolle. Wird das Fundament durch eine von einer dy-namisch belasteten Maschine übertragene Kraft zum Schwingen angeregt, kann durch Einleiten einer Gegenkraft eine Schwingungsisolation bewirkt werden. Diese Art der Schwingungsisolation wird in der Mechanik auch als „aktive“ Schwingungsisolation oder „Quellenisolation“ genannt. Als „passive Schwingungsisolation“ oder „Empfängerisolati-on“ bezeichnet man die Isolation einer Maschine von äußeren Schwingungsanregungen, wie z.B. Wegerregungen durch das Fundament, welche durch entsprechende Maßnah-men zu verringern sind [14].
Eine andere Art der Unterscheidung von Schwingungsisolationtypen wie bisher be-schrieben wird dagegen in der Regelungstechnik vorgenommen: die Bezeichnung „aktive Schwingungsisolation“ wird hier verwendet, wenn eine Kraft durch einen Aktor auf das Schwingungssystem übertragen wird. Das entsprechende Stellsignal wird dabei mithil-fe eines Prozessors generiert, der ein Sensorsignal der Schwingunsstruktur als Eingang erhält. Als „passive Schwingungsisolation“ werden dann dementsprechend Maßnahmen bezeichnet, die ohne Regelung wirken.
2.2 Mechatronische Systeme für die aktive
Schwingungsisolation
Man bezeichnet also die Wirkungsweise einer Vorrichtung in der Mechatronik immer dann als „aktiv“, wenn das Verhalten der Vorrichtung durch Sensoren gemessen wird, in einem Regelkreis ein Abgleich zwischen Soll- und Istwert erfolgt und aufgrund dessen durch ein Eingreifen von außen durch einen Aktor die Systemeigenschaften so verändert werden, dass der Sollwert (wieder) erreicht wird [4]. So verändert ein Elastomerdämpfer z.B. seine Eigenschaften in Abhängigkeit von der Temperatur oder Drehzahl [40], aber die Änderung kann nicht beliebig von außen hervorgerufen werden, sondern sie stellt sich aufgrund der Beanspruchung des Werkstoffs von selbst ein und kann auch zu einer Verschlechterung des Dämpfungsverhaltens führen.
In einem anderen Beispiel ist ein Quetschöldämpfer in seiner Wirkungsweise abhängig von der Viskosität des Öls sowie vom Öldruck [12]. Diese Parameter verursachen die entsprechenden Steifigkeits- und Dämpfungseigenschaften des Dämpfers und somit auch seine schwingungsdämpfende Wirkung. Man kann die
Dämpfungseigenschaf-2.2 Mechatronische Systeme für die aktive Schwingungsisolation 6
ten auch beeinflussen, indem man den z.B. den Öldruck durch die Variation der Spaltdicke ändert. Werden neue Dämpfungseigenschaften erforderlich, weil sich z.B. durch Alterung und Verschleiß die Eigenschaften des Systems ändern oder erfolgt der Betrieb in einem breiten Frequenzbereich, so wird der Quetschöldämpfer seine Eigenschaften nicht von selbst ändern denn wegen einer fehlenden Sensorik wird diese neue Betriebssituation nicht erfasst und die neuen benötigten Systemeigenschaften können sich aufgrund einer fehlenden Aktorik nicht einstellen.
Einen Zwitter von aktiven und passiven Systemen bilden sogenannte „semi-aktive“ Systeme, bei denen passive Systeme in ihrer Wirkungsweise aktiv unterstützt werden. Hierzu liegen z.B. Untersuchungen von El-Shafei [8] vor. Er untersuchte die Beeinflus-sung des Öldrucks im Quetschöldämpfer mithilfe einer Aktorik, welche die Position eines speziellen Dichtrings in der Lagerung regeln kann.
Es gibt aber auch aktive Lager, wie z.B. Magnetlager, welche über eine Regelung ihre Steifigkeits- und Dämpfungseigenschaften ändern können [49],[16],[12]. Sie ermöglichen somit eine stets optimale, schwingungsreduzierende und stabilisierende Wirkung. Aktive Systeme dienen jedoch nicht nur der schwingungsreduzierenden Beeinflussung von Maschinensystemen, sondern sie können auch anderweitige Aufgaben übernehmen, wie z.B. die Überwachung von Maschinen.
Der Begriff „Aktor“ stammt aus dem Englischen und bedeutet ursprünglich „Antrieb“, aber er beschreibt mittlerweile alle Elemente, die Kräfte, Momente oder Bewegungen ausgeben [38]. Ein Aktor besteht immer aus einem Energiesteller, der dem Aktor Hilfsenergie zuführt und aus einem Energiewandler, der entsprechend dem Wirkprinzip des Aktors die vom Energiesteller zur Verfügung gestellte Energieform in die vom Aktor abgegebene Energieform umwandelt. Eine Übersicht über mögliche Energie-wandlungsprinzipien bei Aktoren mit einigen Anwendungsbeispielen gibt Abbildung 2.1 wieder.
2.3 Piezoelektrische Aktoren 7
Demnach beruhen bei klassischen Aktoren die Wirkprinzipien v.a. auf der Wandlung von elektrischer, thermischer, chemischer oder Strömungsenergie. Die in dieser Arbeit verwendeten piezoelektrischen Aktoren sind hierbei noch nicht vertreten. Diese Art der Aktoren zählt zu den sogenannten „neuartigen“ Aktoren, welche erst in den letzten Jahren ausgiebiger untersucht wurden. Sie werden v.a. im Bereich kleiner Leistungen eingesetzt und erzeugen in erster Linie lineare Bewegungen [38]. Roddeck [38] zählt zu diesen Aktoren auch die piezoelektrischen Aktoren. Isermann [19] nimmt eine da-von abweichende Unterteilung der Aktortypen vor und zählt die Piezo-Aktoren zu den „unkonventionellen“ Aktoren, welche auf speziellen Werkstoffeigenschaften und Ferti-gungstechnologien beruhen und zusätzlich auch rotatorische Bewegungen und Kräfte erzeugen. Er zählt zu den unkonventionellen Aktoren auch jene, die in [38] zu den klassischen Aktoren gezählt wurden unter Wandlung der chemischen Energie und ther-mischen Energie. Dies zeigt bereits deutlich, was für eine Vielzahl an Einteilungsmög-lichkeiten es für Aktoren gibt. Neben piezoelektrischen Aktoren nutzen auch magne-tostriktive und elektroviskose Aktoren Molekularkräfte und als Hilfsenergie elektrische Energie für die Erzeugung von Stellkräften, siehe Abb.2.2 zu den unkonventionellen, neuartigen Aktoren [19]:
Abbildung 2.2: Unterteilung unkonventionelle, neuartige Aktoren, nach [19]
Auf die Eigenschaften und Auslegung der piezoelektrischen Aktoren wird nun näher eingegangen.
2.3 Piezoelektrische Aktoren
Der piezoelektrische Effekt wurde erstmals 1880 von den Brüdern Curie beobachtet. Ihnen fiel auf, dass bei einer äußeren Krafteinwirkung und damit einhergehender Ver-formung kristalliner Stoffe an diesen eine elektrische Spannung gemessen werden konn-te. Einige Zeit später wurde auch der inverse piezoelektrische Effekt nachgewiesen: legt man an einen Körper aus piezoelektrischem Material eine elektrische Spannung an, so verformt er sich. Die Ursache für dieses Materialverhalten liegt in den Eigenschaften der Elementarzellen des Kristallgefüges. So besitzen diese kein Symmetriezentrum und nur eine geringe elektrische Leitfähigkeit [38]. Bei einer Deformation der Elementarzel-le verschieben sich die positiven und negativen Ladungsschwerpunkte Q+ und Q− - in
2.3 Piezoelektrische Aktoren 8
Abb. 2.3 sind diese durch ein Kreuz (x) gekennzeichnet - und es bilden sich Dipole aus. Auch benachbarte Elementarzellen orientieren sich in der gleichen Richtung und bilden sogenannte Domänen aus. An der Oberfläche des Piezos sammeln sich Ladungen, die als elektrische Spannung abgegriffen werden können (siehe Abb. 2.3).
Abbildung 2.3: Elementarzelle (links unbelastet; rechts belastet), nach [29]
Während der direkte piezoelektrische Effekt für Sensoren genutzt werden kann, wird der inverse piezoelektrische Effekt bei Aktoren genutzt.
Da in natürlichen Kristallen, wie z.B. Quarz, Turmalin oder Seignette-Salz der piezoelektrische Effekt nur geringfügig in Erscheinung tritt wurden mittlerweile polykristalline ferroelektrische Keramiken wie z.B. Barium-Titanat (BaT i03) oder
Blei-Zirkonat-Titanat für die technische Anwendung des Piezoeffekts entwickelt. Es gibt zahlreiche Bauarten von Piezokeramiken welche sich zum einen in der Höhe der Betriebsspannung voneinander unterscheiden; zum anderen kann man aber auch eine Unterteilung nach der Bauform vornehmen [29]. Bei der zuerst genannten Klassifizierung können sogenannten Hochvolt- und Niedervoltaktoren unterschieden werden. Hochvoltaktoren werden mit einer Betriebsspannung bis zu 1500V betrieben und liefern hohe Kräfte bei guter Dynamik. Die Keramikschichtdicken liegen bei 0, 5...1mm. Dagegen haben Niedervoltaktoren üblicherweise eine Keramikschichtdicke von ca. 100µm; werden dann jedoch übereinander gestapelt und zu mehreren mm hohen Blöcken gesintert. Zu diesem Typ von Piezoaktoren gehören auch Multilayer-Aktoren. Die Betriebsspannung liegt hierbei unter 150V [29].
Mittlerweile sind im Handel zahlreiche Bauformen von Piezoaktoren erhältlich und es würde den Rahmen der vorliegenden Arbeit sprengen, auf alle näher einzuge-hen. Daher sollen an dieser Stelle lediglich auf die für die aktive Schwingungsdämpfung oder -isolation am häufigsten verwendeten Bauteile eingegangen werden:
· Stapelaktoren (Translatoren) · Streifenaktoren (Laminaraktoren) · Biegeaktoren
2.3 Piezoelektrische Aktoren 9
Abbildung 2.4: Auswahl von Piezoaktorbauarten (Bezeichnung von links nach rechts): Stapel - Streifen (parallel) - Bieger, nach [19]
Bei Stapelaktoren handelt sich um Keramikscheiben, welche elektrisch parallel und mechanisch in Reihe geschaltet werden, wodurch an allen Scheiben die selbe elektrische Spannung U anliegt und sie von allen Bauformen die höchste Steifigkeit aufweisen. Sie ermöglichen eine Translationsbewegung in Wirkrichtung der angelegten Aktorspannung (in „3-Richtung“). Durch die mechanische Reihenschaltung addieren sich die Hübe der n einzelnen Keramikscheiben und es ergibt sich für den Gesamthub ∆h eines Stapel-aktors:
∆h = d33· n · U3 (2.1)
Der Faktor d33beschreibt hierbei die piezoelektrische Ladungskonstante - einem
Werk-stoffkennwert, der die erzeugte Dehnung pro Einheit angelegtem elektrischen Feld an-gibt. Stapelaktoren sind am weitesten verbreitet und können von allen Aktorbauarten die größten Kräfte erzeugen: die Angaben reichen bei Druckkräften bis zu −100kN [38],[34]und Stellwege bis zu 500µm [34], welche mit ihnen realisiert werden können. Die sogenannten Streifenaktoren arbeiten mit dem 31-Effekt, welcher die Querkontrak-tion beschreibt. Hierbei hängt der maximale Stellweg von der Länge l1 des Aktors in die
„1-Richtung“ (Wirkrichtung) ab, weshalb wesentlich größere Stellwege erreicht werden bei geringerer elektrischer Spannung [35]:
∆l = d31· U3·
l1
t3
(2.2) Die Größe t3 beschreibt die Dicke einer Keramiklage. Die hierbei erzeugten Kräfte sind
jedoch wesentlich geringer als bei Aktoren in Stapelbauweise. Dieser Effekt wird auch bei einlaminierten Streifen, bei Platten und dünnwandigen Rohren genutzt. Bei Biege-wandlern befindet sich der piezoelektrische Keramikstreifen auf einem Metallstreifen. Wird der Piezo elektrisch angesteuert, dann kontrahiert oder expandiert dieser, während sich der Metallstreifen durch die Übertragung dieser Bewegung verbiegt [35]. Auch hier können Stellwege bis in den Millimeterbereich erzeugt werden, aber nur geringe Kräfte [29].
Eine Übersicht über die mit ausgewählten Bauformen erreichbaren Wege, Stell-kräfte und Stellspannungen zeigt nachfolgende Tabelle mit Angaben eines Herstellers:
2.3 Piezoelektrische Aktoren 10
Bauform Stapel längsförmig biegeförmig (seriell) (parallel)
Weg [µm] . . . + 500 . . . + 50 . . . + 1000 Stellkraft [N ] −100.000 . . . + 3500 . . . + 775 . . . ± 2 Stellspannung [V ] . . . + 775 −250 . . . + 1000 ±30 (0 . . . + 60)
Tabelle 2.1: Eigenschaften verschiedener Piezo-Bauformen, nach [19], [34]
Das lineare piezoelektrische Materialverhalten wird durch in der IEEE-Standardnorm [18] definierte Gleichungen beschrieben. Die in dieser Arbeit benötigte Aktorgleichung für Piezoaktoren lautet: S11 S22 S33 2S23 2S13 2S12 | {z } S = s11 s12 s13 0 0 0 s12 s22 s23 0 0 0 s13 s23 s33 0 0 0 0 0 0 s44 0 0 0 0 0 0 s55 0 0 0 0 0 0 s66 | {z } sE T11 T22 T33 T23 T13 T12 | {z } T + 0 0 d31 0 0 d32 0 0 d33 0 d24 0 d15 0 0 0 0 0 | {z } d’ E1 E2 E3 | {z } E (2.3)
Hierbei bedeutet d0 = dT, also die Transponierte der Matrix d - welches jedoch nicht zu Verwechseln ist mit d bei konstanter Spannung T (äquivalent zur nachfolgenden Gleichung z.B. εT). Die Sensorgleichung wird im Rahmen dieser Arbeit nicht benötigt,
aber dennoch der Vollständigkeit halber nachfolgend angegeben:
D1 D2 D3 | {z } D = 0 0 0 0 d15 0 0 0 0 d24 0 0 d31 d32 d33 0 0 0 | {z } d T11 T22 T33 T23 T13 T12 | {z } T + ε11 0 0 0 ε22 0 0 0 ε33 | {z } εT E1 E2 E3 | {z } E (2.4)
In beiden Gleichungen sind die elektrische Feldstärke E und die mechanische Span-nung T die unabhängigen Variablen. Weiterhin beschreiben s die elastische Nachgie-bigkeit, D die elektrische Verschiebungsdichte, d die bereits beschriebene piezoelektri-sche Ladungskonstante und ε die Permittivität. Bei den verwendeten Formelzeichen muss berücksichtigt werden, dass anstelle des häufig verwendeten σ für die mechani-sche Spannung in der Norm das Formelzeichen T verwendet wird. Die mechanimechani-sche Dehnung wird nun mit S anstelle von ε beschrieben. Ein hochgestellter Index deutet an, dass die Größe im Index konstant ist. Für die tief gestellten Indizes gilt: der erste Eintrag im Index in den Formelzeichen kennzeichnet stets die Anregungsrichtung und der zweite Eintrag im Index die Wirkrichtung [5]. Entsprechend der DIN 50324-1 sind diese Richtungen folgendermaßen definiert:
2.3 Piezoelektrische Aktoren 11
Abbildung 2.5: Bezeichnung der Achsen
Eine Scherdeformation um eine der drei Achsen wird entsprechend der Abb.2.5 mit dem Index 4 (oder 23 bzw. 32) , 5 (oder 31 bzw. 13) oder 6 (oder 12 bzw. 21) versehen. Die Orientierung der Polungsachse bestimmt die Richtung der Auslenkung oder der mechanischen Deformation.
Die Gleichungen (2.3) und (2.4) beschreiben das lineare Verhalten piezoelektrischer Werkstoffe. Dieses liegt im sogenannten Kleinsignalbereich bei kleinen Spannungs-amplituden (Feldstärken < ±20V /mm) vor. Im Großsignalbereich (ab Feldstärken > ±500V /mm) kann neben der Ausdehnung in Feldrichtung auch eine Kontraktion quer dazu auftreten und das piezoelektrische Material verhält sich nichtlinear. Das nichtlineare Verhalten ist sehr gut in der sogenannten Schmetterlingskurve sichtbar:
Abbildung 2.6: Mechanische Dehnung in Abhängigkeit von elektrischer Feldstärke (Schmetterlingshysterese), nach [22]
2.3 Piezoelektrische Aktoren 12
In dieser Kurve ist die relative Dehnung S des Piezos in Abhängigkeit der elektrischen Feldstärke E abgetragen. Charakteristisch ist hierbei, dass bei einer bestimmten elek-trischen Feldstärke, welche nicht überschritten werden darf, eine maximale Dehnung Smax erreicht wird. In diesem Zustand sind alle Domänen im Piezo in Richtung des
äußeren Feldes ausgerichtet [44],[34]. Bei Umkehrung der elektrischen Feldstärke bleibt eine Sättigungsdehnung Ssat des Piezos vorhanden, sobald die elektrische Feldstärke
verschwindet. Der Bereich der weiterhin abnehmenden Dehnung bei entgegengesetzt angelegtem elektrischen Feld ist gekennzeichnet durch die sogenannte Koerzitivfeld-stärke Ec, bei welcher die Polarisation P verschwindet (siehe Abb.2.6).
Nichtlinearität äußert sich auch in der ferroelektrischen (piezoelektrischen) Hysterese:
Abbildung 2.7: Polarisation in Abhängigkeit von elektrischer Feldstärke (Piezoelektri-sche Hysterese), nach [22]
In dieser Hysteresekurve ist die Polarisation P über der elektrischen Feldstärke E abgetragen. Am Schnittpunkt der Hysteresekurve mit der Achse der elektrischen Feldstärke lässt sich die Koerzitivfeldstärke Ec ablesen. Die Sättigungspolarisation
Psat lässt bei der elektrischen Feldstärke von 0kV /mm ablesen.
Wird die zulässige elektrische Feldstärke von E = 2kV /mm überschritten, kann es zur Depolarisation kommen und der piezoelektrische Effekt verschwindet. Dies kann auch dann geschehen, wenn eine charakteristische Temperatur, die sogenannte „Curie-Temperatur“ überschritten wird, weil dann keine Dipole mehr vorhanden sind [34]. In nachfolgender Tabelle sind für einige ausgewählte Piezokeramiken eines Herstellers die Curie-Temperatur TC angegeben:
Typ PIC. . . 151 255 155 153 152 181 141 241 300 110 TC [◦C] 250 350 345 185 340 330 295 270 370 150
2.3 Piezoelektrische Aktoren 13
Weiterhin muss beachtet werden, dass es sich bei den industriell gefertigten Kerami-ken um spröde Werkstoffe handelt, welche zwar Druckkräfte bis 50M P a ertragen, jedoch nur 5 . . . 10% der maximalen Druckkraft als Zugbelastung [34]. Daher müssen piezeolektrische Bauteile oftmals vorgespannt werden, wenn höhere Zugkräfte wirken. Desweiteren sind piezoelektrische Keramiken empfindlich gegen Scherkräfte, so dass diese vermieden [34] oder durch Kugelkopfstücke oder Parallelführungen der Einspan-nung entkoppelt werden müssen [29].
Bezüglich des Frequenzbereichs, in welchem Piezoaktoren eingesetzt werden kön-nen, kann keine konkrete Angabe gemacht werden. Ein Piezo-Hersteller [34] gibt dazu an, dass der Piezoaktor seine nominelle Auslenkung bei ca 1/3 der Periode der Resonanzfrequenz erreicht. Die Resonanzfrequenz ist jedoch bei jedem Aktor unterschiedlich entsprechend seiner Masse und Steifigkeit. Grundsätzlich sind jedoch Piezoaktoren für einen Betrieb bis in den hochfrequenten Bereich geeignet [34]. Eine Mindestfrequenz von 1-2Hz muss laut Herstellerangaben im dynamischen Betrieb gewährleistet sein, damit dass es nicht zur dauerhaften Entladung kommt.
Insbesondere die vielfältigen Bauformen und die damit gekoppelten Möglich-keiten zur Stellgrößenerzeugung machen Piezoaktoren interessant für die aktive Schwingungsisolation von Gehäusen und Stützstrukturen. Somit ist sicher gestellt, dass Piezos in die unterschiedlichsten Konstruktionsausführungen integriert werden können. Die Versorgung der Piezoaktoren mit elektrischer Leistung ist zwar aufwendig, aber vergleichsweise mit der Leistungsversorgung anderer Aktorarten relativ gut zu realisieren. Dennoch müssen auch die in diesem Kapitel genannten Randbedingungen für den Betrieb der Piezoaktoren berücksichtigt werden, damit keine Depolarisation auftritt.
3 Modellbildung
Zunächst wird das zu untersuchende System beschrieben. Im Anschluss daran erfolgt eine Erläuterung zur Vorgehensweise beim Aufbau des Simulationsmodells und die Her-leitung der dafür notwendigen Gleichungen. Zum besseren Verständnis wird dabei zu-nächst auf das einfache System des Ein-Massen-Schwingers zurückgegriffen und die Gleichungen anschließend entsprechend dem untersuchten System Schritt für Schritt erweitert. Eine wichtige Rolle spielen dabei notwendige Reduktionsverfahren, auf die ebenfalls eingegangen wird. Simulationsergebnisse für das System ohne Regelung wer-den vorgestellt. Auf das geregelte System wird erst im nächsten Kapitel eingegangen.
3.1 Aufbau des untersuchten Systems
Bei dem untersuchten System handelt es sich um einen 3-Scheiben-Rotor, welcher auf einer Seite in einem starren Fundament und am anderen Wellenende in einer vergleichsweise nachgiebigen, aber dennoch steifen Gehäusestruktur gelagert ist. Die Gehäusestruktur besteht aus drei in einer Ringstruktur eingeschraubten dünnen, quaderförmigen Streben, auf welche an den beiden breiten Seiten Piezoplättchen aufgeklebt sind. Diese können mithilfe eines Verstärkers elektrisch angesteuert werden und durch Ausnutzung des piezoelektrischen 31-Effekts und der damit verbundenen Ausdehnung der Piezos kann in die schwingende Gehäusestruktur eine Kraft ein-geleitet werden. Zielsetzung ist, dass die Gehäuseaufhängung aktiv von dem durch Unwuchten zu Schwingungen erregten Rotor und dem Gehäuse isoliert wird bzw. dass zumindest die Schwingungen in der Aufhängung reduziert werden. Zu diesem Zweck wird mithilfe einer Echtzeitregelung ein Stellsignal für die sechs Piezos aus den in horizontaler und vertikaler Richtung gemessenen Schwingwegen an einer der beiden Gehäuseaufhängungen generiert. Gleichzeitig soll anhand dieser Messsignale beurteilt werden, ob die aktive Isolation erfolgreich war.
Die Abbildungen auf der nächsten Seite zeigen den gesamten Rotor mit dem Gehäuse in der Seitenansicht sowie das nachgiebige Gehäuse mit den Piezoplättchen in der Draufsicht.
Das verwendete Simulationsmodell wurde entsprechend dieser Skizze aufgebaut, d.h. die Antriebsaggregate wurden nicht extra simuliert. Nachfolgend verwendete Be-zeichnungen für die Streben beziehen sich auf die Definition gemäß Abb.3.2. In dieser Abbildung sind auch die Sensorpositionen grün markiert, während der Messpunkt für das Wegsignal in horizontaler Richtung am Rotor in Abb. 3.1 markiert ist.
3.1 Aufbau des untersuchten Systems 15
Abbildung 3.1: Skizze des Gesamtsystems
3.2 Aufbau des Simulationsmodells 16
Bezeichnung Wert
Wellenlänge lw 1088mm
Wellendurchmesser dw 25mm
Durchmesser große Scheibe dsg 158mm
Durchmesser kleine Scheibe dsk 115mm
Scheibendicke b 30mm
Außendurchmesser des Innenrings Di 110mm
Außendurchmesser des Außenrings Da 380mm
Breite des Innenrings bi 29mm
Breite des Außenrings ba 20mm
Breite der Streben bs 2mm
Tiefe des Innenrings ti 32mm
Tiefe des Außenrings ta 30mm
Tiefe der Streben ts 25mm
Länge des Piezoplättchens lp 50mm
Breite des Piezoplättchens bp 1mm
Tiefe des Piezoplättchens tp 25mm
Montageabstand des Piezos ap 48.75mm
Tiefe der Aufhängung tga 30mm
Länge der Aufhängung hga 251mm
Tabelle 3.1: Abmessungen des Systems
3.2 Aufbau des Simulationsmodells
Mithilfe des Simulationsmodells soll untersucht werden, ob die durch einen unwuch-tigen Rotor induzierten Schwingungen in der Gehäuseaufhängung bei stationärem Betrieb in der ersten Biegeeigenfrequenz durch das Dazuschalten von Piezoaktoren reduziert werden können. Da bei diesem Betriebsfall die Schwingungsamplituden sehr groß sind, stellt diese Betrachtung eigentlich einen Grenzfall im Betrieb („Worst-case“) dar, der in Realität so eher nicht auftreten wird. Es wird jedoch argumentiert, dass bei erfolgreicher Schwingungsreduktion daraus geschlossen werden kann, dass auch bei einem Durchfahren der Eigenfrequenz und bereits bei geringeren Frequenzen wirksa-mer Aktorik die aktive Isolation noch bessere Resultate liefern müsste, da in dem Fall die Schwingungsamplituden nicht so groß sind wie im untersuchten Fall. Es sei dar-auf hingeweisen, dass lediglich die Anregung durch Biegeschwingungen betrachtet wird. Für die Simulation eines dem Prüfstand ähnlichen Systems ist es wichtig, dass die Gehäusestruktur relativ genau abgebildet wird, damit die Systemeigenschaften des Simulationsmodells korrekt abgebildet werden und das Verhalten des Simulations-modells und des dementsprechenden Prüfstands gut übereinstimmt. Deshalb wurde zunächst ein Modell des Rotors mit den Piezos im kommerziellen FEM-Programm ANSYS erstellt. Für die Einbindung der Regelung ist die Verwendung eines anderen geeigneten Programms - in diesem Fall MATLAB/SIMULINK - notwendig, da eine direkte Implementierung insbesondere von komplexen Mehrgrößenreglern in
3.2 Aufbau des Simulationsmodells 17
ANSYS nicht möglich ist. Dazu werden die in ANSYS für die Berechnung erstellten Systemmatrizen (Masse- und Steifigkeitsmatrix) in MATLAB eingelesen und in die für die Reglerimplementierung benötigte Darstellung im Zustandsraum transformiert. Die Reglersynthese wird in MATLAB durchgeführt und die Ergebnisse der Regelung können dann in MATLAB (für den Frequenzbereich) und SIMULINK (für den Zeitbereich) betrachtet werden.
Die Geometrie und Werkstoffe des Modells in ANSYS wurden parametrisch mithilfe der Programmiersprache APDL (ANSYS Parametric Design Language) beschrieben, um so eine bessere Möglichkeit zur Untersuchung einzelner Varianten zu schaffen und zudem - falls notwendig - das Simulationsmodell bei Diskrepanzen mit den Messwerten gezielt anpassen zu können („Modell-Updating“). So ist es z.B. möglich, die Abmessungen und Werkstoffeigenschaften der Piezos oder anderer Bauteile nach Bedarf zu ändern oder der Einfluss unterschiedlicher Strebendicken kann untersucht werden.
Für die Elementierung des Rotors wurden Balkenelemente verwendet, während das Strebengehäuse durch Solid-Elemente (Volumenelemente) beschrieben wird. Die Pie-zoaktoren werden ebenfalls durch Solid-Elemente abgebildet, die jedoch als spezielle Koppelfeldelemente mithilfe der konstitutiven Gleichungen für piezoelektrische Bau-teile (Gl (2.3) und (2.4)) die mechanischen und elektrischen Freiheitgrade miteinander verknüpfen. Es wird also von einem linearen Verhalten der Piezoaktoren ausgegangen, da die später im Prüfstand angelegte Verstärkerleistung eine Versorgung der Piezos mit max. ±550V ermöglicht, was nur sehr knapp über der elektrischen Grenzspannung (500V) für lineares Werkstoffverhalten liegt. Es werden Piezoscheiben des Typs PIC255 verwendet, während der Rotor und das Gehäuse sowie dessen Aufhängung aus Stahl gefertigt wurden. Die Lagerungen werden über Contact- und Target-Elemente sowie einer Steifigkeitsmatrix abgebildet:
Abbildung 3.3: Schematische Modellierung der Lagerung im ANSYS-Modell
Es werden dabei lediglich die statischen Steifigkeiten entsprechend der Angaben des Herstellers der Lager aus dem Prüfstand verwendet. Der Lagerbock wird als starr an-genommen und dies anhand der Randbedingungen realisiert.
Die Vernetzung erfolgte in einem aufwändigen Prozess halbautomatisch, da einige Kno-ten neben der Lastaufbringung auch für die Definition in der Zustandsraumdarstellung eine wichtige Rolle spielen, wie z.B. die Sensorpositionen, und somit an bestimmten
3.2 Aufbau des Simulationsmodells 18
Positionen im Geometriemodell Knoten vorhanden sein müssen, ohne gleichzeitig die Qualität des Netzes zu verschlechtern. Durch die parametrische Beschreibung der Geo-metrie muss auch das Netz parametrisch definiert sein, damit es sich bei einer Änderung der Geometrie entsprechend anpasst. Die Notwendigkeit eines sich automatisch anpas-sendenden Netzes bei Geometrieänderungen ist auch die Ursache für die aufwendige parametrische Beschreibung gegenüber einer Änderung von Modelleigenschaften über die Benutzeroberfläche in ANSYS.
Anschließend wird das FEM-Modell mittels der CMS (Component Mode Synthesis) über eine modale Synthese mit Substrukturen, deren Koppelstellen gefesselt sind, auf Basis des Verfahrens von Craig-Bampton reduziert, um die Größe der in MATLAB/ SIMULINK einzulesenden Systemmatrizen gering zu halten und somit die Rechenzeit zu verringern. Die Reduktion wird über eine modale und eine statische Kondensati-on sowie nachfolgender modaler Synthese durchgeführt. Es wurden die Gehäuseknoten sowie die Knoten der Gehäuseaufhängung reduziert. Nicht reduziert wurden die Kno-ten der Messpunkte der Sensoren an der Gehäuseaufhängung, des Rotors, der Piezos und die entsprechenden Knoten, die der Verbindung zwischen reduziertem und nicht-reduziertem Modell dienen (Masterknoten). Die nachfolgende Abbildung visualisiert das reduzierte gegenüber dem vollständigen Simulationsmodell.
(a) Basis-FE-Simulationsmodell (rot: Piezos) (b) Reduziertes FE-Simulationsmodell (durch-sichtige Bauteile entsprechen den reduzierten Strukturen
Abbildung 3.4: FE-Simulationsmodelle
Bei dem reduzierten Modell (Abb. 3.4(b)) sind jene Bauteile mit den reduzier-ten Knoreduzier-ten nur schemenhaft dargestellt. Mit dieser Reduktionsmethode konnte die Knotenanzahl des vollständigen Modells von 11.629 auf 1.411 Knoten reduziert werden. Als nächstes muss das Zustandsraummodell - auf welches später noch genauer eingegangen wird - des zu regelnden Systems aufgebaut werden. Da die Überführung der Dynamikgleichungen in den Zustandsraum auf analytischem Wege durchgeführt wurde, werden im folgenden Kapitel die im Simulationsprogramm implementierten Transformationsvorschriften hergeleitet. Liegt das System in der Zustandsraumdar-stellung vor, erfolgt die zweite Modellreduktion - die sogenannte „modale Reduktion“. Bei dieser Reduktion wird festgelegt, welche Eigenfrequenzen bei der Regelung entsprechend dem Regelziel berücksichtigt werden sollen. Sie setzt voraus, dass das
3.2 Aufbau des Simulationsmodells 19
System in modalen Koordinaten vorliegt. Die Reduktion wird durchgeführt, indem die zu den vernachlässigenden Eigenfrequenzen gehörenden modalen Zustände und deren entsprechende Einträge in den Systemmatrizen einfach herausgestrichen bzw. „abgeschnitten“ werden [30]. Diese Reduktion ist notwendig, weil es quasi unmöglich ist, einen Regler zu synthetisieren, welcher die Amplituden in allen Eigenfrequenzen des Systems reduziert. Nur durch die modale Reduktion können technisch realisierbare Regler entwickelt werden, welche gezielt das Verhalten der Struktur in bestimmten Eigenfrequenzen beeinflussen. Die modale Reduktion setzt allerdings auch voraus, dass eine Durchgangsmatrix D definiert wird, da nur durch diese Matrix der statische Anteil der höheren (abgeschnittenen) Moden auch im tieffrequenten Bereich erhalten bleibt [17]. Eine weitere Problematik durch die Reduktion stellt das sogenannte „Spillover“ dar, also die durch Vernachlässigung höherer Moden verursachte Instabilität des Systems [36]. Um diese zu vermeiden, müssen spezielle Eigenschaften vom Regelkreis erfüllt werden, welche in Kapitel 4 näher beschrieben werden.
Für eine eindeutige Beschreibung des Systems in der Zustandsraumdarstellung, welche auch die Überführung in andere regelungstechnische Darstellungsformen der Übertragungsfunktion ermöglicht, ohne künstlich neue Eigenwerte einzuführen, werden die Gleichungen abschließend in die Minimalrealisierung überführt. Auf diese wird im folgenden Kapitel zur Regelung noch ausführlicher eingegangen.
In der nachfolgenden Abbildung sind nochmals alle Schritte zum Erstellen des Simulationsmodells ohne Regelung schematisch darsgestellt:
Abbildung 3.5: Ablauf der Simulation
Es sei an dieser Stelle darauf hingewiesen, dass der in der mechatronischen Fachliteratur häufig verwendete Begriff „Koordinaten“ gleichzusetzen ist mit dem in der Mechanik
3.3 Systemeigenschaften 20
geläufigerem Begriff „Freiheitsgrad“.
3.3 Systemeigenschaften
Vor der Herleitung der Zustandsraumgleichungen soll zunächst Schritt für Schritt die dafür benötigte Dynamikgleichung hergeleitet werden und in diesem Zusammenhang auf die Systemeigenschaften des Simulationsmodells eingegangen werden.
3.3.1 Einführendes Beispiel: Unwuchterregter
Ein-Massen-Schwinger
Zunächst wird als einfaches Beispiel ein unwuchterregter Ein-Massen-Schwinger mit Dämpfung betrachtet, der vereinfacht folgendermaßen dargestellt werden kann:
Abbildung 3.6: Unwuchterregter Einmassenschwinger
Die Bewegung der Masse m wird im komplexen Koordinatensystem durch die Dyna-mikgleichung
m¨q(t) + d ˙q(t) + kq(t) = fU(t) (3.1)
mit der Unwuchtkraft
fU(t) = mεΩ2ei(Ωt+β) (3.2)
beschrieben. Für die Lösung der homogenen Differentialgleichung
m¨q(t) + d ˙q(t) + kq(t) = 0 (3.3) wird ein Exponentialansatz gewählt:
qh(t) = ˆqheλt. (3.4)
cha-3.3 Systemeigenschaften 21
rakteristische Gleichung
λ2+ 2Dω0λ + ω20 = 0 (3.5)
mit den Abkürzungen ω0 =
p
k/m . . . Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems (3.6)
und
D = d 2ω0m
. . . Dämpfungsgrad, Lehr’sches Dämpfungsmaß. (3.7)
Die Lösung des Eigenwertproblems liefert die konjugiert komplexen Eigenwerte λk, welche bei schwacher Dämpfung (0<D<1) die Form
λ1,2 = −Dω0± i · ω0
√
1 − D2 = α ± i · ω
d (3.8)
mit den Abkürzungen
α = −Dω0 (3.9)
und
ωd= ω0
√
1 − D2 (3.10)
ergeben. Dabei beschreibt ωd die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems.
Die Eigenkreisfrequenz gibt u.a. Auskunft darüber, ob sich ein System bei Anregung in eben dieser Eigenkreisfrequenz stabil oder instabil verhält, also Schwingungen zu-sätzlich angefacht werden. Es fällt auf, dass die Systemeigenschaften Masse, Steifigkeit und Dämpfung die Eigenkreisfrequenz des Systems entscheidend beeinflussen.
So wird z.B. Dämpfung oft bewusst eingesetzt um entstehende Schwingungsam-plituden eines Systems bei Anregung in der Eigenfrequenz zu reduzieren. Dämpfung kann aber auch anfachend wirken und somit das System instabil werden lassen, also zu unbegrenzt anwachsenden Amplituden führen, siehe nachfolgende Abbildung Abb. 3.7 nach [30],[12], welche die möglichen Eigenwerte (dargestellt als Kreuz x in der Abbildung) in Abhängigkeit von der Dämpfung in der komplexen Ebene zeigt.
Ein ähnliches Diagramm (nachfolgende Seite; Abb. 3.8) lässt sich auch für die Variation der Steifigkeit bei gleich bleibender Dämpfung erstellen [30],[12], wobei auf dieses erst zu einem späteres Zeitpunkt wieder eingegangen werden soll.
3.3 Systemeigenschaften 22
Abbildung 3.7: Abhängigkeit der Eigenwerte vom Dämpfungsgrad bei konstanter Stei-figkeit k, nach [30];[12]
Abbildung 3.8: Abhängigkeit der Eigenwerte von der Steifigkeit bei vernachlässigter Dämpfung, nach [30];[12]
3.3 Systemeigenschaften 23
Wird eine Regelung verwendet, so muss diese nicht nur dafür sorgen, dass das System stabilisiert wird - gleichzeitig darf der Regler ein stabiles System nicht instabil werden lassen [41]. Zur Überprüfung der Stabilität betrachtet man daher in der Regelungs-technik die Eigenwerte in der komplexen Ebene. Da stets ein stabiles Systemverhalten anzustreben ist, müssen sich die Eigenwerte also entsprechend der Abbildungen 3.7 und 3.8 immer in der linken Halbebene befinden oder es müssen Maßnahmen ergriffen werden, um die Eigenwerte in die linke Halbebene zu verschieben. Dazu müssen im Fall von passiven Maßnahmen die entsprechenden Systemeigenschaften z.B. durch Umbaumaßnahmen oder Änderung des Werkstoffs beeinflusst werden. Im Fall von ak-tiven Maßnahmen übernimmt dies eine geeignete Regelung (siehe dazu auch Kapitel 4). Für die partikuläre Lösung der Bewegungsgleichung bei Unwuchtanregung wird zunächst ein Ansatz vom Typ der rechten Seite gewählt:
qp(t) = ˆqpei(Ωt+β). (3.11)
Einsetzen in die Bewegungsgleichung Gl. (3.1) liefert
−Ω2+ 2Dω0iΩ + ω02 ˆqp = εΩ2. (3.12)
Als Amplitude ergibt sich demnach die von der Exzentrizität ε und der Anregungsfre-quenz Ω abhängige Funktion
ˆ qp = εΩ2 −Ω2+ 2Dω 0iΩ + ω02 (3.13)
bzw., wenn man stattdessen die Übertragungsfunktion von Unwuchtkraft und Ant-wortamplitude definiert: ˆ qp εΩ2 = 1 −Ω2 + 2Dω 0iΩ + ω02 . (3.14)
Die zuerst genannte Übertragungsfunktion wird üblicherweise in der Mechanik verwen-det, die zweite in der Regelungstechnik, wo sie auch als „Störübertragungsfunktion“ bezeichnet wird, da sie den Einfluss der Störgröße auf die Regelgröße beschreibt. Es sei darauf hingewiesen, dass die angegebene Lösung für den stationären Betrieb gilt.
3.3.2 Unwuchterregter Mehr-Massen-Schwinger
Auf das in dieser Arbeit untersuchte System des Rotors mit dem nachgiebigen Gehäuse und den Piezos kann das Modell des unwuchterregten Ein-Massen-Schwingers nicht mehr angewendet werden. Die Dynamikgleichung muss um zusätzliche Freiheitsgrade ergänzt werden und lautet nun (aus Gründen der Übersichtlichkeit wird nachfolgend auf die Darstellung von der Zeitabhängigkeit verzichtet):
3.3 Systemeigenschaften 24
Diese Gleichung wird auch in ANSYS für das modellierte System aufgestellt und in einer Modalanalyse durch Lösen der homogenen Differentialgleichung mithilfe von An-satzfunktionen die Eigenfrequenzen und Eigenvektoren des Systems berechnet. Zur Verringerung des Rechenaufwands wird das FE-Modell - wie in Kapitel 3.2 bereits beschrieben - mithilfe der CMS-Methode reduziert. Es ergeben sich hierbei für das vollständige (nicht reduzierte) Basis-Modell und für das reduzierte Modell in ANSYS folgende Eigenfrequenzen:
Nr. Basis- reduziertes Betrag der Art der Modell [Hz] Modell [Hz] Abweichung [%] Eigenform 1 0.000 0.674·10−3 0.04 Starrkörperbewegung 2 20.805 20.812 0.034 1. Biegung Rotor 3 20.817 20.823 0.029 1. Biegung Rotor 4 75.200 75.295 0.126 2. Biegung Rotor 5 75.338 75.425 0.115 2. Biegung Rotor 6 119.650 121.130 1.222 1. Torsion Gehäuse 7 146.070 146.070 0.000 1. Torsion Rotor 8 167.690 170.540 1.671 1. Biegung Gehäuse 9 186.280 187.150 0.465 3. Biegung Rotor 10 188.630 189.160 0.280 3. Biegung Rotor
Tabelle 3.2: Systemeigenfrequenzen in ANSYS
Hierbei sind in fetter Schrift die für die Schwingungsreduktion interessierenden Biegeeigenfrequenzen des Rotors hervorgehoben.
Die 2. und 3. Systemeigenfrequenz stellen die erste Biegeeigenfrequenz in Horizontal-und Vertikalrichtung dar, die 4. Horizontal-und 5. Systemeigenfrequenz die zweite Biegeeigen-frequenz in den entsprechenden Richtungen und die 9. und 10. SystemeigenBiegeeigen-frequenz entspricht der dritten Horizontal- und Vertikalbiegeeigenfrequenz. Alle weiteren Eigenfrequenzen sind rotatorische bzw. axiale oder Gehäuseeigenfrequenzen, die jedoch nicht durch die Piezoaktoren beeinflusst werden sollen und deshalb nicht weiter betrachtet werden. Es handelt sich hierbei um die ungedämpften Eigenfrequenzen, denn im verwendeten FE-Modell wurde auf die Dämpfung zunächst verzichtet (siehe auch [30]). Diese wird jedoch später in der Zustandsraumdarstellung wieder eingeführt. Aus Tabelle 3.2 ist ersichtlich, dass die Zunahme der Eigenfrequenzen durch die Reduktion der Freiheitsgrade im FE-Modell nur marginal sind und dieses deshalb für die Simulation des Prüfstandsverhaltens und den Entwurf einer Regelung geeignet ist. Der nachfolgend abgebildete Amplituden-Frequenzgang ergibt sich aus der har-monischen Analyse in ANSYS: In diesem ist neben der Verschiebung des Knotens in der Wellenmitte (siehe Abb. 3.1) auch die elektrische Spannung in einem Piezoplätt-chen an der senkrechten Strebe („Strebe 1“) abgebildet. Sobald der Rotor in seiner Eigenfrequenz angeregt wird, werden die Schwingungen in das nachgiebige Gehäuse geleitet und durch die resultierende Verformung der Streben entsteht in den Piezos eine elektrische Spannung. Demzufolge sind im Bereich der Systemeigenfrequenzen
3.3 Systemeigenschaften 25
auch große elektrische Spannungen in dem betrachteten Piezoaktor zu erwarten.
Abbildung 3.9: Amplituden-Frequenzgang des Simulationsmodells
Auffällig ist in dem betrachteten Amplituden-Frequenzgang, dass bei ca. 75Hz die Verschiebungsamplituden trotz Anregung in der 2. Biegeeigenfrequenz im Wellen-mittelpunkt nicht weiter zunehmen. Die Ursache dafür liegt in der Tatsache, dass in der betrachteten Wellenmitte ein Knoten in der Eigenform vorliegt. Es lässt sich aber dennoch eine Zunahme der elektrischen Spannungen in dem betrachteten Piezo erkennen.
Weiterhin fällt auf, dass bei einer Frequenz von ca. 120Hz die Verschiebungen im Wellenmittelpunkt Null sind, während die elektrische Spannung im Piezoaktor ansteigt. Dies resultiert daraus, dass bei dieser Frequenz eine Gehäuseeigenfrequenz vorliegt, wodurch sich das Gehäuse bei einer Anregung in dieser Frequenz verformt und somit auch elektrische Spannungen in den Piezoplättchen entstehen. Der Rotor wird dadurch jedoch nicht weiter angeregt.
Durch Berücksichtigung der gyroskopischen Effekte werden die Eigenfrequenzen drehzahlabhängig, wie das Campbell-Diagramm des FE-Modells zeigt:
