6.3 Weitere Simulationsstudien
6.3.5 Variierende Aktorspannungen
6.3 Weitere Simulationsstudien 105
7 Zusammenfassung und Ausblick
In der vorliegenden Arbeit wurde die Realisierbarkeit einer aktiven Schwingungsiso-lation von filigranen Gehäusestützstrukturen mithilfe von Piezoplättchen untersucht.
Ziel ist dabei nicht die komplette Entkopplung der Gehäuseaufhängung vom schwin-gungserregten Gehäuse, sondern lediglich eine Reduktion der Schwingungen, so dass z.B. die Beanspruchung betroffener Bauteile in einem zulässigen Bereich liegen.
Für die Untersuchungen wurde ein unwuchtiger Drei-Scheiben-Rotor betrachtet, welcher einseitig in einer strebenförmigen Gehäusestruktur abgestützt wird. In dieser wurden jeweils zwei Piezoaktoren an jede Strebe geklebt und über eine Regelung mit einer elektrischen Spannung versorgt. Zur Beurteilung des Regelergebnisses werden in der Gehäuseaufhängung die Schwingwege in horizontaler und vertikaler Richtung gemessen.
Für die Reglersynthese wurde in ANSYS ein parametrisches FEM-Modell des untersuchten Systems aufgebaut und anschließend mithilfe einer Transformation der Systemmatrizen in MATLAB eine Zustandsraumdarstellung der Strecke definiert.
Ein Optimalregler und zwei robuste Regler - ein H∞-Regler und ein µRegler -wurden synthetisiert und das Verhalten des geschlossenen Regelkreises in SIMULINK miteinander verglichen. Die Simulation ergab eine Verringerung des Schwingwegs in der Gehäuseaufhängung um −21% in horizontaler Richtung und um −33% in vertikaler Richtung bei der Optimalregelung. Die robusten Regler zeigten dagegen nur einen vernachlässigbar geringen Einfluss auf das Schwingungsverhalten in der Gehäuseaufhängung.
Eine ähnliche Tendenz zeigten auch die Messergebnisse am Prüfstand, allerdings war dort mit der Optimalregelung eine Zunahme des Schwingwegs in vertikaler Richtung um +8,6% auffällig, während sich der Schwingweg in horizontaler Richtung immerhin um −8,3% reduzierte. Die robusten Regler zeigten auch in der Messung nur einen verschwindend kleinen Einfluss auf den Schwingweg in der Aufhängung, so dass generell gesagt werden kann, dass die Optimalregelung zu den besten Resultaten führt.
Sowohl in der Simulation als auch in der Messung fiel auf, dass große Aktor-spannungen, wie sie bei der Optimalregelung vorkommen, notwendig für einen signifikanten Einfluss auf das Schwingungsverhalten in der Aufhängung sind. Um weiteren Ursachen, die über Erfolg oder Misserfolg der Regelung entscheiden, auf den Grund gehen zu können und davon eine allgemeine Aussage für die aktive Schwingungsisolation ableiten zu können, wurde anhand des Simulationsmodells eine Parameterstudie durchgeführt. Dafür wurde wegen der guten Wirksamkeit stets
7 Zusammenfassung und Ausblick 107 der Optimalregler verwendet, während eine gezielte Änderung einzelner Parameter stattfand. So wurden folgende Einflüsse untersucht:
· Erhöhung der Unwuchtkraft
· Stellgrößenbeschränkung
· weicheres Piezomaterial (PIC151)
· weichere Streben (1mm)
· Variation der Stellspannung
Die Abweichungen der Schwingwege mit und ohne Regelung sind nachfolgend noch einmal in einer Übersicht zusammengefasst:
Abbildung 7.1: Vergleich Reduktion des Schwingwegs einzelner Paramtervariationen mit Optimalregelung
In der Parameterstudie ergab sich, dass die Störgröße in dem System für einen guten Erfolg bei der Isolation zum einen gut bekannt und zum anderen bereits so weit wie möglich reduziert sein sollte, da an die Piezoaktoren nur eine beschränkte Stellspan-nung angelegt werden kann. Es sollte deshalb auch bei der Reglersynthese darauf geachtet werden, dass der Regler im Simulationsmodell nicht bereits die maximalen Aktorspannungen vorsieht, denn wenn diese in der Messung überschritten werden weil z.B. die tatsächliche Störgröße größer ist als in der Simulation angenommen und die Stellgrößen deshalb in den Bereich der Stellgrößenbeschränkung geraten, verschlechtert sich das Regelergebnis. Die Höhe der Aktorspannungsamplituden kann durch entsprechende Wichtungsmatrizen bei der Reglersynthese beeinflusst werden.
7 Zusammenfassung und Ausblick 108 Neben der Spannungsamplitude hat auch die Phasenlage der Aktorspannungen der Piezos an den drei Streben einen Einfluss auf das Regelergebnis. Auf diese kann jedoch bei der Reglersynthese nicht einfach durch die Wichtungsamtrizen Einfluss genommen werden. Vielmehr sind diese Resultat der numerischen Lösungsverfahren bei der Reglersynthese.
Inwieweit die Beschränkung der Zugbeanspruchung bei Piezoaktoren durch die anlie-genden Spannungen tatsächlich zu einer Depolarisation führt, müsste in einer weiteren Forschungsarbeit näher untersucht werden. Da es inzwischen auch Leistungsverstärker mit einem höheren Stellbereich gibt, empfiehlt es sich, an alle Piezoaktoren eine möglichst hohe elektrische Spannung anzulegen, da hohe Kräfte für die Entkopplung benötigt werden. Dies ist aber natürlich nur dann zulässig, wenn die angelegte Spannung nicht zu einer Depolarisation der Piezos führt.
Es ist nicht genau bekannt, welche Aktorkräfte die Piezos zur Entkopplung der Aufhängung bereitstellen müssen. Im untersuchten System sind die Schwingwege durchaus noch weiter reduzierbar, indem höhere Aktorkräfte bereit gestellt werden.
Die von den Aktoren bereitgestellten Kräfte sind u.a. von der Steifigkeit des Piezos abhängig, weshalb also dementsprechend steife Piezowerkstoffe für die Isolation verwendet werden sollten. Durch eine Parallelanordnung der Piezoplättchen können die Aktorkräfte noch weiter gesteigert werden.
Einen großen Einfluss auf die Regelergebnisse hat auch die Nachgiebigkeit der Gehäusestruktur. Je nachgiebiger die Struktur ist, umso kleiner sind die Schwingwege an den nachfolgenden zu entkoppelnden steiferen Strukturen und umso schlechter wird auch das Regelergebnis wegen der Rückführung kleinerer Schwingwege als bei steiferen Übertragungsstrukturen. Der gemessene Schwingweg in vertikaler Richtung in der Gehäuseaufhängung bei Optimalregelung nahm sogar zu, obwohl sich für die in der Simulation verwendete Gehäusestruktur keine Zunahme der Schwingwege in der Aufhängung ergab. Somit ist dieser Effekt auch auf andere Ursachen am Prüfstand zurückzuführen, welche die Schwingwege bereits im Gehäuse entkoppeln.
So können z.B. durch die Verschraubung der Streben mit den Gehäuseringstrukturen oder die Verschraubung der Aufhängung mit dem Gehäuse zur Verschlechterung des Regelergebnisses führen. In der Simulation wurden die Verschraubungen als feste Verbindungen ohne Dämpfung simuliert, aber am realen Prüfstand können dort Verluste in der Übertragung der Schwingung auftreten, welche zu einem ungünstigen Reglerverhalten führt. Auch Verluste durch die Klebeverbindung der Piezoaktoren können zu ähnlichen Effekten führen wie bei der Verringerung der Steifigkeit durch dünnere Streben.
Ebenso sollte auf die Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Systems Wert ge-legt werden. Die Parameterstudie ergab, dass es einen negativen Einfluss auf das Regelergebnis hat, wenn die Aktuierung örtlich entfernt von der Sensormessstelle erfolgt (schlechte Beobachtbarkeit). Da an mehreren Stellen aktuiert wird, sollte deshalb an mehreren Stellen der Weg in der Gehäuseaufhängung gemessen werden, damit das Regelergebnis verbessert wird. Aktorik und Sensorik sollten dabei so dicht wie möglich beieinander angeordnet sein.
7 Zusammenfassung und Ausblick 109 Abschließend lässt sich sagen, dass sich mithilfe von Piezoplättchen und insbe-sondere der Optimalregelung eine aktive Schwingungsreduktion realisieren lässt. Für eine weitere Anwendung in der Wirtschaft muss jedoch zunächst die genaue Struktur bekannt sein, an welcher die Isolation durchgeführt werden soll, um eine Aussage über Aufwand und Nutzen machen zu können. Weitere Untersuchungen sollten dann speziell für diese Strukturen erfolgen.
Sollen zunächst an einem akademischen Beispiel weitere Forschungsarbeiten stattfin-den, so empfiehlt es sich neben der Berücksichtigung der oben genannten Punkte noch eine Änderung in der Anordnung der Streben im Gehäuse vorzunehmen: es sollten zukünftig besser vier 90◦ zueinander versetzte Streben in horizontaler und vertika-ler Richtung verwendet werden, um einen direkten Einfluss der Aktorkräfte auf die Schwingungswege in horizontaler und vertikaler Richtung näher analysieren zu können.
Weiterhin sollten dann auch die am zukünftigen Einsatzort vorherrschenden Betriebs-bedingungen berücksichtigt werden, da sich dadurch das Verhalten der Piezoaktoren ändern kann. Auch die Reduktion bei Anregung in mehreren Eigenfrequenzen wie bei einem Hochlauf und/oder einem breiten Betriebsbereich sollte als nächstes untersucht werden. Dabei ist die Gyroskopie nicht mehr vernachlässigbar und es muss mit drehzahladaptiven Reglern und Beobachtern gearbeitet werden.
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A DK-Iteration
Für die Durchführung der DK-Iteration wird eine Skalierungsmatrix
D =diag(diIi) (A.1)
aus beliebigen Vorfaktoren di und Einheits-Blockmatrizen Ii aufgebaut. Diese hat dieselbe Dimension wie die blockdiagonale Matrix der strukturierten Unsicherheit
∆ = diag(∆i). Sowohl der Block M als auch der Block ∆ des verallgemeinerten Regelkreises werden nun von links mit der inversen Matrix D−1 und von rechts mit der Skalierungsmatrix D multipliziert, wobei der ursprüngliche Regelkreis dadurch nicht verändert wird, also D∆D−1 =∆und DMD−1 =M gilt.
Die hinreichende Bedingung für robuste Stabilität lautet nun wieder
σ(DM(jω)D−1)<1; ∀ω. (A.2) D soll durch Optimierung so bestimmt werden, dass der kleinst mögliche Wert für den skalierten Singulärwert σ(DM(jω)D) erhalten wird. Dieses Minimum ist nahe dem tatsächlich vorhandenen strukturierten Singulärwert µ:
µ(M)≤min
D σ(DMD(jω)); ∀ω (A.3)
In dem Syntheseverfahren für die µ-Synthese wird die Anforderung an die robuste Performance mit der Skalierungsmatrix entsprechend formuliert als
µ∆ˆ(N)≤min σ(DMD(jω)); ∀ω (A.4) für den geschlossenen Regelkreis mit der Unsicherheit ∆.
Bei der nun angwendeten DK-Iteration wird immer abwechselnd eine H∞ -Reglersynthese und eine Minimierung folgendermaßen durchgeführt mit dem Ziel, dass ein Regler gefunden wird, welcher den Maximalwert für die obere Grenze für µ∆ˆ(N) aus der Unendlichnorm minimiert:
minK
minD
DN(K)D−1 ∞
. (A.5)
Durch eine abwechselnde Minimierung bezüglich dem Regler K bzw. D (daher „DK-Iteration“) kann die Optimierungsaufgabe gelöst werden:
· K-Schritt: H∞-Synthese für das skalierte Problem, alsomin
K kDN(K)D−1k∞
· D-Schritt: Bestimmung von D(ω) für alle ω und feststehendes N, so dass σ DND−1(jω)
minimal ist
A DK-Iteration 115 Die im D-Schritt gefundenen Werte D(ω) müssen von einer Funktion approxmiert werden und dann wieder in den K-Schritt eingesetzt werden.
B Separationstheorem für den geschlossenen Regelkreis mit Beobachter
Dem geschlossenen Regelkreis wird durch Vorgabe vom Regler K das dynamische Verhalten vorgeschrieben. Da auch der Beobachter ein bestimmtes Dynamikverhalten aufweist, stellt sich die Frage nach der gegenseitigen Beeinflussbarkeit der Eigenwerte von Regler und Beobachter im geschlossenen Regelkreis mit Beobachter und damit verbunden auch die daraus resultierende Stabilität des Gesamtsystems.
Für die Beantwortung dieser Frage müssen die Eigenwerte der Regelstrecke mit negativer Rückführung der Zustände und die Eigenwerte des Beobachters betrachtet werden. Die Strecke wird beschrieben durch
˙
x(t) =Ax(t) +Bu(t). (B.1) Die negative Rückführung u(t) = −Kˆx der vom Beobachter ermittelten Zustände eingesetzt in die Zustandsgleichung ergibt
˙
x(t) = (A−BK)x(t) +BKe(t) (B.2) unter Berücksichtigung des Schätzfehlers e(t) = x(t)−bx(t).
Für den Beobachter gilt
˙
bx(t) =Abx(t) +Bu(t) +L(y(t)−by(t)) (B.3) Einsetzen der Sensorgleichungen der Strecke
y(t) =Cx(t) +Du(t) (B.4) und des Beobachters
by(t) =Cbx(t) +Du(t) (B.5) ergibt für die Ableitung des Schätzfehlers die schon bekannte Gleichung
˙e(t) = (A−LC)e(t). (B.6)
B Separationstheorem für den geschlossenen Regelkreis mit Beobachter 117 Der geschlossene Regelkreis mit Beobachter wird dementsprechend durch die Vektor-differentialgleichung
x(t)˙
˙e(t)
=
A−BK BK 0 A−LC
x(t) e(t)
(B.7) beschrieben.
Die Eigenwerte dieses Systems ergeben sich aus den Matrizen auf der Hauptdia-gonalen, da es sich um eine Blockdreiecksmatrix handelt [26],[23]. Das heißt, die Eigenwerte setzen sich aus den Eigenwerten des geschlossenen Regelkreises ohne Beobachter und aus den Eigenwerten des Beobachters zusammen. Somit können der Regler und der Beobachter unabhängig voneinander ausgelegt werden, denn die für die Stabilität notwendigerweise festgelegten Eigenwerte des Systems beeinflussen sich nicht gegenseitig [26]. Die voneinander unabhängige Festlegung der Eigenwerte wird deshalb auch Separationstheorem genannt.
C Herleitung der oberen LFT
Mithilfe der oberen LFT wird die Strecke G mit den Unsicherheiten ∆ über die obe-ren Systemein- und Ausgänge verbunden. Da in der Strecke dann die Unsicherheiten berücksichtigt sind, wird sie korrekterweise mit dem Index ∆ versehen und G∆ be-zeichnet:
Abbildung C.1: Unsichere Strecke Entsprechend der Abbildung gelten die Gleichungen
y∆ y
=
G∆11 G∆12 G∆21 G∆22
u∆ u
(C.1) bzw. ausformuliert
y∆=G∆11·u∆+G∆12·u (C.2)
y=G∆21·u∆+G∆22·u. (C.3)
Für den Unsicherheitsblock ∆ gilt
u∆=∆·y∆. (C.4)
Durch Einsetzen von dem Unsicherheitsblock Gl.C4 in den entsprechenden oberen Teil der Gleichung für die Strecke Gl. C2 ergibt sich
y∆=G∆11·∆·y∆+G∆12·u (C.5) und durch Umformen
(I−G∆11·∆)y∆=G∆12·u (C.6) bzw.
y∆= (I−G∆11·∆)−1·G∆12·u. (C.7) Gl. C7 wird nun eingesetzt in den unteren Teil des Übertragungssystems der Strecke